[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] Ну и напоследок давайте докажем одно полезное выражение для оператора Адамара, действующего на систему из n кубит. То есть если у нас есть n кубит и на каждый из них надо подействовать оператором Адамара, то можно, конечно, тензорно перемножать все эти матрицы 2 x 2 каждый раз, а можно один раз доказать такое выражение. Оператор Адамара для системы из n кубит на вектор состояния системы x действует следующим образом. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Где операция жирная точка x, жирная точка y расписывается следующим образом: это покомпонентное перемножение битов в x и в y и последующее сложение их по модулю 2. [БЕЗ_ЗВУКА] Таким образом, результат этой операции — всегда один бит. И −1 у нас всегда будет в степени либо 1, либо 0. Обратите, пожалуйста, внимание. Здесь, например, y встречается в двух ипостасях: он встречается в скобках, и тогда это вектор, и он встречается без скобок, и тогда это число. Давайте на примере. Вот это у нас вектор в восьмимерном пространстве. Если мы стираем скобки, получаем такую вот битовую строку, и это у нас в двоичном представлении число 5 — номер этого вектора в базисе. Таким образом, здесь у нас мы перебираем все возможные номера наших векторов базиса. И складываем, получается, в этой сумме присутствуют все вектора базиса нашего пространства, у каждого из которых будет коэффициент −1 в степени либо 0, либо 1. Например, если вектор x полностью кодируется строкой нулей, то есть вектор x равен такому вектору, то оператор Адамара от вектора x будет равен 1 / 2 в степени n/2, сумма по всем возможным n-битным строкам векторов, кодируемых этими строками. То есть равновзвешенная сумма всех векторов нашего пространства. Доказываем по индукции. База n = 1. Оператор Адамара вот какого-то кубита x, одного кубита, равен 1 / √2, как мы помним, нолик всегда у нас с плюсиком, а вот коэффициент при 1 зависит от x. Если у нас x = 0, то здесь будет 0 + 1, если x = 1, то будет 0 − 1, что и соответствует обычному нашему оператору Адамара. Ну и соответственно это можно представить как 1 / 2 в степени 1/2, n = 1, Σ по y = 0 до 2 в степени 1 − 1, то есть до 1. (−1) в степени x жирная точка y. В данном случае это просто x * y, поскольку у нас они все по одному биту. y. То есть вот эта сумма просто представлена здесь со знаком суммы. Индукционный переход. Hn давайте от | x > распишем как покубитное применение оператора H каждому из кубитов. Это коэффициенты при каждом из операторов мы можем вместе перемножить и получить 1 / 2 в степени n/2. И у нас получается тензорное произведение таких скобок. (| 0 > + (−1) в степени xn − 1 * | 1 > ) (| 0 > + (−1) в степени xn − 2, то есть n в −2-й бит икса, * | 1 >) и так далее до (| 0 > + (−1) в степени x0 * | 1 >). В этом выражении мы можем раскрыть первую скобку. И получится, что оставшихся скобок у нас будет n − 1, и мы можем применить индукционное предположение, предположение индукции, и вот эти скобки свернуть по этой формуле. Сейчас мы это сделаем. Итак, мы раскрываем первую скобку, у нас получается первый нолик | 0 >, дальше умножить на это всё, а это всё — это оператор Адамара n − 1 от подстроки | x > до n − 2 бита + 1 √2 (− 1) в степени xn − 1 | 1 > * на опять оператор Адамара для n − 1 кубита, | x >, состоящий из n − 1 бита. Итак, здесь Hn в −1-й — это произведение n − 1 такой скобки, и xn − 1 я, может быть, не очень удачно обозначил, это подстрока икса без последнего бита. Теперь мы можем воспользоваться индукционным предположением, и вот эти операторы H n − 1 заменить на эту формулу. Давайте это сделаем. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Здесь у нас вместо n n − 1. [БЕЗ_ЗВУКА] Теперь со вторым слагаемым. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Итак, давайте этот нолик внесем под сумму, сюда. Перемножим здесь коэффициенты, получается 1 / 2 в степени n/2. Нолик мы договорились внести под сумму. Здесь будет −1 в степени... Давайте распишем эту жирную точку сейчас. Это x0 y0 к [НЕРАЗБОРЧИВО] и так далее, она у нас была до n − 2. xn − 2 * yn − 2. И теперь я могу добавить такую вот строчку. x... То есть не строчку, а бит. xn − 1, правда, помноженный на ноль. Все, что мы умножаем на ноль, дает ноль, сложением с нулем ничего не меняет, поэтому вот такой вот член в сумму я добавить могу. И у меня здесь внесенный наш вот этот нолик и y. Обратите внимание, здесь у нас у y появился n − 1... Как правильно сказать? Бит с номером n − 1. И здесь у нас в этой сумме уже n бит. То есть n-й бит появился у y, который равен нулю. И ту же самую операцию мы можем проделать с этой суммой. Тоже перемножить коэффициенты, тоже для (−1) расписать x0 y0 и так далее. И здесь у нас мы добавляем тоже n-й бит, но домножаем его уже на 1, поскольку у нас здесь мы можем внести также вот эту (−1) под сумму. И здесь у нас получается | 1 > тензорно на y. Практически это уже то, что нам надо, только сумма у нас не одна, а две. Ну так давайте их сложим и получим. Ну, мне не хочется приседать. Получим мы вот это. Доказательство завершено. Спасибо!
