Теперь давайте посмотрим, как эта теорема соотносится с тем результатом, который мы получили в примере и потом еще и откомментировали. Значит, как она соотносится, почему пример является ее следствием. То есть я в этом месте проявляю следующего рода занудство. Я хочу, чтобы слушатели до конца поняли, что означает вот эта фраза: «сумма по всем возможным» и так далее. Ну давайте вернемся к нашему примеру. Вот у нас n равнялось двойке, а k равнялось тройке. k равнялось тройке, n равнялось двойке. Ну давайте подумаем, какие в принципе бывают последовательности чисел n1, n3 – n1, n2, n3 так, чтобы это были неотрицательные целые числа и так, чтобы их сумма n1 + n2 + n3 в точности бы равнялась двойке. Ну и тут наступает локальный катарсис, если можно так сказать, после всего занудства, которое я производил. Ну смотрите, есть вот такая последовательность: 2, 0, 0. 2 + 0 + 0 это 2. Есть последовательность 0, 2, 0. Есть последовательность 0, 0, 2. Есть последовательность 1, 1, 0. 0, 1, 1. И 1, 0, 1. Вот все возможные последовательности неотрицательных целых чисел, которые бы в сумме давали двойку. Ну правильно, какое слагаемое отвечает этой последовательности? p (2, 0, 0) умножить на x1 в квадрате. x2 в нулевой, х3 в нулевой я просто не пишу. Здесь у нас получается p(0, 2, 0 x2) в квадрате. Здесь у нас получается p(0, 0, 2 x3) в квадрате. Здесь у нас получается p(1, 1, 0 x1 x2). Здесь p(0, 1, 1 x2 x3) И наконец тут p(1, 0, 1 x1 x3) Вся недолга. То есть действительно получаются ровно те самые слагаемые, которые сначала нам показались, ну так по волшебству полученными, а потом я даже прокомментировал, откуда это получается на самом деле. То есть общая формулировка теоремы конечно же влечет вот этот частный случай. Действительно никаких других последовательностей чисел n1, n2, n3, которые были бы неотрицательными целыми и в сумме бы давали двойку, не существует. Вот я их всех перечислил. А значит все слагаемые, которые у нас получатся согласно теореме, это и суть те самые слагаемые, которые у нас в реальности, когда мы раскрывали скобки, и получились. И мы уже знаем, почему они такие получились. Потому что количество вот этих вот баранов, это количество способов составить последовательность из двух символов x1. Ни одного символа x2, ни одного символа x3. Это количество способов составить последовательность из двух символов x2. Ни одного символа x1, ни одного символа x3. Ну и так далее. Понятно же, что в общем случае теорема доказывается точно так же. Точно так же. Ну давайте, я наверное все-таки потрачу некоторое время и еще раз – после вот этого уже комментария всё должно быть понятно, аккуратно проговорю формальное доказательство теоремы.