И вот это слово — биномиальный коэффициент — здесь очень существенное. Дело в том, и мы сейчас постепенно поймём с вами, о чем идёт речь, дело в том, что вот эти вот числа P(n1, ..., nk), служат очень естественным обобщением именно для биномиальных коэффициентов. Даже вот не для чисел сочетания, а именно для той ипостаси вот этого вот выражения C из n по k, в которой оно называется биномиальным коэффициентом. И, мы сейчас поймём, что это, на самом деле, в некотором смысле полиномиальные коэффициенты. Полиномиальные коэффициенты. Пока поставлю в кавычки, потому что непонятно, что бы это значило. «Полиномиальные»... Опять, никаких лишних нэ здесь не надо, да? Я уже вам говорил, что «биномиальный», ни в коем случае не «биноминальный». Биномиальный. То же самое касается и полинома. Полиномиальные коэффициенты. Повторяю, сейчас будет понятно, о чем идёт речь. Ну давайте немножко, прежде чем будет понятно, я поддержу интригу. Значит, давайте обсудим этимологию. Что такое бином? Вообще, откуда взялось слово «бином»? Бином — это вот такое вот выражение: x + y в n-ной степени. Почему оно называется «бином»? Потому что здесь два слагаемых. Вот эта приставочка «би» в слове «ном» – она указывает на то, что слагаемых два. И коэффициенты биномиальные, потому что они находятся при разложении бинома. двучлена, если хотите, такого вот выражения из двух слагаемых. Что такое полином? Я думаю, что многие знают, что «поли» по-гречески это «много». То есть вместо двух слагаемых, наверное, нам предстоит рассматривать много слагаемых. Не двучлены, а многочлены. «Поли» — много. Так, ну и что ж является естественным обобщением бинома, коль скоро мы хотим не два слагаемых, а много? Вот это уже кажется совершенно понятным. Наверное, нам нужно рассматривать выражения вот какого вида: x1 + x2 +... + xk. У нас будет k слагаемых. Причём вот это k — это в точности вот то k, которое у нас было до сих пор. Это количество типов объектов. В данном случае это количество слагаемых. И вот эту сумму общую мы захотим сейчас возводить в n-ную степень. И когда поработаем достаточно долго, я надеюсь, все вы будете понимать, что действительно при возведении в n-ную степень такого выражения получается нечто, некая сумма, в которой коэффициентами служат как раз вот эти вот чиселки. P(n1, ..., nk). Именно в честь этого они и называются полиномиальными коэффициентами. И в честь этого они обозначены, более или менее стандартно, буквой P. От слова «полином», полиномиальный коэффициент. Есть разные другие названия, на самом деле, иногда говорят про мультиномиальные коэффициенты. Мне, честно говоря, это не очень нравится, потому что мне кажется это смешением языков, всё-таки «би-ном», «поли-ном» — это что-то греческое. И в первой половине слова и во второй. А «мультином» – это вроде как какое-то смешение латыни и греческого. Ну в принципе, так тоже говорят. Поэтому ничего страшного в этом в общем-то нет. Вот, но вы не думайте, что я уже объяснил, как раскладывать эту штуку. Эта штука, конечно, выглядит страшновато, и если я сейчас начну, опять же, сразу, в самом общем виде рассказывать, почему коэффициентами при возведении в n-ную степень такого вот длинного выражения, суммы чисел от x1 до x k-того. Почему коэффициентами в этом разложении служат именно наши числа P (n1, ..., nk), то возможно некоторая часть аудитории погибнет, а я совершенно не хочу, чтобы это случилось. Я хочу, чтобы аудитория следила за происходящим до последнего.