Замечательно то, что это тождество, которое мы только что доказали, а мы его доказали, как видите. Замечательно то, что оно лежит в основе построения всех биномиальных коэффициентов. Есть такой прекрасный объект, который называется треугольник Паскаля. Паскаль в свою очередь — это замечательный математик и философ французский, который жил в XVII веке. И вот, в частности, он придумал некий треугольник, который мы сейчас нарисуем, который многие школьники знают, но вот не все все-таки. Давайте вспомним, как можно сформировать все биномиальные коэффициенты. Ну, давайте, во-первых, я вам напомню, что если вы возводите x + y. Ну мы с вами в квадрат начинали возводить прошлый раз, потом в третью степень, потом в четвертую. Давайте начнем, совсем, так сказать, с яйца. И будем возводить сначала в нулевую, потом в первую, потом в квадрат, в куб и так далее. То есть добавим еще нулевую и первую степень. Понятно, что если x + y возводить в нулевую степень, то это получится просто 1. И никаких больше интересных слагаемых тут не будет. Дальше, если вы возведете x + y в первую степень, то у вас получится x + y. То есть множество биномиальных коэффициентов, которые присутствуют в этом разложении – это 1 и 1, коэффициенты при x и y. Дальше мы напишем x + y в квадрате. Это будет x квадрат + 2xy + y квадрат. То есть стало быть коэффициенты – это 1, 2, 1, правильно? Ну я уж напомню все по полной программе, чтобы как-то соответствовать прошлой лекции. Здесь у нас будут коэффициенты 1, 3, еще раз 3. Симметрия, повторяю, обусловлена первым тождеством, которое мы доказали еще в прошлый раз. И снова 1 при y в кубе. Ну и давайте, наконец, x + y в четвертой для полноты картины и, повторяю, для полного соответствия с тем, что было в прошлый раз. Здесь у нас будет коэффициент 1, потом будет коэффициент 4. Потом будет коэффициент 6 с квадрат y квадрат. Дальше будет снова 4, xy в кубе, ну и 1 при y в четвертой степени. Ну даже на этой картинке видно, что вырисовывается некий треугольник. И это не удивительно, потому что коэффициентов в разложении x + y в нулевой степени по биному 1. Коэффициентов в первой степени – 2, в квадрате – 3. В кубе – 4, ну и так далее, то есть такое происходит расширение в форме треугольника. И вот давайте выпишем просто эти коэффициенты. 1 – это единственный коэффициент, который возникает в разложении x + y в нулевой. Дальше идет 1 1, вот буду рисовать прямо как треугольник. Дальше идет 1 2 1. Дальше 1 3 3 1 1 4 6 4 1 и так далее. А теперь, товарищи, посмотрите, пожалуйста, на принцип формирования этого треугольника. Вот если вы глядите на него, то вы видите некую закономерность. Ну здесь единица, она ж называется и в Африке единица, тут как-то вот некий базис такой, вершинка этого треугольника. Дальше идут 2 единицы, но, по большому счету, они тоже в своей Африке находятся, то есть – это тоже некий базис. Вот, а дальше начинается понятное формирование. По бокам все время стоят единицы, а вот эта вот двойка – это сумма вот этих 2 единиц. Двойка – это сумма 2 единиц. Тройка – это сумма единицы и двойки. Эта тройка – это сумма двойки и единицы. Четверка – это сумма 1 и 3. Шесть – это сумма 3 и 3. Четверка – это сумма 3 и 1. Ну а единица, она уже обрамляющая. То есть, такой очень понятный принцип формирования. То есть я могу вот это многоточие стереть и попробовать порисовать дальше, не выписывая явно никакие степени. А именно обрамляю единицей, складываю 1 и 4, получаю 5. Складываю 4 и 6, получаю 10. 6 и 4 тоже получаю 10, 4 и 1 – получаю 5, ну и дальше ставлю обрамляющую единицу. И давайте я нарисую многоточие. Дальше я могу формировать этот треугольник до бесконечности, пользуясь ровно этим. Но откуда такое свойство? Почему это верно? Ну а ровно, потому что у нас было справедливо вот это тождество. Ведь это тождество – это и есть утверждение о том, что очередной биномиальный коэффициент c из n по k это есть c из n-1 по k-1 плюс c из n-1 по k. Вот так вот, смотрите. Вот это, фактически, c из n по k. С определенными n и k. Вот это строчкой выше – это c из n − 1 по k − 1. При этом мы сместились влево, поэтому по k − 1. А здесь мы смещаемся по диагонали вправо, поэтому это будет просто по k. C из n-1 по k. K − это просто номер элемента внутри строчки, а n – это номер строчки. То есть вот это вот – это c из 0 по 0. Если хотите, ну c из 0 по 0 равняется по определению равняется 1. Из ничего выбрать ничто можно ровно одним способом, и это вполне согласуется, что у нас 0 факториал равен единице. Соответственно вот это – c из 1 по 0. Вот это c из 1 по 1, ну и так далее. Такой вот замечательный принцип формирования так называемого треугольника Паскаля. Если вы не хотите честно раскрывать скобки. Если вы не хотите честно считать биномиальные коэффициенты по формулам с факториалами, то вы вполне можете вот так вот портянку такую вырисовывать и в конце концов вы найдете всю последовательность коэффициентов очередного бинома. То есть такое нехитрое искусство. И многие тождества комбинаторные, которыми мы сейчас еще пожонглируем, они так или иначе пляшут вокруг различных свойств этого самого треугольника Паскаля.
