Так. Последнее замечание на сегодня – это... давайте мы вернёмся к нашим любимым комбинаторным тождествам. Мы с вами кучу уже тождеств надоказывали, там, кажется, шесть штук было. Ну типа того. Вот, давайте ещё одно комбинаторное тождество напишем, но прежде, чем я его напишу, я вам напомню комбинаторное тождество, которое у нас с вами уже было. А именно было вот такое утверждение: c из n по нулю + c из n по единице + … + c из n по n... Сумма всех биномиальных коэффициентов, сумма всех чисел сочетания, равняется 2 в степени n. И это очень легко доказывалось с помощью бинома Ньютона. Мы просто писали 1 + 1 в n-ной, и это оказывалось в точности вот этим, а с другой стороны в точности вот этим. Доказательство тривиально. Но его прямым обобщением является тождество с полиномиальными коэффициентами. Давайте напишем сумму в точности в том же виде, в котором она присутствовала в теореме, которую мы только что доказали. А именно вот эту страшную сумму по всем n1 … nk, упорядоченным набором чисел n1 … nk, для которых каждая ni-тая не отрицательна, и сумма этих ni-тых в точности равняется n. А суммировать будем просто все возможные такие вот полиномиальные коэффициенты. Почему это прямое обобщение? Ну во-первых, потому что здесь мы зафиксировали n и рассмотрели все возможные коэффициенты, которые присутствуют в биноме при данном числе n. Ну то есть x + y в n-ой степени содержит эти и только эти коэффициенты. Здесь мы тоже зафиксировали число n. Видите? Число n нам дано с самого начала. Н, впрочем, мы ещё зафиксировали число k. А вот после того, как мы зафиксировали чиселки n и k, мы просуммировали по всем возможным способам выбрать вот эти вот числа n1 … nk, все мыслимые полиномиальные коэффициенты. Все коэффициенты, которые присутствуют в полиномиальной формуле. Мы их все-все-все сложили. То есть, у нас вот было выражение x1 + … + xk в n-ной степени, и мы все коэффициенты, которые в его разложении получились, мы их все сложили. Ну так понятно. Давайте так сделаем: вот здесь умножим на 1 в степени n1 на 1 в степени n2 – совершенно по аналогии с тем, что было в биноме – … на 1 в степени nk. Естественно, от такого домножения ничего, вроде как, не изменится. Ну как была вот эта вот штучка, так она и осталась. На единицу сколько не домножай, ничего не поменяется. Но! Мы-то с вами знаем полиномиальную формулу. И согласно этой полиномиальной формуле, мы имеем дело вот с таким вот выражением, в котором вот здесь вот стоит знаете сколько единиц? Ну очень легко сообразить – k штук. Мы просто вместо x1 … xk – видите, здесь были x1 … xk – вместо x1 … xk подставили k штук единиц. Точно так же, как вот в том выражении. Так. k единиц, k в степени n. Такое обобщение. При k равном двойке мы возвращаемся в точности к уже доказанному тождеству, потому что, как вы помните, обычная C-шка, я сегодня это говорил, и P от (kn − k) – суть одно и то же. Ну раз это одно и то же, то при k равном двойке, это действительно получается просто частный случай. И всё. Вся недолга. Ладно. Давайте на этом сегодняшнюю лекцию завершим. Мне кажется вполне достаточно. Полностью разобрались с полиномиальными коэффициентами. Я надеюсь.