Так, ну разобравшись с размещениями, разобравшись с сочетаниями и вдоволь накушавшись разных правил сложения, умножения, принципов Дирихле, кажется совершенно уместным двинуться дальше по нашим лекциям и поразбираться немножко с тождествами. С биномом, с треугольником Паскаля, с какими-то вот такими вот вещами, которые уже чуть-чуть продвинуты по сравнению с тем, о чем мы говорили до сих пор. Ну вот давайте рассмотрим такую вполне понятную задачу. Имеется всего 10 сосудов емкости. Не кровеносных сосудов, а сосудов, в которые можно наливать жидкость например. Среди них ровно 5 стаканов, причем эти пять стаканов мы считаем неразличимыми, нам совершенно все равно, какой из этих стаканов взять. Давайте я это подчеркну, 5 неразличимых стаканов. Ну граненых, конечно, куда ж деваться. Все граненые, все неразличимые. Так, и 5 различных чашек. Вот чашки разные. Ни одна из них граненой, естественно, не является, не стакан чайный, но вот рисуночки на них разные, размер у них разный. Знаете, вот стаканчики они одинаковые, а чашечки вот они разные. Вот этих 5 разных, а этих 5 одинаковых. Вот. Давайте зададимся таким вопросом: сколько есть способов, сколько есть способов, спо- со- бов. Ну это «б», товарищи, вот это «б», не буду стирать «спосовов» написал, но это «способов». Итак, сколько есть способов выбрать из этих 10 сосудов 5 штук. 5 штук. Ну давайте рассуждать тупо, на самом деле, я не хочу никаких прикрас в этом месте, давайте рассуждать так, как кажется рассуждало бы большинство, коль скоро этим товарищам было бы предложено решить такую задачу. Мне кажется очень просто. Ну можно выбрать просто все 5 стаканов. Это первый случай. Давайте случаи перечислять. Можно выбрать все 5 стаканов. Ну понятное дело, такой случай всего 1. Вот эта единица показывает, что 5 стаканов можно выбрать ровно одним способом. Дальше. Смотрите, можно выбрать 4 стакана. Ну-ка, сколько есть способов выбрать 4 стакана из 5 имеющихся? Ой, товарищи, ни в коем случае не говорите, что С из 5 по 4. Стаканы-то неразличимые. 4 стакана выбрать можно только одним способом. Но если мы выбрали 4 стакана ровно одним-единственным способом, нам же надо до кучи еще чашечку выбрать. Всего-то должно быть 5 емкостей, правильно? Давайте, 4 стакана плюс 1 чашка. Так вот если 4 стакана можно выбрать ровно одним способом, потому что они неразличимы, стаканчики эти, то чашечку одну можно выбрать пятью разными способами, чашечки-то разные, правильно? Но давайте эти 5 запишем именно как число сочетаний. Мы из 5 различных объектов выбираем 1. Ну естественно, без учета порядка он вообще 1. В общем, давайте, если здесь была написана единичка просто, то здесь напишем количество как С из 5 по 1, где вот это 5, это 5 — это количество чашек, и 1 чашку мы из них выбираем. Третий случай — это когда мы взяли 3 стакана и 2 чашки. 3 стакана плюс 2 чашки. Опять-таки, друзья, стаканы выбираются однозначно: 3 какая разница, какие 3, если они все неразличимы? А вот 2 чашки выбираются С из 5 по 2 способами, потому что все чашечки разные. Вот. Ну и так далее. Четвертый случай — это 2 стакана плюс 3 чашки, то есть С из 5 по 3. Ну я думаю, понятно, дальше будет С из 5 по 4, и наконец С из 5 по 5. Ну и благополучно можно считать, что вот эта единица — это С из 5 по 0. После чего нам нужно просто сложить все эти числа, получив в итоге правильный ответ. А именно мы получим С из 5 по 0, плюс С из 5 по 1, плюс, ..., плюс С из 5 по 5. Я здесь не стал выписывать последние два случая, но я их проговорил. Еще раз: когда один стакан будет С из 5 по 4 и когда ни одного стакана будет С из 5 по 5, мы вот просто берем все эти 5 чашек ровно одним-единственным способом. Вот, в итоге получаем сумму таких вот биномиальных коэффициентов, а мы с вами знаем тождество за некоем номером, которого я не помню, ну типа 3, которое было доказано в лекции. И вот пафос состоит в том, что когда вы вот так вот посчитали, сколькими способами можно составить, мы получили какую-то длинную мерзкую сумму, а на самом-то деле это 2 в 5 степени, это 32, и ничего специально считать не нужно. Представьте себе, что было бы не 5 стаканов и 5 различных чашек, а 100 стаканов и 100 различных чашек, итого всего 200 сосудов. Точно так же ответ бы получился 2 в 100 степени. И вы ни в жизнь не получили бы его в таком виде, если бы решали с помощью вот этого подхода нашу задачку, если бы вы при этом еще и не знали вот такого замечательного тождества. А зная это тождество, вы получаете очень короткий, компактный ответ. Вот такое вот примерно применение тождества.
