Ну, давайте еще одну такую совершенно детскую, можно сказать, типичную задачку на применение размещений. Ну мы с ними пока разбираемся, давайте разбираться дальше. Смотреть разные типичные ситуации, когда размещение очень естественно применять. Ну, давайте так. Имеется игрушечный паровозик. Нет, не паровозик, извините, поезд, состав. Железнодорожный состав игрушечный. Он состоит из шести вагонов. А в наборе к этому игрушечному поезду имеется 8 типов вагонов. Имеется 8 типов вагонов. Сейчас поясню что это значит, но я думаю, что это понятно. Понятно, что вагоны бывают разные. Бывают плацкартные вагоны, бывают купейные вагоны, бывает вагон-ресторан там, ну и так далее. Вот всего таких вагонов имеется 8 типов, всего просто 8 вагонов в нашем... ну как, в коробке лежит 8 вагонов, и каждый из них имеет свой тип. Один из них плацкартный условно, другой купейный, третий, какой там, вагон-ресторан, да, ну и так далее. И вот мы можем из этих восьми вагонов комбинировать состав, в котором всего 6 вагонов. Ну так вот устроена наша игра, наш игрушечный этот поезд, игрушечный паровозик. Вот. Спрашивается: сколько всего существует способов? Например. Да, тут есть два пункта на самом деле, давайте я сначала спрошу вот так: пусть будет пункт а) сколько всего есть способов составить поезд, если потребовать, чтобы все вагоны в этом поезде были разные? То есть 8 типов вагонов это значит, что у нас вообще говоря там их много. Ну сейчас я поясню. Значит, сколько способов составить поезд из 6 вагонов разных типов? Ну, я немножко запутал, наверное, слушателей, может быть меня можно было услышать так, как будто у нас есть всего 8 вагонов в нашем наборе, и вот из этих 8 вагонов мы можем составлять 6. Нет, у нас есть в принципе достаточно много вагонов-ресторанов, достаточно много купейных вагонов, достаточно много плацкартных и так далее. То есть теоретически мы могли бы составлять поезд, в котором все 6 вагонов это вагоны-рестораны. Ну, это конечно очень забавно, я люблю рассуждать про всякие попойки, это наверное многие слушатели знают. Ну наверное в этом ключе мне бы очень хотелось составить такой поезд, в котором каждый вагон – это вагон-ресторан, но здесь имеется в виду вот такая постановка: сколько есть способов, при которых поезд, состоящий из 6 вагонов, имеет все вагоны разного типа? То есть, там не все 6 вагонов-ресторанов, а все вагоны разного типа. Ну это типичная задача, конечно, на размещение. Во-первых, понятно, что речь идет не о повторении. Повторений быть не может, ведь у нас вагоны должны быть разных типов. А откуда мы вообще выбираем? Ну, понятное дело, мы выбираем из множества, которое состоит из 8 элементов, из 8 объектов. Значит, а1 – это условный вагон-ресторан, скажем, а2 – это условный плацкартный вагон, а3 – это условный купейный, и так далее, всего вот таких вот 8 типов. И из вагонов таких 8 типов, то есть вот из этих 8 символов мы можем составлять поезда, в которых всего 6 символов присутствует из этого множества. Так вот если бы мы разрешали какие-то повторения, то естественно и вагоны бы повторялись. Но мы рассматриваем ситуации, когда все вагоны различных типов. Это значит, что мы выбираем без повторения. Ну а выбираем мы, естественно, 6 типов отсюда, 6 вагонов, и делаем мы размещение, потому что понятно, что есть же разница поставить первым вагоном вагон-ресторан, вторым вагоном купейный, третьим плацкартный, или наоборот поставить первым плацкартный, вторым купейный, а третьим вагон-ресторан. Разные поезда, разные составы получатся. В одном случае кому-то, кто живет, скажем, в плацкартном вагоне, идти быстрее до любимого ресторана, в другом может быть и дольше. Ну это как построить. Короче говоря, конечно же получается, что речь идет о 6 размещениях без повторений. Вагоны все разные, и выбрать надо их ровно 6 штук, причем в каком-то конкретном порядке. Ну, соответственно, обозначение для этого количества способов это А из 8 по 6, ну и А из 8 по 6, если пользоваться формулой, которая для этого числа у нас имеется это сколько получится, если А из 8 по 6 считать? Сколькими способами можно из 8 составить 6? Ну, ну просто на первую позицию ставим 1 – любой из вот этих 8 вагонов. Давайте вспоминать просто формулу для размещения без повторений. На вторую позицию – любой из 7 оставшихся, на третью – любой из 6, на четвертую – любой из 5, на пятую – любой из 4, и на шестую – любой из 3. Всего нам нужно 6 позиций заполнить. Вот у нас получится такой ответ для количества способов составить состав из различных вагончиков. Но я обещал, что в этой задаче будет еще пункт б. Давайте в пункте б зададимся вопросом следующим: а сколько есть способов сделать такой состав, тоже из 6 вагонов так, чтобы все вагоны были различны, но если имеется дополнительное ограничение? А именно мы предположим, что все-таки вагон-ресторан там обязательно должен быть. Уж где не порадоваться, да? Сколько есть таких способов составить поезд если в нем обязательно должен быть вагон-ресторан? В нем есть, давайте напишем, вагон- ресторан? Ну это, если хотите, такая задачка на комбинацию правила умножения и опять-таки размещения без повторений, которое, собственно, тоже на правило умножения и является примером. Ну, действительно, если мы точно знаем, что в этом составе должен быть вагон-ресторан, то надо сначала выбрать позицию для вагона-ресторана. Выбираем позицию для вагона-ресторана. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Это, естественно, делается 6 способами. 6 способов, потому что, я напоминаю, что мы по-прежнему решаем задачу, в которой состав имеет 6 вагонов. Итак, у нас есть 6 способов установить куда-нибудь вагон-ресторан. После чего у нас остается 5 позиций и из 8 типов вагонов, которые у нас были в нашем распоряжении остается только 7 типов вагонов, которыми можно пользоваться, потому что, напоминаю, мы не хотим, чтобы вагон-ресторан встречался в этом поезде дважды, мы хотим, чтобы все типы вагонов встречались не более одного раза. То есть у нас получается, 6 надо умножить на количество способов вот по этим оставшимся 5 позициям, которые не задействованы до сих пор, на которые еще не поставлен вагон-ресторан. На вот эти оставшиеся 5 позиций разместить любой из 7 оставшихся типов, то есть надо умножить на А из 7 по 5. Ну и дальше можно написать явную формулу, посчитать, что получится численно. Ну я думаю, что уже вот в таком виде ответ вполне достаточен. Понятно, да, почему А из 7 по 5, еще раз поскольку мы здесь уже задействовали вагон-ресторан, у нас осталось 7 типов объектов какие-нибудь там А1, ..., А7, если считать, что А8 это был как раз вагон-ресторан, без ограничений в общности вот у нас остались 7 типов вагонов, и мы из них должны выбрать 5 каких-либо, потому что из состава длины 6 один вагон уже установлен, и нам надо установить только 5 штук. По аналогии с пунктом а) это делается А из 7 по 5 способами, итого, по правилам умножения получаем 6 умножить на А из 7 по 5.
