Так, ну, поговорив некоторое время о размещениях без повторений, да, совершенно верно, давайте немножко поговорим о размещениях с повторениями, это кажется абсолютно естественным. Ну самое естественное, что бывает касательно размещений с повторениями, — это какие-нибудь все-таки слова в каком-то языке. И вот давайте рассмотрим, например, вот такую задачу: Маша и Петя условные, Маша и Петя придумали некий язык, в котором символами являются не обычные буквы, а треугольник, квадрат и круг. Давайте я так напишу коротко: придумали язык, и в нем всего три буквы, как бы это смешно не звучало: треугольник, квадрат и круг. Я надеюсь, что все так это и понимали с самого начала: три буквы — это треугольник квадрат и круг. Вот, ну давайте прежде всего зададимся совсем простым вопросом, это будет у нас пункт А: сколько существует, сколько существует различных слов из 5 букв, которые можно составить на этом языке. Которые можно составить, если хотите, из символов этого языка. Ну я уж не буду это записывать, понятно, сколько существует различных слов состоящих из 5 букв. Ну как вы помните из лекции, собственно, размещения с повторениями, они обозначаются сложнее, чем та формула, которая на самом деле их выражает. То есть, конечно, нам нужно выбрать из трех возможных символов. Вот это наше множество из 3 объектов — треугольник, круг и квадрат. Вот из этих 3-х символов нам нужно выбрать 5, причем с возможными повторениями. Мы можем взять 5 треугольников, например. Мы можем взять 5 квадратов. Или четыре квадрата и один треугольник. Понятно, что речь идет о размещениях, причем с повторениями, потому что буквы в словах, конечно, вполне себе могут повторяться. У нас есть три объекта, из них мы выбираем какие угодно 5, при этом возможны, естественно, повторы. Даже обязательно будут повторы, если 5 из 3. Вот, ну и понятное дело, получается вот такая штуковина, которая, ну если угодно, по формуле из лекции, а на самом деле просто по элементарному правилу умножения, дает нам 3 в 5 степени. Ну и в численном выражении это есть 243. То есть всего есть 243 различных слов из 5 букв, которые можно составить на языке Маши и Пети. Это совсем простой пункт. Ну давайте зададимся вопросом, а сколько можно составить слов, у которых, у каждого из которых, длина не больше 5? То есть можно задействовать 5 букв для составления слова, а можно задействовать и меньше. Ну давайте так и напишем: сколько слов из не более 5 букв. Из не более 5 букв. Ну ответ напрашивается сам собой, мы уже знаем, сколько есть слов, каждое из которых состоит из ровно 5 букв, дальше мы можем совершенно аналогично посчитать количество слов, в каждом из которых ровно 4 буквы. Понятное дело, это будет А из 3 по 4 с чертой. Дальше мы посмотрим на слова, которые содержат всего три буквы — это будет А из 3 по 3 с чертой. Две буквы: А из 3 по 2 с чертой. И одна буква — А из 3 по одному с чертой, при этом заметьте, ну ноль буквенных слов мы все-таки не рассматриваем, потому что как-то странно представляю себе слово, которого вообще нету. То есть, конечно, пустые подмножества в множествах встречаются, и формально размещение с повторениями нулевой длины, ну почему бы такое не рассмотреть, но с точки зрения содержательной постановки нашей задачи, конечно, такого не бывает. Поэтому писать А из 3 по 0 с чертой нелепо. Итого мы получаем формулу такую: 3 в 5 степени, то есть 243, плюс 3 в 4 степени, то есть плюс 81. Итого это уже получается 325. Плюс 3 в кубе- 27. 325 плюс 27, это — 352, плюс 3 в квадрате — плюс девять, это 361. И, наверное, я где-то обсчитался, потому что мне кажется, что когда я добавлю 3 в 1 степени, должно получиться не так. В принципе, конечно, ответ получен, зачем нам, собственно, численное выражение, как я уже не раз говорил. Ну ладно, давайте попробуем еще раз пересчитать, где ж это я ошибся то? Э-э, кажется вот в этом месте ошибся: 243 плюс 81, сказал, будет 325. Нет, конечно 324, глупости. Да, 324 плюс 27 — это 351. Да, всё, ошибся, да, плюс 9 — это 360, и плюс 3, итого получаем 363. Ну вполне милое число. Вот, ну и давайте еще один пункт рассмотрим до кучи, чтоб была какая-то полная картинка того, как может быть жизнь устроена. Давайте посчитаем, сколько можно составить слов из не более 5 букв, из не более 5 букв, если на первой позиции обязательно стоит треугольник. Если первая буква в каждом из этих слов, если первая буква — это обязательно треугольник. То есть вот нас интересуют не все возможные слова длины 5, а только те слова длины 5, в которых первая буква треугольник. Тут есть некая своя специфика, которую мы сейчас отразим. Смотрите, ну все, вот у нас есть первая буква треугольник, она застолблена, и здесь остается 4 позиции, на каждую из которых мы по прежнему можем выставлять все, что угодно. Хоть треугольник, хоть круг, хоть квадрат. Таким образом А из 3 по 4 с чертой, это количество способов составить вот здесь вот четырехбуквенное слово, так чтоб в сумме получилось пятибуквенное. Дальше мы можем ставить не 4, а 3, потому что нас интересуют слова длины не более 5, то есть у нас будет получаться А из 3 по 3 с чертой, дальше мы можем ставить не 3, а 2, будет А из 3 по 2 с чертой, можем ставить одну, это будет А из 3 по одному с чертой, ну а можем, в чём специфика то этой ситуации, можем вообще ничего не добавлять. И ведь получится то на выходе не пустое множество, потому что треугольник все-таки это первая буква, и она останется, такое однобуквенное слово, союз какой, да? Вот, то здесь надо еще добавить А из 3 по нулю с чертой, ну то есть просто 3 в 0 степени. Итого мы получим 3 в 4-ой, плюс 3 в кубе, плюс 3 в квадрате, плюс 3 в первой, плюс 3 в нулевой. Ну и давайте опять попробуем не обсчитаться, здесь у нас стоит 81 плюс 27 — это 108, плюс 9 — это 117, плюс 3 — это 120 и плюс 1 — это симпатичная 121, которая является точность в точности одной третью от ответа в пункте В. Вот такая вот милая задачка.
