Так, ну, поговорив некоторое время о размещениях без повторений, да,
совершенно верно, давайте немножко поговорим о размещениях с повторениями,
это кажется абсолютно естественным.
Ну самое естественное, что бывает касательно размещений с повторениями,
— это какие-нибудь все-таки слова в каком-то языке.
И вот давайте рассмотрим, например, вот такую задачу: Маша и Петя условные,
Маша и Петя придумали некий язык,
в котором символами являются не обычные буквы, а треугольник, квадрат и круг.
Давайте я так напишу коротко: придумали язык, и в нем всего три буквы,
как бы это смешно не звучало: треугольник, квадрат и круг.
Я надеюсь, что все так это и понимали с самого начала: три буквы —
это треугольник квадрат и круг.
Вот, ну давайте прежде всего зададимся совсем простым вопросом,
это будет у нас пункт А: сколько существует,
сколько существует различных
слов из 5 букв,
которые можно составить на этом языке.
Которые можно составить, если хотите, из символов этого языка.
Ну я уж не буду это записывать, понятно,
сколько существует различных слов состоящих из 5 букв.
Ну как вы помните из лекции, собственно, размещения с повторениями,
они обозначаются сложнее, чем та формула, которая на самом деле их выражает.
То есть, конечно, нам нужно выбрать из трех возможных символов.
Вот это наше множество из 3 объектов — треугольник, круг и квадрат.
Вот из этих 3-х символов нам нужно выбрать 5, причем с возможными повторениями.
Мы можем взять 5 треугольников, например.
Мы можем взять 5 квадратов.
Или четыре квадрата и один треугольник.
Понятно, что речь идет о размещениях, причем с повторениями,
потому что буквы в словах, конечно, вполне себе могут повторяться.
У нас есть три объекта, из них мы выбираем какие угодно 5,
при этом возможны, естественно, повторы.
Даже обязательно будут повторы, если 5 из 3.
Вот, ну и понятное дело, получается вот такая штуковина,
которая, ну если угодно, по формуле из лекции,
а на самом деле просто по элементарному правилу умножения, дает нам 3 в 5 степени.
Ну и в численном выражении это есть 243.
То есть всего есть 243 различных слов из 5 букв,
которые можно составить на языке Маши и Пети.
Это совсем простой пункт.
Ну давайте зададимся вопросом, а сколько можно составить слов,
у которых, у каждого из которых, длина не больше 5?
То есть можно задействовать 5 букв для составления слова,
а можно задействовать и меньше.
Ну давайте так и напишем: сколько слов
из не более 5 букв.
Из не более 5 букв.
Ну ответ напрашивается сам собой,
мы уже знаем, сколько есть слов, каждое из которых состоит из ровно 5 букв,
дальше мы можем совершенно аналогично посчитать количество слов,
в каждом из которых ровно 4 буквы.
Понятное дело, это будет А из 3 по 4 с чертой.
Дальше мы посмотрим на слова,
которые содержат всего три буквы — это будет А из 3 по 3 с чертой.
Две буквы: А из 3 по 2 с чертой.
И одна буква — А из 3 по одному с чертой, при этом заметьте,
ну ноль буквенных слов мы все-таки не рассматриваем,
потому что как-то странно представляю себе слово, которого вообще нету.
То есть, конечно, пустые подмножества в множествах встречаются, и формально
размещение с повторениями нулевой длины, ну почему бы такое не рассмотреть, но с
точки зрения содержательной постановки нашей задачи, конечно, такого не бывает.
Поэтому писать А из 3 по 0 с чертой нелепо.
Итого мы получаем формулу такую: 3 в 5 степени, то есть 243,
плюс 3 в 4 степени, то есть плюс 81.
Итого это уже получается 325.
Плюс 3 в кубе- 27.
325 плюс 27, это — 352,
плюс 3 в квадрате — плюс девять, это 361.
И, наверное, я где-то обсчитался, потому что мне кажется,
что когда я добавлю 3 в 1 степени, должно получиться не так.
В принципе, конечно, ответ получен, зачем нам, собственно, численное выражение,
как я уже не раз говорил.
Ну ладно, давайте попробуем еще раз пересчитать, где ж это я ошибся то?
Э-э, кажется вот в этом месте ошибся: 243 плюс 81, сказал, будет 325.
Нет, конечно 324, глупости.
Да, 324 плюс 27 — это 351.
Да, всё, ошибся, да, плюс 9 — это 360,
и плюс 3, итого получаем 363.
Ну вполне милое число.
Вот, ну и давайте еще один пункт рассмотрим до кучи,
чтоб была какая-то полная картинка того, как может быть жизнь устроена.
Давайте посчитаем, сколько можно составить слов из
не более 5 букв,
из не более 5 букв,
если на первой позиции обязательно стоит треугольник.
Если первая буква в каждом из этих слов, если первая буква —
это обязательно треугольник.
То есть вот нас интересуют не все возможные слова длины 5,
а только те слова длины 5, в которых первая буква треугольник.
Тут есть некая своя специфика, которую мы сейчас отразим.
Смотрите, ну все, вот у нас есть первая буква треугольник,
она застолблена, и здесь остается 4 позиции,
на каждую из которых мы по прежнему можем выставлять все, что угодно.
Хоть треугольник, хоть круг, хоть квадрат.
Таким образом А из 3 по 4 с чертой, это количество способов составить
вот здесь вот четырехбуквенное слово, так чтоб в сумме получилось пятибуквенное.
Дальше мы можем ставить не 4, а 3, потому что нас интересуют слова
длины не более 5, то есть у нас будет получаться А из 3 по 3 с чертой,
дальше мы можем ставить не 3, а 2, будет А из 3 по 2 с чертой,
можем ставить одну, это будет А из 3 по одному с чертой, ну а можем,
в чём специфика то этой ситуации, можем вообще ничего не добавлять.
И ведь получится то на выходе не пустое множество, потому что треугольник все-таки
это первая буква, и она останется, такое однобуквенное слово, союз какой, да?
Вот, то здесь надо еще добавить А из 3 по нулю с чертой,
ну то есть просто 3 в 0 степени.
Итого мы получим 3 в 4-ой, плюс 3 в кубе,
плюс 3 в квадрате, плюс 3 в первой, плюс 3 в нулевой.
Ну и давайте опять попробуем не обсчитаться, здесь у нас стоит 81 плюс
27 — это 108, плюс 9 — это 117,
плюс 3 — это 120 и плюс 1 — это симпатичная 121,
которая является точность в точности одной третью от ответа в пункте В.
Вот такая вот милая задачка.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
