Так, ну давайте для полноты картины рассмотрим еще один случай, рассмотрим следствие 3 следствие 3, которое будет соответственно при n равном 3. Мы до сих пор рассмотрели предыдущие случаи. Дальше вы сможете другие энки поподставлять, вы увидите, какие красивые следствия получаются, а при n равном 3 ну давайте, правая часть тождества как выглядит у нас будет С из m+2 по 2 прибавить С из m+1 по 2 прибавить, и так далее прибавить С из 2 по 2 это правая часть, которую мы теперь, как водится, превращаем в левую. Ну, а справа напишем то, что в нашем тождестве было, наоборот, слева то есть С из m+3 по 3 вот так это будет выглядеть, С из m плюс m по n и попробуем понять, что же за замечательное следствие у нас в итоге получилось. Мы с вами научились считать вот эти С. Тут у нас стоит m+2 помножить на m+1 поделить пополам, тут у нас стоит m+1 помножить на m пополам, тут у нас, ну давайте по аналогии тоже это запишем, тут у нас стоит соответственно 2 умножить на 1 пополам. И вот такие штуки мы складываем в итоге на выходе получая вот некоторую цэшку С из m+3 по 3. Так, давайте вот эту вот сумму, которая у нас здесь возникает, перепишем немножко по-другому, раскроем скобки некоторым своеобразным способом, а именно напишем вот так: смотрите, вот здесь у нас есть скобка (m+1) здесь есть скобка (m+2). Давайте (m+2) представим как (m+1) +1. То есть у нас получится (m+1) в квадрате пополам прибавить (m+1) пополам. Ну, если вы соберете это обратно вместе, вы как раз получите то, что у нас здесь написано. Дальше совершенно аналогично раскроем скобки во втором слагаемом, то есть напишем m в квадрате плюс m пополам. Здесь совсем очевидно, что m в квадрате пополам плюс m пополам. Ну и так далее. Так далее.... последнее слагаемое представим ровно так же, то есть 2 это у нас есть 1+1 соответственно 1 в квадрате плюс 1 пополам 1 в квадрате пополам плюс 1 пополам. Вторую единицу записываем без квадрата, чтобы была полная аналогия с тем, что написано в начале. Дальше это снова перегруппируем, вот в таком виде: одна вторая в скобках напишем сумму квадратов от единицы до m+1 1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс и так далее плюс m+1 в квадрате вот такая вот штука. Ну и отдельно напишем сумму арифметической прогрессии, то есть одна вторая на сумму чисел от единицы до m+1, уже без квадрата. Вот. Заметим, что эту сумму мы нашли как бы на предыдущем этапе. То есть сумму арифметической прогрессии мы знаем, по той причине, что мы мы знаем следствие с номером 2, при n равном 2 мы получили эту сумму. Мы знаем, как она устроена. Таким образом, давайте это напишем. Одна вторая на сумму всех квадратов плюс одна четверть на m+1 на m+2 и все, пополам уже делить не надо, потому что я эту половинку загнал вот сюда, у меня вместо одной второй возникла одна четверть. А сумма арифметической прогрессии да, это m+1 на m+2 пополам, то пополам пошло сюда, в одну четверть. Так, мы это знаем, но с другой стороны мы знаем, что вся вот эта сумма вся вот эта сумма в соответствии с нашим тождеством равняется просто C из m+3 по 3 ну давайте попробуем понять, что такое C из m+3 по 3 Это есть, по известной формуле, m+3 факториал на 3 факториал на m факториал. Вот такая вот штуковина. Давайте сократим факториал в числителе и большой факториал в знаменателе. У нас, естественно, в числителе останется всего 3 сомножителя. m+3, m+2 и m+1. Все остальное с m факториалом благополучно уничтожится. Ну и в знаменателе выживет только 3 факториал, который равен 6. 3 факториал- это 6. Таким образом, правая часть вот этой всей суммы- это очень просто устроенное выражение. Давайте наверное сотрем вот этот значок равенства, и просто напишем, что теперь вся вот эта сумма- это m+3 на m+2 на m+1 поделить на 6. Вот так вот. Ну и пафос этого следствия состоит в том, что теперь мы можем, просто исходя из нашего тождества, получить явную формулу для суммы квадратов первых m+1 натуральных чисел. Вот как мы с вами в какой-то момент сегодня вывели формулу для суммы квадратов всех биномиальных коэффициентов, так здесь мы можем посчитать сумму квадратов первых m+1 натуральных чисел. Ну давайте выведем. У нас получится, что 1 в квадрате плюс 2 в квадрате, плюс и так далее m+1 в квадрате вот такая сумма квадратов, надо только аккуратно, не запутаться, это будет m+3 m+2 m+1 поделить на 6, из этого надо вычесть (m+1)(m+2) поделенное на 4 но это еще не все, надо всю вот эту разность умножить на двойку, которая там у нас была в виде одной второй то есть надо вот так вот написать: 2 умноженное на вот эту вот разность, и это будет вроде бы уже правильно. Ну, счастье состоит в том, что здесь можно за скобки что-то вынести. Давайте так и поступим. Значит, у нас будет общий знаменатель- смотрите, 2 с 6 сократится, получится 3 с четверкой сократится получится 2, то есть общий знаменатель это 6, общий знаменатель это 6, дальше m+1 на m+2 мы вынесем за скобки а внутри скобок у нас останется m+3 однако m+3 умноженное на 2, потому что общий знаменатель- 6 то есть это будет 2m+6 и из этого надо будет вычесть просто единицу умноженную на 3, потому что здесь 2 стоит, а общий знаменатель это 6. То есть надо вычитать тройку. И того получаем m+1 на m+2 на 2m+3 поделить на 6. Ну, кому-то наверное может показаться немножко странным, что я суммирую числа в квадратах не от единицы до какого-то m, а от единицы зачем-то до m+1 в квадрате. То есть, конечно, можно эту формулу переписать для случая, когда суммируются первые m натуральных чисел в квадратах. Ну давайте перепишем. Понятно, как это будет выглядеть... плюс и так далее плюс m в квадрате- это будет просто m ну, видите m+1 заменяется на m, m+2 соответственно заменяется на m+1, а здесь мы m заменяем на m без единицы, на m-1 поэтому получается 2m+1 поделить на 6. Может быть, кому-то такая формула будет чуть более знакома, или чуть более приятна потому что мы вроде как просуммировали первые m чисел. Ну, какая разница, что обозначить на самом деле буквой m саму m, или m+1, вот просто сколько-то чисел просуммировали и получили соответствующую формулу для суммы их квадратов. Такой вот замечательный результат. Ну и теперь, я думаю, что вы догадываетесь, что если подставить например сюда n=4 и воспользоваться тем знанием, которое мы получили только что, то вы найдете сумму кубов. Давайте я этого делать не буду, а предложу вам просто следствие 4 на подумать. Вот пусть n равняется четырем постарайтесь вывести отсюда очень красивую, очень компактную формулу для суммы кубов первых m натуральных чисел. Ну я не буду писать, как она выглядит, я хочу, чтобы вам самим как-то было приятно это отыскать, но будет очень забавно, очень красивый любопытный на самом деле результат, в каком-то смысле неожиданный. Попробуйте еще подумать- а почему так получилось? Как именно, повторяю- ну вот если правильно получится, вы сами увидите, что там нечто удивительное заложено в том, что получится.
