Так, ну давайте для полноты картины рассмотрим еще один случай, рассмотрим
следствие 3 следствие 3, которое будет соответственно при n равном 3.
Мы до сих пор рассмотрели предыдущие случаи.
Дальше вы сможете другие энки поподставлять, вы увидите,
какие красивые следствия получаются, а при n равном 3 ну давайте,
правая часть тождества как выглядит у нас будет С из m+2
по 2 прибавить С из m+1 по 2 прибавить,
и так далее прибавить С из 2 по 2 это правая часть,
которую мы теперь, как водится, превращаем в левую.
Ну, а справа напишем то, что в нашем тождестве было, наоборот,
слева то есть С из m+3 по
3 вот так это будет выглядеть, С из m плюс m по n и попробуем понять,
что же за замечательное следствие у нас в итоге получилось.
Мы с вами научились считать вот эти С.
Тут у нас стоит m+2 помножить на m+1 поделить пополам,
тут у нас стоит m+1 помножить на m пополам,
тут у нас, ну давайте по аналогии тоже это запишем,
тут у нас стоит соответственно 2 умножить на 1 пополам.
И вот такие штуки мы складываем в итоге
на выходе получая вот некоторую цэшку С из m+3 по 3.
Так, давайте вот эту вот сумму, которая у нас здесь возникает,
перепишем немножко по-другому, раскроем скобки некоторым своеобразным способом,
а именно напишем вот так: смотрите,
вот здесь у нас есть скобка (m+1) здесь есть скобка (m+2).
Давайте (m+2) представим как (m+1) +1.
То есть у нас получится (m+1) в квадрате
пополам прибавить (m+1) пополам.
Ну, если вы соберете это обратно вместе, вы как раз получите то,
что у нас здесь написано.
Дальше совершенно аналогично раскроем скобки во втором слагаемом,
то есть напишем m в квадрате плюс m пополам.
Здесь совсем очевидно, что m в квадрате пополам плюс m пополам.
Ну и так далее.
Так далее....
последнее слагаемое представим ровно так же,
то есть 2 это у нас есть 1+1 соответственно 1 в квадрате
плюс 1 пополам 1 в квадрате пополам плюс 1 пополам.
Вторую единицу записываем без квадрата, чтобы была полная аналогия с тем,
что написано в начале.
Дальше это снова перегруппируем, вот в таком виде:
одна вторая в скобках напишем сумму квадратов от
единицы до m+1 1 в квадрате плюс 2 в квадрате
плюс и так далее плюс m+1 в квадрате вот такая вот штука.
Ну и отдельно напишем сумму арифметической прогрессии, то есть одна вторая на сумму
чисел от единицы до m+1, уже без квадрата.
Вот.
Заметим, что эту сумму мы нашли как бы на предыдущем этапе.
То есть сумму арифметической прогрессии мы знаем, по той причине,
что мы мы знаем следствие с номером 2,
при n равном 2 мы получили эту сумму.
Мы знаем, как она устроена.
Таким образом, давайте это напишем.
Одна вторая на сумму всех квадратов
плюс одна четверть на
m+1 на m+2 и все,
пополам уже делить не надо, потому что я эту половинку загнал вот сюда,
у меня вместо одной второй возникла одна четверть.
А сумма арифметической прогрессии да, это m+1 на m+2 пополам, то пополам пошло сюда,
в одну четверть.
Так, мы это знаем, но с другой стороны мы знаем, что вся вот эта сумма
вся вот эта сумма в соответствии с нашим тождеством равняется просто C из m+3 по
3 ну давайте попробуем понять, что такое C из m+3 по 3 Это есть,
по известной формуле, m+3 факториал на 3 факториал на m факториал.
Вот такая вот штуковина.
Давайте сократим факториал в числителе и большой факториал в знаменателе.
У нас, естественно, в числителе останется всего 3 сомножителя.
m+3, m+2 и m+1.
Все остальное с m факториалом благополучно уничтожится.
Ну и в знаменателе выживет только 3 факториал, который равен 6.
3 факториал- это 6.
Таким образом,
правая часть вот этой всей суммы- это очень просто устроенное выражение.
Давайте наверное сотрем вот этот значок равенства,
и просто напишем, что теперь вся вот эта сумма- это
m+3 на m+2 на m+1 поделить на 6.
Вот так вот.
Ну и пафос этого следствия состоит в том,
что теперь мы можем, просто исходя из нашего тождества,
получить явную формулу для суммы квадратов первых m+1 натуральных чисел.
Вот как мы с вами в какой-то момент сегодня вывели формулу для суммы квадратов
всех биномиальных коэффициентов,
так здесь мы можем посчитать сумму квадратов первых m+1 натуральных чисел.
Ну давайте выведем.
У нас получится, что 1 в квадрате плюс 2 в квадрате,
плюс и так далее m+1 в квадрате вот такая сумма квадратов,
надо только аккуратно, не запутаться, это будет
m+3 m+2 m+1 поделить на 6,
из этого надо вычесть (m+1)(m+2)
поделенное на 4 но это еще не все, надо всю вот эту разность умножить на двойку,
которая там у нас была в виде одной второй то есть надо вот так вот написать:
2 умноженное на вот эту вот разность, и это будет вроде бы уже правильно.
Ну, счастье состоит в том, что здесь можно за скобки что-то вынести.
Давайте так и поступим.
Значит, у нас будет общий знаменатель- смотрите,
2 с 6 сократится, получится 3 с четверкой сократится получится 2,
то есть общий знаменатель это 6, общий знаменатель это 6,
дальше m+1 на m+2 мы вынесем за скобки а внутри
скобок у нас останется m+3 однако m+3 умноженное на 2,
потому что общий знаменатель- 6 то есть это будет
2m+6 и из этого надо будет вычесть просто
единицу умноженную на 3, потому что здесь 2 стоит, а общий знаменатель это 6.
То есть надо вычитать тройку.
И того получаем m+1 на m+2
на 2m+3 поделить на 6.
Ну, кому-то наверное может показаться немножко странным,
что я суммирую числа в квадратах не от единицы до какого-то m,
а от единицы зачем-то до m+1 в квадрате.
То есть, конечно, можно эту формулу переписать для случая,
когда суммируются первые m натуральных чисел в квадратах.
Ну давайте перепишем.
Понятно, как это будет выглядеть...
плюс и так далее плюс m в квадрате- это будет просто m ну,
видите m+1 заменяется на m, m+2 соответственно заменяется на m+1,
а здесь мы m заменяем на m без единицы,
на m-1 поэтому получается 2m+1 поделить на 6.
Может быть, кому-то такая формула будет чуть более знакома,
или чуть более приятна потому что мы вроде как просуммировали первые m чисел.
Ну, какая разница, что обозначить на самом деле буквой m саму m, или m+1,
вот просто сколько-то чисел просуммировали
и получили соответствующую формулу для суммы их квадратов.
Такой вот замечательный результат.
Ну и теперь, я думаю, что вы догадываетесь,
что если подставить например сюда n=4 и воспользоваться тем знанием,
которое мы получили только что, то вы найдете сумму кубов.
Давайте я этого делать не буду, а предложу вам просто следствие 4 на подумать.
Вот пусть n равняется четырем постарайтесь вывести отсюда очень красивую,
очень компактную формулу для суммы кубов первых m натуральных чисел.
Ну я не буду писать, как она выглядит, я хочу,
чтобы вам самим как-то было приятно это отыскать, но будет очень забавно,
очень красивый любопытный на самом деле результат, в каком-то смысле неожиданный.
Попробуйте еще подумать- а почему так получилось?
Как именно, повторяю- ну вот если правильно получится, вы сами увидите,
что там нечто удивительное заложено в том, что получится.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
