Давайте еще одну задачу на полиномиальный коэффициент — в каком-то смысле другую, нежели та, которую мы рассмотрели, все-таки отличающуюся от той, что была на лекции, но идея решения будет совершенно такая же, и в итоге мы получим все ту же самую полиномиальную формулу, вернее, формулу с факториалом в числителе и несколькими факториалами в знаменателе. Ну давайте. Дабы пафос создать, может быть надо говорить о том, что это в общем вроде какая-то другая совершенно постановка. Смотрите, вот у нас есть 15 различных шаров. Различных, то есть они пронумерованы, они отличаются друг от друга. Вот их 15 штук, 15 различных шаров. И есть 5 различных ящиков. 5, опять же очень важно, различных ящиков. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Спрашивается, сколько существует опять же различных способов разложить наши шары по вот этим ящикам, причем так, чтобы в каждом ящике было ровно 3 шара? Ну давайте это запишем тоже. Сколько есть способов, — различных способов, — разложить шары по ящикам, [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] чтобы в каждом ящике было ровно 3 шара? [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Давайте я не буду морочить вам голову какими-то рассуждениями про биекции, про то, почему эта задача сходу соответствует той про слова, которую мы решили в предыдущем разборе. Давайте просто придем к ответу тем же самым способом на самом деле, каким мы приходили к нему и раньше. Ну действительно, смотрите, у нас ведь 15 различных шаров, да? И из этих 15-ти шаров мы должны выбрать 3 в первый ящик, 3 во второй ящик, — ну, естественно, других, не тех, которые выбрали в первый, — 3 в третий, 3 в четвертый и 3 в пятый. Правда же? Ну так давайте так и действовать. Вот есть 15 шаров. Выбираем из 15-ти 3, естественно, это можно сделать C из 15 по 3 способами, потому что порядок шаров внутри ящика для нас значения не имеет. Мы зачерпываем вот такую вот пригоршню сочетаний из трех шаров из 15-ти имеющихся у нас, зачерпнули одним из стольких способов, положили в первый ящик. Тут важно, что ящик первый, то есть он занумерован. И вот эти выбранные нами 3 шара одним из стольких способов, они отправились именно в первый ящик. Все, первый ящик заполнили. Расставили, можно так сказать, 3 буквы «а» по 15-ти возможным позициям. Имеющие уши, так сказать, да слышат, в этом и состоит то взаимно-однозначное соответствие между задачами, которое я вроде как пытался сокрыть. Итак, C из 15 по 3 — это количество способов выбрать 3 шара и затем положить их в первый ящик. Так, выбрали 3 шара, осталось 12 шаров в нашем распоряжении, из которых надо снова выбрать 3 шара с целью положить их уже во второй ящик. Итак, выбираем 3 шара. Естественно, работает правило умножения, потому что когда мы выбрали 3 первых шара, мы вслед за ними выбираем 3 следующих для укладки их во второй ящик. После того как мы выбрали и вторые 3 шара и положили их во второй ящик, у нас осталось 9 шаров, правильно? 12 было, 3 выбрали, 9 осталось. Значит, теперь из 9-ти надо выбрать произвольные 3 шара, так чтобы в итоге заполнить третий ящик этими тремя шарами. Остается 6 шаров, из которых снова надо выбрать 3 для четвертого ящика, после чего остается 3 шара, из которых надо выбрать 3 для пятого ящика и, понятное дело, это уже осуществляется ровно одним способом, и вот эту единицу мы для удобства опять записываем как C из 3 по 3. Значит, еще раз: вот это вот количество способов выбрать 3 шара для первого ящика. Коль скоро они выбраны, вот это есть количество способов вслед за ними выбрать 3 шара для второго ящика. Коль скоро и эти три шара выбраны, вот здесь написано количество способов выбрать очередные третьи 3 шара для третьего ящика. Для четвертого, для пятого, и это есть искомое количество по правилу умножения. Ну а теперь традиционно сокращаем факториалы. Пишем: 15!/(12! * 3!) * 12!/(3! * 9!) * 9!/(3! * 6!) * 6!/(3! * 3!) * 3!/(3! *0!). Шлеп, шлеп. Шлеп, шлеп, все вполне стандартно, да? Шлеп, шлеп, шлеп, шлеп. И в итоге у нас получился замечательный ответ: 15!/3! * 3! * 3! * 3! * 3!. Ну а это есть в наших лекционных обозначениях P (3, 3, 3, 3, 3). И ответ получен. То есть мы опять уже в этой задаче о расположении шаров в ящиках пришли к полиномиальному коэффициенту, — с некоторого другого боку, но решение задачи абсолютно такое же, как и задачи о числе слов. Ну а смысл понятен: действительно, выбрать 3 шара — это то же самое, что выбрать 3 позиции для простановки на них каких-то букв. Ну и дальше 3 шара для следующих букв и так далее. Поэтому получается то же самое произведение «цешек», биномиальных коэффициентов, которое, сократившись, дает нам коэффициент полиномиальный.
