Давайте еще одну задачу на полиномиальный коэффициент — в каком-то смысле другую,
нежели та, которую мы рассмотрели, все-таки отличающуюся от той,
что была на лекции, но идея решения будет совершенно такая же,
и в итоге мы получим все ту же самую полиномиальную формулу, вернее,
формулу с факториалом в числителе и несколькими факториалами в знаменателе.
Ну давайте.
Дабы пафос создать, может быть надо говорить о том,
что это в общем вроде какая-то другая совершенно постановка.
Смотрите, вот у нас есть 15 различных шаров.
Различных, то есть они пронумерованы, они отличаются друг от друга.
Вот их 15 штук, 15 различных шаров.
И есть 5 различных ящиков.
5, опять же очень важно, различных ящиков.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Спрашивается,
сколько существует опять же различных способов
разложить наши шары по вот этим ящикам,
причем так, чтобы в каждом ящике было ровно 3 шара?
Ну давайте это запишем тоже.
Сколько есть способов, — различных способов,
— разложить шары по ящикам,
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
чтобы в каждом ящике было ровно 3 шара?
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Давайте
я не буду морочить вам голову какими-то рассуждениями про биекции,
про то, почему эта задача сходу соответствует той про слова,
которую мы решили в предыдущем разборе.
Давайте просто придем к ответу тем же самым способом на самом деле,
каким мы приходили к нему и раньше.
Ну действительно, смотрите, у нас ведь 15 различных шаров, да?
И из этих 15-ти шаров мы должны выбрать 3 в первый ящик,
3 во второй ящик, — ну, естественно, других, не тех, которые выбрали в первый,
— 3 в третий, 3 в четвертый и 3 в пятый.
Правда же?
Ну так давайте так и действовать.
Вот есть 15 шаров.
Выбираем из 15-ти 3, естественно, это можно сделать C из 15 по 3 способами,
потому что порядок шаров внутри ящика для нас значения не имеет.
Мы зачерпываем вот такую вот пригоршню сочетаний из трех шаров из 15-ти
имеющихся у нас, зачерпнули одним из стольких способов, положили в первый ящик.
Тут важно, что ящик первый, то есть он занумерован.
И вот эти выбранные нами 3 шара одним из стольких способов,
они отправились именно в первый ящик.
Все, первый ящик заполнили.
Расставили, можно так сказать, 3 буквы «а» по 15-ти возможным позициям.
Имеющие уши, так сказать, да слышат, в этом и состоит то взаимно-однозначное
соответствие между задачами, которое я вроде как пытался сокрыть.
Итак, C из 15 по 3 — это количество способов выбрать
3 шара и затем положить их в первый ящик.
Так, выбрали 3 шара, осталось 12 шаров в нашем распоряжении,
из которых надо снова выбрать 3 шара с целью положить их уже во второй ящик.
Итак, выбираем 3 шара.
Естественно, работает правило умножения, потому что когда мы выбрали 3 первых шара,
мы вслед за ними выбираем 3 следующих для укладки их во второй ящик.
После того как мы выбрали и вторые 3 шара и положили их во второй ящик,
у нас осталось 9 шаров, правильно?
12 было, 3 выбрали, 9 осталось.
Значит, теперь из 9-ти надо выбрать произвольные 3 шара,
так чтобы в итоге заполнить третий ящик этими тремя шарами.
Остается 6 шаров, из которых снова надо выбрать 3 для четвертого ящика,
после чего остается 3 шара, из которых надо выбрать 3 для пятого ящика и,
понятное дело, это уже осуществляется ровно одним способом,
и вот эту единицу мы для удобства опять записываем как C из 3 по 3.
Значит, еще раз: вот это вот количество способов выбрать 3 шара для первого ящика.
Коль скоро они выбраны,
вот это есть количество способов вслед за ними выбрать 3 шара для второго ящика.
Коль скоро и эти три шара выбраны, вот здесь написано количество способов
выбрать очередные третьи 3 шара для третьего ящика.
Для четвертого, для пятого, и это есть искомое количество по правилу умножения.
Ну а теперь традиционно сокращаем факториалы.
Пишем: 15!/(12!
* 3!) * 12!/(3!
* 9!) * 9!/(3!
* 6!) * 6!/(3!
* 3!) * 3!/(3!
*0!).
Шлеп, шлеп.
Шлеп, шлеп, все вполне стандартно, да?
Шлеп, шлеп, шлеп, шлеп.
И в итоге у нас получился замечательный ответ: 15!/3!
* 3!
* 3!
* 3!
* 3!.
Ну а это есть в наших лекционных
обозначениях P (3, 3, 3, 3, 3).
И ответ получен.
То есть мы опять уже в этой задаче о расположении шаров в
ящиках пришли к полиномиальному коэффициенту, — с некоторого другого боку,
но решение задачи абсолютно такое же, как и задачи о числе слов.
Ну а смысл понятен: действительно, выбрать 3 шара — это то же самое,
что выбрать 3 позиции для простановки на них каких-то букв.
Ну и дальше 3 шара для следующих букв и так далее.
Поэтому получается то же самое произведение «цешек»,
биномиальных коэффициентов, которое, сократившись,
дает нам коэффициент полиномиальный.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
