Ну, давайте рассмотрим какой-нибудь пример. Просто вот какой-нибудь пример, чтобы было в дальнейшем понятно, о каких абстракциях я говорю, коль скоро рассуждаю о совершенно общей ситуации. Ну пример какой может быть самый простой? Чтобы он отличался от бинома. Наверное, вот так, хотя бы три слагаемых взять, чтобы отличия от бинома были видны. Ну n давайте возьмём самое маленькое, какое возможно, для начала, потому что иначе просто очень долго будет считать. Но, с другой стороны, ну ладно, давайте возьмём для начала самое маленькое, а там посмотрим, если не будет видна специфика, то можно будет рассмотреть ещё одно. Это как раз не очень страшно. Ну как раскрываются скобки? Надо взять выражение (x1 + x2 + x3), то же самое выражение пририсовать к нему в качестве сомножителя и дальше начать думать, как раскрываются скобки. Значит, мы можем из первой скобки, смотрите, из первой скобки можем взять переменную x1, и из второй скобки можем взять переменную x1. У нас получится x1 в квадрате, естественно. Можем взять из первой скобки x1, из второй x2. Давайте честно это и сделаем. Напишем x1 * x2. Можем взять из первой скобки x1, из второй x3. У нас будет x1 * x3. Но это, конечно, не всё. Дальше можем точно так же из первой скобки выбирать x2, а из второй последовательно x1, x2, x3. Ну давайте я уже не буду морочить голову: x2x1 + x2 в квадрате, x2x3 +... Ну и точно также последнее. Мы должны поступить по отношению к x3, взятому из первой скобки. То есть мы берём отсюда x3, * x1, потом x3 * x2 и, наконец, x3 возводим в квадрат. И теперь давайте, как водится, приведём подобные слагаемые. Значит, x1 в квадрате у нас встречался только один раз, то же самое касается x2 в квадрате, оно встречается только один раз, и то же самое касается x3 в квадрате. Так, слагаемое x1x2 встречается, наверное, дважды. Так и есть. 2x1x2, слава богу, перемножать в каком порядке нам совершенно неважно. Всё коммутирует. Так, x1x3 тоже встречается дважды, x1x3. Так, x2x3 тоже встречается дважды. Ну, я думаю, что для большинства слушателей это было совершенно ожидаемо. Тут как раз ничего такого удивительного не произошло. Как возводить в квадрат, пускай не сумму двух, а сумму трёх слагаемых, в принципе, я думаю, каждый из присутствующих должен понимать. Вот. Ну точно так же можно начать возводить в куб. Но давайте поймём, при чём здесь вообще могли бы быть полиномиальные коэффициенты? Чтобы было как-то в дальнейшем понятнее. Проверить, товарищи, проверить, что полиномиальные коэффициенты здесь по делу, вот это не составляет, конечно, никакого труда. Давайте сначала проверим, а потом поймём, почему они действительно в этом месте были по делу. Значит, смотрите. Я утверждаю, что вот этот вот коэффициент, который у нас равен 1. Конечно, 1 же коэффициент при x1 в квадрате. Этот коэффициент есть ни что иное, как P(2, 0, 0). P(2,0,0). Ну это формально-то проверить не составляет никакого труда. Формулу для P(2,0,0) мы с вами, безусловно, знаем. Это будет 2!, сумма этих чисел равняется 2, поделить на произведение их факториалов, то есть 2!0!0! — это, конечно, равно 1. Правильно, 1 получилась. Давайте я скажу, что вот этот вот коэффициентик, который при x2 в квадрате, можно и нужно интерпретировать как P(0,2,0). Ну точно так же, конечно, проверяется, что я прав. Единица действительно равна вот этому числу. То есть формально я, конечно, прав, но почему именно так это нужно обозначать? Вот это вот вопрос, который нам ещё предстоит обсуждать. Не думайте, что я что-то уже доказал. Значит, точно так же, понятное дело, коэффициент при x3 в квадрате. Я думаю, все уже догадались, это P(0,0,2) и это действительно 1. А дальше вот эта 2, она должна интерпретироваться вот как. Это P(1,1,0). Это действительно 2. Смотрите, какой интересный фокус. Значит, для кого-то это, наверное, звучит как фокус. Ну ничего, скоро поймём, что это не фокус, а математическая истина. Значит, 1 + 1 = 2!, а в знаменателе стоят 1!1!0!. Но это все три единицы. То есть знаменателя, по сути, нет. А 2! = 2. Совпало. Но, товарищи, прозорливые слушатели, догадываетесь, что такое вот эта 2? Я думаю, что да. Это P от (1,0,1). Понимаете, да, откуда всё берётся, откуда всё растёт? Вот эта вот 2 — это степень x1. Вот эти 0,0 — это степени x2x3 в данном выражении. То есть, если мы смотрим на x1 в квадрате, в нём вообще нет ни x2, ни x3, то есть это как бы x2 в нулевой, x3 в нулевой. Если мы смотрим на x2 в квадрате, вот оно x2 в квадрате, а x1 в нулевой, x3 в нулевой. Точно так же x3 в квадрате — это x1x2 в нулевой степени, а x3 в квадрате. Это я рассказываю фокусы, конечно, да? Но и здесь то же самое. x1x2 в первой, вот они x1x2, а x3 в нулевой. Здесь x1x3 в первой, а x2 в нулевой. Ну и, наконец, вот здесь будет P(0,1,1). Естественно, это та же самая двойка и всё в порядке. Вот давайте дальше попробуем всё-таки осознать, почему это не фокус, а математическая истина. Почему действительно эти коэффициенты на самом деле равны числам, которые я здесь указал. И, если это мы с вами осознаем, то, разумеется, дальше нам будет гораздо легче понять, как в общем случае производится возведение в n-ную степень выражение x1+... +xk.
