Добрый день, давайте продолжим заниматься нашей комбинаторной деятельностью.
Мы в прошлый раз уже достаточно много интересных объектов изучили.
Давайте я напомню, что мы сделали в прошлый раз,
чтобы как-то прилинковать это что-ли к нынешней лекции.
А дальше мы спокойно займемся новыми задачами.
Итак, у нас были размещения и сочетания.
Размещения и сочетания,
причем они были как с повторениями, так и без.
Значит, бывают разного типа размещения, разного типа сочетания.
Для них мы вводили некоторые
обозначения, которые соответствующим образом читались.
Вот скажем, A из n по k, Это были то, что называется k-размещения,
k-размещения из n объектов без
повторений.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] И для этой величины,
для этой комбинаторной характеристики для k-размещений из n объектов без повторений,
мы нашли формулу, доказали ее с помощью правила умножения.
У нас получилось наверное как-то вот так: n (n- 1), ....,
(n- k + 1) ну и я еще это переписал с помощью факториалов в виде n!
поделить на (n- k)!
Вот такая вот стандартная формула для числа k-размещений с повторениями из n
объектов.
Вот, ну дальше в прошлый раз мы успели разобраться с
величиной А из n по k с чертой.
Это то, что называется k-размещения с повторениями, опять же из n объектов.
Ну давайте уж напишу, чтоб была полная картина,
k-размещения с повторениями из n объектов.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну
вот то есть в той последовательности объектов, которую мы рассматриваем,
могут повторяться объекты, получаются такие слова содержательные,
я говорил там про лягушек, про гуляшек — все это было.
Вот для A из n по k с чертой, также с помощью правила умножения,
мы доказали формулу n в степени k — она совсем простая.
Настолько простая, что она проще, чем своё обозначение, то есть A из n
по k с чертой дольше писать, чем реальное значение этой величины.
Вот, а дальше у нас были еще две комбинаторные величины,
давайте вот здесь напишем C из
n по k и C из n по k с чертой.
Совершенно, так сказать, по аналогии обозначенные,
только теперь у нас не A, а C.
И разница состоит в том, что теперь мы рассматриваем не размещение,
то есть нас не интересует порядок объектов в той последовательности, которую мы
извлекаем, а на сей раз мы рассматриваем просто горстку, кучку объектов.
И соответственно, эту кучку объектов, называем сочетанием.
В данном случае, как не трудно догадаться,
речь идет о сочетаниях, естественно k-сочетаниях,
давайте я уж для полного единообразия добавлю букву k здесь,
k-сочетаниях из n объектов без повторения,
черты сверху нет, значит повторений тоже не бывает.
Ну и наконец, C из n по k с чертой — это k-сочетания с повторениями,
k-сочетания из тех же самых n объектов,
но с возможностью повторений.
Вот сейчас мне хочется вывести какие-то формулы для подсчета этих величин.
Это абсолютно классические величины, которые всюду возникают,
мы дальше увидим разные приложения этих величин, разные интересные их свойства,
но для того чтобы говорить содержательно о свойствах и о приложениях,
нужно конечно доказать какие-нибудь формулы.