Ну давайте, действительно, я прямо напишу общий случай, чтобы зафиксировать как-то на доске пафос происходящего, давайте обозначим какой-нибудь буквой n аналог вот этого числа 13, то есть количество символов, которые имеются в нашем распоряжении, если угодно, просто количество каких-то абстрактных объектов. Давайте так вот. Количество объектов, объекты в примере были буквами, но в общем случае это может быть всё, что угодно: груши, яблоки, например, что хотите. Количество объектов. И вот эти вот объекты классифицируются. Часть из них — это объекты первого типа, ну то есть вот, как в слове «комбинаторика», объектами первого типа были буквы «к». Часть их них — это объекты второго типа. Для слова «комбинаторика» это были буквы «о» и так далее. Ну вот давайте скажем, что n1 — это количество объектов, количество объектов первого типа, в свете того, что груши и яблоки могут быть объектами, очень подмывает в какой-нибудь момент описаться и написать здесь: «объедков», а не объектов. Вообще, это такая стандартная описка — переставить буквы местами. Так, n1 — это количество объектов первого типа. Давайте, n с индексом 2 — это количество объектов, объектов второго типа. Ну сколько у нас всего типов я не знаю. Вот в слове «комбинаторика» их было 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего было 9 разных букв внутри слова «комбинаторика» и вот первая буква, которая «к», она встречалась дважды, то есть n1 равнялось 2. Вторая буква, которая «о», она тоже встречалась дважды, то есть n2 равнялось 2 в том примере. Ну было 9 всего различных типов объектов, а в общем случае их сколько-то. Ну давайте это количество как-нибудь обозначим. Например, k. Давайте считать, что всего различных типов объектов, которые у нас есть в нашем распоряжении, их k штук. Например, яблоки, груши и помидоры. Так, nk — это количество объектов какого-то там k-того типа, последнего по счёту. Итак, давайте ещё раз. У нас есть всего n объектов в общем случае, есть k типов объектов, которые среди этих n встречаются, из них n1 объектов первого типа, n2 объектов второго типа, и так вплоть до nk, которые служат количеством объектов k-того типа. Понятно дело, что, как и вот в этом случае, сумма чисел n1 ,..., nk должна равняться общему количеству объектов, которые у нас есть. То есть n = n1 +... + nk. Вот так ставится задача. У нас есть n объектов и множества из этих n объектов разбито на группы: n1, n2 +... + nk. И общий вопрос состоит в том, чтобы понять, каково количество способов переставить, расположить в различном порядке эти объекты так, чтобы каждый раз получалась новая последовательность. Давайте это количество обозначим вот так вот. Это более или менее стандартное обозначение, которое очень часто в этом месте используется в литературе. Я потом про него обязательно скажу. Это само по себе очень интересное число. Так, p (n1 ,..., nk), даже вот смысл вот этого p я проясню, вот откуда p взялось, p (n1 ,..., nk) — это по определению количество способов составить последовательность, последовательность, из наших n объектов. Вот в точности то самое количество, которое в конкретном примере, когда мы рассматривали комбинаторику, мы и нашли с помощью указанной формулы. Так вот замечательная теорема, о которой, я думаю, большинство слушателей уже догадалось, теорема утверждает, что, конечно же, формула, написанная нами, имеет место и в общем случае тоже. Ну давайте вот где-нибудь здесь. Не осталось места. Я напишу теорему, она длинная. Значит, теорема утверждает, что для вычисления величины p (n1 ,..., nk), ну не знаю, насколько необходимо, во всяком случае, достаточно, взять сверху поставить n!. Видите, 13! было, а снизу поставить произведение факториалов, чисел n1 ,..., nk. n1! •... • n с индексом k и с факториалом. Ну такая вот общая формула. Я думаю, что большинство присутствующих в этой аудитории уже догадалось, как доказывать эту теорему, потому что в действительности никакой существенной разницы-то нет. Делается-то ровно то же самое. Ничего нового мы не привнесли. Просто я опасался, что, если я с самого начала напишу общую постановку задачи, то она напугает. Есть какие-то абстрактные объекты, их там классифицировали на какие-то множества, как-то мы их между собой переставляем. О чём, вообще, речь? А смысл-то очень простой: составляем слова из слов. Бином из комбинаторики, условно говоря, но это шутка. Вот. Тем не менее для полноты картины я сейчас приведу ещё раз то же самое рассуждение, которое мы ещё видели на предыдущих досках, я приведу ещё раз то же самое рассуждение уже применительно к общей ситуации, то есть аккуратно докажу теорему. Так я надеюсь, что абсолютно все присутствующие здесь, ну я надеюсь, что абсолютно все присутствующие здесь поймут, как эта теорема замечательная доказывается и научатся её соответственно применять.
