Ну давайте теперь поразбираемся с полиномиальной формулой. Следующий, так сказать, этап обобщения чисел и сочетаний, – это то, что называется «полиномиальные коэффициенты». Ну первая задача, которую мы разберем, она фактически разбиралась на лекции. Просто я еще раз для полноты картины напомню, как здесь жизнь устроена. На самом деле, все задачи на полиномиальные коэффициенты, они, конечно, очень похожи друг на друга и по-большому счету все они делаются через коэффициенты биномиальные. Просто в итоге получается та самая полиномиальная формула, с которой мы уже и работаем. Вот, ну давайте пусть у нас есть в распоряжении 5 букв «а», дальше есть 4 буквы «б» и 3 буквы «в». И давайте пытаться просто составлять различные слова, в которых бы участвовали все имеющиеся в нашем распоряжении буквы. То есть нам хочется использовать все 5 букв «а», все 4 буквы «б», и все 3 буквы «в». Итого сколько получается? 5 + 4 + 3 = 12 букв. Спрашивается: сколько существует различных, необязательно содержательных двенадцатибуквенных слов, которые можно таким образом составить? То есть можно написать подряд 5 «а», потом 4 буквы «б», потом 3 буквы «в», можно наоборот сначала 3 буквы «в», потом 4 буквы «б», потом 5 букв «а». Можно их как-то хитро между собой попереставлять. Сначала написать букву «а», потом «б», потом снова «а», потом «в». Но вот в какой-то последовательности всего получится в итоге 12 букв. И вот спрашивается: сколько всего различных таких последовательностей в принципе существует? Ну вот давайте я это напишу. Сколько различных слов можно составить из этих 12 букв?.. … Можно составить из этих 12 букв [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну, как я уже говорил, это в точности та задача, по сути, которую мы разобрали на лекции. А именно на лекции мы обсуждали вопрос: сколькими способами можно взаимно попереставлять буквы слова «комбинаторика» так, чтобы каждый раз получалось новое слово? В смысле, новая последовательность букв, необязательно содержательная, использующая все буквы этого слова? В том случае у нас было несколько букв «к», несколько букв «о». И вот мы их между собой переставляли. Если просто саппелировать к лекции, то можно сразу дать ответ на поставленный вопрос. Действительно, у нас есть 5 букв «а», 4 буквы «б» и 3 буквы «в». Ну, э-э-э... значит речь идет о всевозможных перестановках, которые участвуют фактически в определении полиномиального коэффициента. И тогда ответ получается сразу: это просто P(5, 4, 3), для которого мы знаем замечательную формулу: 12! / 5! 4! 3!. Вот вполне себе замечательная, симпатичная формула. И это есть ответ на поставленный вопрос. Но вот для того чтобы как-то закрепить материал, давайте я еще раз напомню, как эта формула получается в данном конкретном случае. Просто вот еще раз ее получим стандартным способом, чтобы как-то привыкнуть к тому, что в таких ситуациях вылезает именно такой вот полиномиальный коэффициент. Ну а как это сделать? Смотрите у нас есть 12 позиций, на каждую из которых можно поставить какую-нибудь очередную букву. Давайте сначала заполним какие-либо 5 позиций из этих 12 имеющимися в нашем распоряжении буквами «а». Для того чтобы это сделать, естественно, надо из 12 возможных имеющихся у нас позиций выбрать некоторые 5. И после того как те 5 позиций выбраны, просто насыпать на них буквы «а» в совершенно произвольном порядке. От этого, естественно, результат не поменяется. Число способов выбрать из 12 позиций 5 возможных это есть после всего, что мы с вами изучали, надеюсь очевидно: C из 12 по 5. Вот из 12 объектов, то есть из 12 позиций выбрать некоторые 5, естественно, без учета порядка, можно сделать в количестве равным числу сочетаний из 12 по 5, то есть просто C из 12 по 5. Дальше. Коль скоро 5 позиций для букв «а» уже зафиксированы, 5 позиций для букв «а» уже зафиксированы. Это делается вот столькими способами. Ну ясно, что у нас в распоряжении остается только 7 позиций, вот столько 12 минус 5. 5 зафиксированы, значит свободно еще 7 штук. И вот из этих оставшихся 7 позиций, которые по прежнему свободны, мы вольны выбрать некоторые 4 позиции для простановки туда букв «б». Абсолютно любые. И более того, вслед за тем, как мы выбирали вот эти 5, то есть по правилу умножения надо умножить на C из 7 по 4. Из 7 позиций выбираем 4 произвольных. Это делается в аккурат C из 7 по 4 способами. Ну это по правилу умножения, как я уже говорил, надо просто C из 12 по 5 * C из 7 по 4. После чего у нас остается ровно 3 свободных позиции, на которые нам, я прошу прощения, ничего не остается делать, как поставить буквы «в». Букв «в» у нас в аккурат 3 штуки, позиций после простановки 4 букв «в», остается свободных 3. Ну значит это делается, если хотите: С из 3 по 3 способами, где C из 3 по 3, конечно, равняется единице. Ровно один способ выбрать из 3 позиций те самые 3, на которые мы поставим буквы «в». Прошу прощение за занудство. Вот, ну а дальше, в принципе, можно считать то, что написано, ответом к задаче. Не заморачиваться и не переписывать в такой вот красивой форме. Но форма то красивая. Чего ж не переписать красиво, если это возможно? Ну, а как переписать красиво? Надо заметить, что C из 12 по 5 = 12! / 5! 7! согласно формуле, которую мы давно знаем. Дальше мы умножаем на 7! вот здесь, делим на 4! и на 3!. Ну и наконец C из 3 по 3 честно расписываем как 3! / 3! 0!. После чего у нас благополучно 7! уничтожается. Дальше 3! тоже благополучно уничтожается. А 0!, ну это ничто иное, как 1, то есть его можно просто не писать. Итого мы получаем в числителе 12!, потому что все остальное в числителе сократилось. А в знаменателе у нас остается 5!, 4! и 3!. 0 факториал, который равен 1, мы просто здесь не рисуем, потому что он никакой новой информации о значении этой величины нам не сообщает. Итого получаем, что формула, которая вполне понятна превращается вот в эту красивую симметричную формулу, которая, собственно, и совпадает с тем, что было заявлено в самом начале. Итого, да, действительно, ответ: P(5, 4, 3) то есть 12! / 5! на 4! и на 3!.
