Так, давайте попробуем теперь с помощью формулы
включения-исключения поискать ошибку в отчете.
Шпаргалку взял, потому что слишком много цифр, наизусть на помню,
напишу неправильно – ошибку не найдем.
Так. В отчете сказано, что в школе, в некоей,
есть 45 учеников,
причем среди этих 45 учеников, в том числе, 25 мальчиков.
Ну, давайте я так и напишу, в том числе в т.ч.,
– это значит «в том числе», 25 мальчиков.
Вполне казенный стиль.
Двадцать пять мальчиков.
При этом известно, что на «хорошо» и «отлично»,
на «хорошо» и «отлично» из вот этих вот 45 учеников учатся 30.
Ну, вообще это не плохо.
Так, на «хорошо» и «отлично»
учатся 30 учеников,
в том числе 16 мальчиков.
В том числе 16 мальчиков.
То есть, вот из 45 человек известно,
что 30 учатся на «хорошо» и «отлично» и, вот среди этих 30,
которые учатся на «хорошо» и «отлично», есть ровно 16 мальчиков.
Кроме того, известно, что спортом занимаются,
и успешно занимаются, спортом занимаются не то чтоб даже известно,
а в отчете сказано, что спортом занимаются 28 учеников,
из вот этих, по-прежнему пресловутых, исходных 45.
Спортом занимаются 28 учеников.
Среди которых 18 мальчиков.
Среди которых – вот среди этих 28 – восемнадцать
мальчиков и 17 учащихся на «хорошо» и «отлично».
И 17 учащихся на
на «хорошо» и «отлично».
То есть, будьте внимательны, вот, известно что,
согласно отчету, 28 есть учеников из 45,
среди которых 18 мальчиков, но вот эти 28 занимаются спортом,
и среди них же, среди этих 28 учеников, 17 товарищей учатся на «хорошо» и «отлично».
Причем, пока не сказано, сколько среди них мальчиков, девочек, – это не сказано.
Так, и наконец, последнее, что известно, это что 15 мальчиков,
вот теперь это будет сказано: 15
мальчиков учатся на «хорошо» и «отлично» и при этом занимаются спортом.
Учатся на «хорошо» и «отлично»,
и при этом занимаются спортом.
Это как раз вот то пересечение, о котором я указывал только что.
Занимаются спортом.
Так вот спрашивается: нет ли в этом отчете какой-нибудь ошибки,
не закралась ли она туда случайно.
Сейчас мы этот вопрос обсудим.
Так, давайте разбираться.
Я на самом деле утверждаю, что скорее всего, закралась ошибка.
Но, глядя на эти данные, сходу понять это невозможно.
Нужно что-то делать.
Ну, давайте попробуем применить формулу включения-исключения,
потому что как-то видно, что здесь даются и количества и их пересечения.
Что-то явно намекает на то, что надо использовать формулу включения-исключения,
– вот явно.
Ну, давайте.
Что такое наши объекты, с которыми мы имеем дело?
a1, ..., a с индексом N, если пользоваться обозначениями с лекции.
Ну понятно, это просто школьники, которые учатся в школе.
Их 45 человек.
Стало быть, N – это и есть 45.
И вот каждый из этих школьников обладает или же не обладает некоторым
перечнем свойств.
Давайте посмотрим, какие в нашем распоряжении имеются свойства.
Ну скажем, что можно считать свойством α1?
Ну наверное, самое первое свойство,
которое здесь явно присутствует в условии задачи – это пол.
Свойство, состоящее в том, что ученик является мальчиком.
Значит, α1 – это свойство, ученик является мальчиком.
Ну или не является мальчиком, тогда он является...
Ой. Друзья мои,
лучше я не буду говорить тогда, кем он является.
Наверное девочкой, все-таки.
Нет? Как вы считаете?
Так. Ну, это скользкий вопрос.
Я понимаю.
Вот. Заполняешь какую-нибудь анкету,
на заграничную визу, например, а там третий вариант дается.
Ни то, ни другое.
Черт знает что, вообще.
Так.
Ну ладно.
Мы не будем в такие дебри вдаваться.
Является мальчиком, не является мальчиком, в конце концов,
ну не является мальчиком и не является, уж кем он там является, может крокодилом.
Так. α2, тоже видно из условия задачи,
какое свойство здесь имеется в виду, α2 – это значит,
ученик учится на «хорошо» или «отлично».
Ученик учится на
«хорошо» и «отлично».
Это второе свойство, которое явно здесь присутствует.
Ну, есть третье свойство – спортом занимается или не занимается.
То есть, α3 – занимается спортом.
И вот про каждого ученика мы в принципе готовы сказать.
Является ли он мальчиком,
учится ли он на «хорошо» и «отлично» и занимается ли он спортом.
Ну, давайте, N мы определили.
N от α1, кажется тоже.
Сколько у нас всего мальчиков?
25, конечно, по условию задачи.
N от α2 – это количество тех учеников, которые учатся на «хорошо» и «отлично».
Ну, прекрасно.
Здесь сказано, это 30.
Ну и надо еще N от α3, наверное, определить.
Это число ребят или там девушек, которые занимаются спортом.
Ну вот, написано, 28 учеников занимаются спортом.
28.
Прекрасно.
Но, поскольку свойств три, то, наверно, бывает еще и одновременное выполнение
этих двух свойств, и даже одновременное выполнение этих трех свойств.
Ну, в нашем условии все есть.
Давайте, например, определим, чему равняется N от α1, α2.
То есть, сколько учеников, одновременно являясь мальчиками, еще, к тому же,
учатся на «хорошо» и «отлично».
Ну вот, смотрите.
Учатся на «хорошо» и «отлично» и в том числе являются мальчиками – 16 человек.
Шестнадцать человек.
N от α1, α3.
N от α1, α3, это значит, мальчик и в то же время занимается спортом.
Ну, смотрим.
Спортом занимается 28 учеников, среди которых 18 мальчиков.
Ну значит, это 18.
Прекрасно.
N от α2, α3 – это что у нас такое?
Это учится на хорошо и отлично и, вместе с тем, занимается спортом.
А, ну прекрасно, спортом занимается 28 учеников,
и из них 17 – на «хорошо» и «отлично».
Значит, здесь мы пишем 17.
И, наконец, для применения формулы включения-исключения
остается вычислить количество пресловутых полиглотов, но в данном случае,
это конечно, тоже никакие не полиглоты, а это просто ребята, которые одновременно
являются, ученики, извините, одновременно являющиеся мальчиками,
учащиеся на «хорошо» и «отлично», и занимающиеся спортом.
Но это 15 человек, нам это в самом конце сказано.
Их достаточно много, таких полиглотов пресловутых.
Тогда количество людей, которые не являются мальчиками,
не учатся на «хорошо» и «отлично», да еще и,
мерзавцы, не занимаются спортом, такие вот отсталые товарищи.
Этих отсталых товарищей, сколько?
Ну формула включения-исключения,
надо написать N − N от α1, − N от α2,
− N от α3 + N от α1,
α2, + N от α1,
α3 + N от α2, α3, ну и наконец,
− N от α1, α2, α3.
Подставляем только что прописанные значения.
У нас получается: 45, общее число людей,
− 25 − 30
− 28 +
16 + 18,
+ 17 и − 15.
Смотрим.
45 − 25 = 20 − 30 = −10
− 28 = −38, + 16 =
−22 + 18 = −4 + 17
= 13 и − 15, ой, это −2.
Оказывается, минус два человека у нас отсталые.
Ну, так не бывает.
Все-таки, количество каких-либо объектов это не отрицательное целое число, но,
как минимум, оно равняется нулю, но отрицательным оно уж никак не может быть.
Противоречие.
Значит, в отчете ошибка.
Таких данных быть не может.
Если бы были такие данные, а мы знаем, что формула включения- исключеня точно верна,
то мы бы получили вот такой нонсенс.
Количество каких-то там людей, которые не являются ни тем-то, ни тем-то,
ни тем-то – оно отрицательное.
Ну вы еще скажите – комплексное число, будет совсем замечательно.
нет, такое невозможно, и значит, в отчет закралась ошибка.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
