Ну, ларчик-то просто на самом деле открывается. То есть, я, может, и навёл тут какого-то пафоса, какой-то загадочности, интриги, а на самом деле ничего сложного нет. Давайте вернёмся вот к этой записи, которая у нас была: (x1 + x2 + x3) умножить на (x1 + x2 + x3). Вот давайте подумаем: когда мы раскрываем скобки, мы действительно перемножаем какие-то переменные, одна из которых взята из первой скобки, а другая из которых взята из второй. Что, по сути дела, мы таким образом составляем, когда перемножаем эти переменные? Вот, скажем, x1 умножаем на себя? Да, конечно, получается x1 в квадрате. Но ведь, с другой стороны, мы составляем — давайте вот я напишу — получилось x1 в квадрате после того, как x1 умножили на x1, но ведь получилась-то, по сути, последовательность, в которой дважды, извините, тут не x2, тут x1, дважды повторен один и тот же объект. Объект в данном случае — это переменная x1. Что такое x1 в квадрате? Это x1 умножить на x1. Ну можно забыть про то, что здесь стоит значок «умножить» и представлять себе просто последовательность, которая составлена из двух переменных, каждая из которых совпадает с x1. Ну, такая последовательность, естественно, одна. Но важно понимать, что вот это возведение в квадрат абсолютно равносильно рассмотрению вот такой последовательности из двух одинаковых элементов. В свою очередь, произведение x1 умножить на x2, давайте я даже последовательность через запятую буду рисовать, чтоб была видна разница, а то вам кажется, наверное, что здесь стоит произведение. В свою очередь, — давайте вот так нарисую стрелочку, чтоб было видно, что есть некое соответствие однозначное между возведением в квадрат и рассмотрением последовательности, составленной из двух одинаковых переменных, — и здесь точно так же, умножение x1 на x2 однозначно соответствует последовательности, но какой? Можно умножить x1 на x2 в таком порядке, а можно в обратном. То есть, нас интересуют уже 2 последовательности, одна из которых — это x1, x2, а другая из которых — это x2, x1. Две последовательности, и коэффициент, соответственно, получается 2. И так в любом из случаев, то есть, x2 в квадрате — это последовательность, которая состоит из 2‐х одинаковых символов x2, x3 в квадрате — это последовательность, которая состоит из двух одинаковых символов x3, скажем, x2 умножить на x3 — это последовательность, которая состоит из 2‐х разных символов, один из которых — x2, другой — x3, и таких последовательностей уже получается 2. Ну, давайте я напишу: x2 умножить на x3 соответствует 2‐м разным последовательностям: x2, x3 и x3, x2. Ну, это уже должно как-то вот вырисовывать в вашем сознании ту картину, которую я хочу создать. Дело в том, что получается, что когда мы приводим подобные слагаемые, — помните, мы ведь в конце приводили подобные слагаемые — мы имеем столько этих самых подобных слагаемых, — внимание — имеем столько, столько этих самых подобных слагаемых, сколько есть различных последовательностей, которые вот этому типу слагаемого отвечают. Значит, вот есть тип слагаемого x1 в квадрате — ему отвечает одна последовательность, и такое слагаемое одно. Есть тип слагаемых x1x2 — ему соответствуют 2 последовательности, и при приведении подобных слагаемых вылезает коэффициент 2. Вот есть тип слагаемых x2x3 — ему соответствуют 2 различных последовательности, тоже вылезает коэффициент 2. Ну, и так далее с каждым типом слагаемого. То есть, у нас есть соответствие между слагаемыми в разложении вот этого вот дела при возведении в степень — прямое, однозначное соответствие — между вот этими слагаемыми и последовательностями. Сколько последовательностей, столько и слагаемых. Помните наше любимое рассуждение про баранов, да? И про козлов? Не так давно было. Вот это оно самое. Козлов столько же, сколько камней. И баранов столько же, сколько камней. И коэффициент, который получится при приведении подобных слагаемых, он в точности равен количеству последовательностей. Ну, давайте попробуем в таких условно‐абстрактных терминах понять, вот что значит вот эта двойка, что это за количество последовательностей, о каких последовательностях вообще идёт речь? Значит, это последовательность, давайте напишем: это последовательность — сейчас всё станет совершенно понятно, если уже не понятно — значит, это последовательность, которая имеет длину 2, последовательность длины 2 в данном конкретном случае, в которой есть, в которой есть, ну, кажется, что 2 типа объектов, да? Вот это вот x2 и x3. Вот тут есть очень важный, тонкий момент: в каком-то смысле x1 здесь незримо тоже присутствует. Его нету в этой последовательности, ну, так сложилось, что его нету. Но давайте так: в которой, всё-таки, изначально есть 3 типа объектов, есть 3 — внимание, вот это очень важно — 3 типа объектов, давайте я это подчеркну, 3 типа объектов, а именно, объектов типа x1, типа x2 и типа x3. x1, x2, x3 — я выделил это в тире — 3 типа объектов. Один тип объектов — это переменная x1, другой тип объектов — это переменная x2, и третий тип объектов — это переменная x3. Значит, в которой есть 3 типа объектов, причём — вот сейчас всё встанет на свои места — тип x1 не встречается вовсе, ну или, если хотите, встречается 0 раз, встречается, встречается 0 раз, вообще не встречается, тип x2 встречается сколько раз? ну 1, конечно. Встречается ровно 1 раз. Встречается ровно 1 раз. Ну и тип x3 точно так же. Тип x3 встречается ровно 1 раз. Видите, я пытаюсь подогнать под наше определение полиномиального коэффициента, под чиселку P(n1, ..., nk). Давайте попробуем понять, что здесь — вот, давайте я напишу: P(n1, ..., nk) — что здесь есть k? Ну, k — это всегда количество типов объектов, из которых мы составляем последовательность. В данном случае этих типов 3 штуки. У нас есть объекты типа переменной x1, есть объекты типа переменной x2 и есть объекты типа переменной x3: всё, никаких других объектов у нас нету. То есть, в нашем, вот в этом конкретном случае, давайте вот сюда стрелку нарисуем, k = 3. И вот теперь наступает момент понимания, момент истины. Смотрите: что такое n1 в данном конкретном случае? n1 — это в любом случае количество встречаемостей объектов типа n1 в нашей последовательности. Типа, извините, 1. Типа 1 в нашей последовательности. Но он вообще не встречается: n1 = 0. Вот оно что. n2 — это количество раз, которые объект 2‐го типа встречается в нашей последовательности. Это 1, и n3 = 1. Ну всё, собственно говоря. Количество последовательностей — это P(0, 1, 1), мы подставили просто наши параметры в определение числа P. P — это количество всех возможных — внимание — последовательностей длины 2, в которых вообще отсутствует переменная 1‐го типа, а каждая из оставшихся переменных присутствует ровно 1 раз: x2, x3. Ну вот, собственно говоря, и получился коэффициент — козлы и камни. Козлы — это коэффициенты, камни — это вот эти последовательности. И последовательностей, как мы с вами уже доказали, их длины 2 и в которых n1 = 0, n2 = 1, n3 = 1, их просто по определению вот столько. И да, действительно, конечно, всё совпадает. То есть, никакой загадочности-то в этом нету. Это вполне математический факт. Вот что происходит, например, вот здесь, когда мы рассматриваем x1 в квадрате? А здесь мы рассматриваем последовательности длины 2, давайте я всё-таки это тоже напишу, вот так: последовательности длины 2, давайте прям вот как здесь, в которых по-прежнему есть, формально говоря, 3 типа объектов — вот эти же самые x1, x2 и x3, но при этом x1 встречается ровно 2 раза, x2 не встречается вовсе, x3 не встречается вовсе. В которых ровно 2 объекта типа x1, в которых ровно 2 объекта типа x1, и нет ни объектов типа x2, ни объектов типа x3. Ни x2, ни x3, вот так вот. Ну, понятно, что это количество, просто, опять же, по определению, — некуда писать, давайте я вот здесь напишу, но вот то, что я напишу после точки с запятой — это количество, отражающее вот эту запись. Значит, это количество — это есть просто по определению P(2, 0, 0), как у нас с вами вроде бы загадочно, вроде так вот волшебно и получалось. А никакого волшебства: мы составляем последовательности из символов 3‐х типов, но только в данном случае мы рассматриваем такие последовательности, в которых нет ни символов 2‐го типа, ни символов 3‐го типа, зато 1‐й символ присутствует дважды. С одной стороны, получается баран, то есть коэффициент при x1 в квадрате, а с другой стороны, получается количество таких последовательностей, ну, оно же равно 1, вот этому барану единственному. Ну, и так далее, то есть, мне кажется, что вот если вы всмотритесь сейчас во всё это рассуждение, то общая картинка будет совершенно понятна.
