Ну давайте ее, соответственно, сформулируем ну и наверное еще раз прокомментируем, если это покажется необходимым после того, как я завершу написание формулировки. Честно говоря, мне кажется, что я уже в достаточной мере занудил на эту тему и в принципе по идее все понятно. Но, если вот вдруг кому-то что-то непонятно, я сейчас еще раз поясню. Значит, теорема в общем случае говорит вот что. Ну давайте, действительно, напишем x1 + … + xk, и возведем это в n-степень. Наверное, все-таки, придется как-то это дополнительно прокомментировать. Как это раскрывается? Я напишу словами, прямо словами, потому что если я напишу обозначение символьное, то возможно кого-то из слушателей это напугает. Потом я напишу характерное, использующееся в этом месте символьное обозначение, но для начала напишу словами, чтобы было максимально понятно. Значит, как посчитать чему равняется эта сумма? Ой, извините, чему равняется эта степень, как вычислить эту степень. Значит, надо после знака равенства взять сумму, взять сумму по всем возможным наборам чисел n1, …, nk. Вот это k и вот это k суть одно и то же, да не смутит вас, конечно, это одно и то же. Итак, это сумма по всем возможным способам выбрать числа n1, ..., nk, такие что каждая ni-тая это не отрицательное число. Ну, есть разные школы понимания того, что такое натуральные числа, я, наверное, в этой аудитории уже об этом говорил. Можно было бы просто сказать, что n i-тая натуральное, но зачастую школьников-то учат, что натуральные числа начинаются с единицы, поэтому я подчеркиваю, что среди этих чисел да, действительно могут быть нули, вот они, эти нули, они встречаются. Так, сумма по всем возможным наборам чисел n1, ..., nk, таким, что каждое из этих чисел – неотрицательное целое число – и n1 + … + nk равняется в точности n, вот этому n. Сумма чего? Сумма по всем, но сумма чего? Значит, утверждается, что надо взять все возможные наборы n1, …, nk, состоящие из неотрицательных целых чисел, в сумме дающих n, давайте точку я сотру, потому что, конечно, фраза не закончена, а суммируется вот что. Суммируется... так сумма по всем возможным наборам чисел выражений, давайте так, сумма выражений, сумма выражений. Каких выражений? А вот таких. P от n1, ..., nk, P от n1, ..., nk * x1 в степени n1 * x2 в степени n2 * … * xk в степени nk. Ну вот давайте переведем дух, посмотрим еще раз внимательно на то, что здесь написано и еще раз осознаем что сказано, потом проведем соответствие между этим утверждением и тем, о чем мы с вами говорили перед этим, когда рассматривали пример, ну а затем я, все-таки, прокомментирую еще разочек доказательство, хотя оно по идее должно быть уже понятно. Так, ну смотрите, написано еще раз следующее, мы суммируем вот такие вот выражения, и суммируем их по всем возможным способам выбрать числа n1, ..., nk, которые вот сюда потом подставляются в эти выражения. Какие числа? Неотрицательные целые и в сумме дающие наше исходное n, которое равняется степени вот этого выражения. Вот утверждается, что если просуммировать все возможные такие штуковины, то мы получим в аккурат результат возведения в n-степень выражения x1 +... + xk. Так, ну давайте реализовывать, ну я надеюсь, что понятно что здесь написано. А, я вам еще обещал написать как это обычно математически записывается. Пишется вот так. Ну Ʃ, как значок сумма, стандартный. Дальше пишется в скобочках (n1, ..., nk) под знаком суммирования. Скобочки подразумевают, что наборы этих чисел упорядоченные, что нам важно в каком порядке n1, n2 и так далее следуют друг за дружкой. Ну а дальше можно написать то же самое, что у нас стоит после двоеточия. Для любого i, для любого i, ni-тая больше либо равняется нуля, неотрицательное целое число. И сумма этих чисел n1 + … + nk равняется n. То есть вот здесь, под знаком суммирования описывается то множество, по которому это суммирование ведется. Вот я это просто словами написал, а здесь я это написал точно так же формулой, а дальше в точности те выражения, о которых мы с вами и говорили: x1 в n1, x2 в n2... xk в nk. Вот это вот такая, чисто математическая, сугубо математическая запись, смысл которой выражается вот такими словами. Обещал – нарисовал.
