В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача об угловом ускорении конического колеса
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
15 оценки
Из урока
Пространственное движение твердого тела
Познакомьтесь с преподавателями
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Теперь перейдем к понятию углового ускорения.
По определению угловое ускорение — это полная производная по времени от вектора
угловой скорости.
Поэтому, когда вы вычисляете угловое ускорение, нужно не забыть,
что продифференцировать вектор нужно с учетом того,
что он изменяется и по направлению, и по модулю.
Давайте вычислим угловое ускорение для той же задачи,
для которой мы вычисляли угловую скорость, то есть для задачи про коническое колесо.
Что мы для этой задачи...
давайте напомним условия.
У нас есть коническое колесо,
которое катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости,
при этом стержень OC прикреплен к нашему коническому колесу под
прямым углом и в своем движении описывает коническую поверхность,
то есть точка C вращается по окружности вокруг вертикальной оси.
Точка O неподвижна.
Заданы геометрические размеры, то есть известно,
что радиус конического колеса r, длина стержня OC = корень из 3 * r.
И вектор угловой скорости для этой задачи мы с вами уже получили.
Вектор угловой скорости = 0,
−2at / корень из 3 * r и 0.
Требуется найти угловое ускорение и линейное ускорение точки B,
где точка B — это верхняя точка нашего конического колеса.
Как мы будем искать угловое ускорение?
Как и говорили, угловое ускорение — это полная производная по
времени от вектора угловой скорости.
У вектора угловой скорости есть направление и есть модуль.
Давайте представим вектор в виде произведения направления и модуля.
То есть ω — это модуль вектора угловой скорости умножить
на вектор направления единичной длины, то есть ω0 — это орт единичной длины.
И это нужно продифференцировать по времени.
На лекции вам получали эту формулу, говорили,
что угловое ускорение складывается из двух компонент: за
счет изменения длины угловой скорости на вектор направления,
плюс за счет изменения направления,
то есть Ω — угловая скорость вращения вектора угловой скорости — * ω.
Давайте для нашей задачи выпишем, а что такое ω0 и ω.
ω0 — это единичный орт в направлении вектора ω.
Соответственно, ω0 — это [0, −1, 0].
Это ω0.
И ω — это модуль вектора угловой скорости,
то есть 2at / корень из 3 * r.
Вот это — это модуль вектора ω.
Давайте теперь подумаем, а как найти Ω,
что такое угловая скорость и изменение вектора угловой скорости.
Что нам известно из нашей задачи?
Что мгновенная ось вращения, выделенная красным,
все время находится в плоскости xy.
Вектор угловой скорости находится в этой же плоскости и совпадает с осью вращения.
В движении с вектором ω
в одной же плоскости остается и вектор OC, наш стержень.
Соответственно, это значит что?
Что угловая скорость вращения вектора OC совпадает с угловой скоростью вращения
вектора ω.
Как определить угловую скорость вращения вектора OC?
Нам известно, с какой скоростью точка C движется, причем мы знаем,
что точка C движется по окружности и описывает вокруг вертикали эту окружность.
Скорость движения нам задана.
Давайте из этого условия найдем угловую скорость движения точки C вокруг
вертикальной оси.
Опять же пользуемся формулой Эйлера.
Скорость точки C = искомая ω векторно умножить на OC.
Подставляем.
Что нам известно?
Что вращение происходит вокруг вертикали,
поэтому компоненты у вектора Ω есть только по оси z: [0, 0, Ω].
Векторно умножим на вектор OC.
Вектор OC имеет компоненты: 0 по оси x,
на ось y проекция — корень из 3 * r
умножить на cos(30°), это корень из 3 / 2,
и проекция на ось z — это корень из 3 * r * 1 / 2.
Вычисляем.
Первая компонента векторного произведения — это
−3rΩ / 2.
Вторая компонента — это 0.
И третья компонента — это тоже 0.
Скорость точки C нам известна.
В проекциях на эту систему координат она равна [−at, 0, 0].
А с другой стороны, через Ω она равна [−3rΩ
/ 2, 0, 0].
Отсюда получаем,
что вектор угловой скорости Ω =
2at / 3r.
На рисунке наш вектор угловой скорости,
с которой вращается вектор ω, расположен
по оси z, и величину мы его выписали.
Теперь давайте вычислим еще производную от модуля вектора
угловой скорости и подставим все найденные величины в формулу для углового ускорения.
Модуль угловой скорости равен 2at / корень из 3 * r,
поэтому производная от длины вектора угловой скорости
— это 2a / корень из 3 * r.
Подставляем все в формулу для углового ускорения.
Первая компонента — dω / dt * вектор ω0.
ω0 — это вектор [0, −1, 0].
Соответственно, первая компонента — это 0,
−2 / корень из 3 * r и 0.
И теперь нужно посчитать векторное произведение
вектора Ω: [0, 0,
2at / 3r] *
вектор угловой скорости — 0,
−2at / корень из 3 * r
и 0.
Давайте вычислим.
Первое слагаемое я пока перепишу без изменений: [0,
−2 / корень из 3 * r, 0].
А векторное произведение сейчас вычислим.
Первая компонента равна 4a
квадрат * t квадрат
/ 3 корня из 3 * r квадрат.
Вторая компонента равна 0.
И третья компонента тоже равна 0.
Соответственно, вектор углового ускорения выглядит следующим образом.
Первая компонента: 4a квадрат * t квадрат / 3 корня из 3 * r квадрат.
Вторая компонента: −2a / корень из 3 * r.
И третья компонента — 0.
Чтобы дальше не носить за собой эти большие выражения,
давайте просто заменим на εx — это первая компонента, εy и 0.
Будем знать, что εx = 4a квадрат * t квадрат / 3 корня из 3 * r квадрат.
Вторая компонента, εy = −2a / корень из 3 * r.
Ну третья компонента — 0.
Теперь давайте при помощи найденного вектора углового ускорения найдем
ускорение точки B, пользуясь формулой распределения ускорений в твердом теле.
Давайте в качестве полюса выберем точку O,
так как она неподвижна и ее ускорение известно, что равно нулю.
Второе слагаемое: векторное произведение вектора углового ускорения
* вектор OB и плюс двойное
векторное произведение — вектор угловой скорости векторно умножить
на произведение вектора угловой скорости на OB.
Заметьте, на самом деле, что то, что в скобочках, где тут двойное
векторное произведение, на самом деле, это мы уже вычисляли — это скорость точки B.
Поэтому повторно вычислять мы его не будем, воспользуемся фактом,
что мы его вычисляли и оно в 2 раза больше, чем скорость точки C.
Ну и ускорение точки O, за счет того что она неподвижная — 0, пропишем.
Остается вычислить два векторных произведения и сложить.
Вектор углового ускорения (ε) имеет компоненты εx, εy и 0.
Вектор нам нужно умножить на вектор OB.
Вектор OB имеет компоненты: по оси x — 0,
по оси y — 2r * cos(60°) — это 1 / 2,
и 2r * sin(60°) — корень из 3 / 2.
Прибавим произведение вектора ω,
который давайте запишем в виде: 0 − модуль вектора ω и 0.
Векторно умножить на скорость точки B.
Она в 2 раза больше, чем скорость точки C — это [−2at,
0, 0], — ну и направлена в таком же направлении, как скорость точки C.
Давайте вычислим.
Первое слагаемое: векторное произведение
равно εy * корень из 3 * r.
Вторая компонента равна
−εx * корень из 3 * r.
Третья компонента равна εx * r.
Прибавим второе векторное произведение.
Первая компонента: 0.
Вторая компонента: 0.
Третья компонента: −2ωat.
Давайте сложим и запишем результат.
Первая компонента ускорения точки B — это корень из 3 * r * εy.
Вторая компонента: − корень из 3 * r * εx.
И третья компонента: εx * r − 2ω at.
В это выражение, чтобы получить окончательный ответ,
нужно подставить только значение для εx, εy и ω.
εx взять отсюда, εy — отсюда, и значение модуля
вектора угловой скорости взять отсюда, вот мы их выписывали.
Что мы сделали в этой задаче?
Мы научились вычислять угловое ускорение и при помощи найденного углового ускорения
нашли ускорение точки, заданной точки твердого тела, в данном случае — точки B.
Спасибо за внимание, задача решена.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
