В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача об угловом ускорении конического колеса
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
14 оценки
From the lesson
Пространственное движение твердого тела
Meet the Instructors
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Теперь перейдем к понятию углового ускорения.
По определению угловое ускорение — это полная производная по времени от вектора
угловой скорости.
Поэтому, когда вы вычисляете угловое ускорение, нужно не забыть,
что продифференцировать вектор нужно с учетом того,
что он изменяется и по направлению, и по модулю.
Давайте вычислим угловое ускорение для той же задачи,
для которой мы вычисляли угловую скорость, то есть для задачи про коническое колесо.
Что мы для этой задачи...
давайте напомним условия.
У нас есть коническое колесо,
которое катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости,
при этом стержень OC прикреплен к нашему коническому колесу под
прямым углом и в своем движении описывает коническую поверхность,
то есть точка C вращается по окружности вокруг вертикальной оси.
Точка O неподвижна.
Заданы геометрические размеры, то есть известно,
что радиус конического колеса r, длина стержня OC = корень из 3 * r.
И вектор угловой скорости для этой задачи мы с вами уже получили.
Вектор угловой скорости = 0,
−2at / корень из 3 * r и 0.
Требуется найти угловое ускорение и линейное ускорение точки B,
где точка B — это верхняя точка нашего конического колеса.
Как мы будем искать угловое ускорение?
Как и говорили, угловое ускорение — это полная производная по
времени от вектора угловой скорости.
У вектора угловой скорости есть направление и есть модуль.
Давайте представим вектор в виде произведения направления и модуля.
То есть ω — это модуль вектора угловой скорости умножить
на вектор направления единичной длины, то есть ω0 — это орт единичной длины.
И это нужно продифференцировать по времени.
На лекции вам получали эту формулу, говорили,
что угловое ускорение складывается из двух компонент: за
счет изменения длины угловой скорости на вектор направления,
плюс за счет изменения направления,
то есть Ω — угловая скорость вращения вектора угловой скорости — * ω.
Давайте для нашей задачи выпишем, а что такое ω0 и ω.
ω0 — это единичный орт в направлении вектора ω.
Соответственно, ω0 — это [0, −1, 0].
Это ω0.
И ω — это модуль вектора угловой скорости,
то есть 2at / корень из 3 * r.
Вот это — это модуль вектора ω.
Давайте теперь подумаем, а как найти Ω,
что такое угловая скорость и изменение вектора угловой скорости.
Что нам известно из нашей задачи?
Что мгновенная ось вращения, выделенная красным,
все время находится в плоскости xy.
Вектор угловой скорости находится в этой же плоскости и совпадает с осью вращения.
В движении с вектором ω
в одной же плоскости остается и вектор OC, наш стержень.
Соответственно, это значит что?
Что угловая скорость вращения вектора OC совпадает с угловой скоростью вращения
вектора ω.
Как определить угловую скорость вращения вектора OC?
Нам известно, с какой скоростью точка C движется, причем мы знаем,
что точка C движется по окружности и описывает вокруг вертикали эту окружность.
Скорость движения нам задана.
Давайте из этого условия найдем угловую скорость движения точки C вокруг
вертикальной оси.
Опять же пользуемся формулой Эйлера.
Скорость точки C = искомая ω векторно умножить на OC.
Подставляем.
Что нам известно?
Что вращение происходит вокруг вертикали,
поэтому компоненты у вектора Ω есть только по оси z: [0, 0, Ω].
Векторно умножим на вектор OC.
Вектор OC имеет компоненты: 0 по оси x,
на ось y проекция — корень из 3 * r
умножить на cos(30°), это корень из 3 / 2,
и проекция на ось z — это корень из 3 * r * 1 / 2.
Вычисляем.
Первая компонента векторного произведения — это
−3rΩ / 2.
Вторая компонента — это 0.
И третья компонента — это тоже 0.
Скорость точки C нам известна.
В проекциях на эту систему координат она равна [−at, 0, 0].
А с другой стороны, через Ω она равна [−3rΩ
/ 2, 0, 0].
Отсюда получаем,
что вектор угловой скорости Ω =
2at / 3r.
На рисунке наш вектор угловой скорости,
с которой вращается вектор ω, расположен
по оси z, и величину мы его выписали.
Теперь давайте вычислим еще производную от модуля вектора
угловой скорости и подставим все найденные величины в формулу для углового ускорения.
Модуль угловой скорости равен 2at / корень из 3 * r,
поэтому производная от длины вектора угловой скорости
— это 2a / корень из 3 * r.
Подставляем все в формулу для углового ускорения.
Первая компонента — dω / dt * вектор ω0.
ω0 — это вектор [0, −1, 0].
Соответственно, первая компонента — это 0,
−2 / корень из 3 * r и 0.
И теперь нужно посчитать векторное произведение
вектора Ω: [0, 0,
2at / 3r] *
вектор угловой скорости — 0,
−2at / корень из 3 * r
и 0.
Давайте вычислим.
Первое слагаемое я пока перепишу без изменений: [0,
−2 / корень из 3 * r, 0].
А векторное произведение сейчас вычислим.
Первая компонента равна 4a
квадрат * t квадрат
/ 3 корня из 3 * r квадрат.
Вторая компонента равна 0.
И третья компонента тоже равна 0.
Соответственно, вектор углового ускорения выглядит следующим образом.
Первая компонента: 4a квадрат * t квадрат / 3 корня из 3 * r квадрат.
Вторая компонента: −2a / корень из 3 * r.
И третья компонента — 0.
Чтобы дальше не носить за собой эти большие выражения,
давайте просто заменим на εx — это первая компонента, εy и 0.
Будем знать, что εx = 4a квадрат * t квадрат / 3 корня из 3 * r квадрат.
Вторая компонента, εy = −2a / корень из 3 * r.
Ну третья компонента — 0.
Теперь давайте при помощи найденного вектора углового ускорения найдем
ускорение точки B, пользуясь формулой распределения ускорений в твердом теле.
Давайте в качестве полюса выберем точку O,
так как она неподвижна и ее ускорение известно, что равно нулю.
Второе слагаемое: векторное произведение вектора углового ускорения
* вектор OB и плюс двойное
векторное произведение — вектор угловой скорости векторно умножить
на произведение вектора угловой скорости на OB.
Заметьте, на самом деле, что то, что в скобочках, где тут двойное
векторное произведение, на самом деле, это мы уже вычисляли — это скорость точки B.
Поэтому повторно вычислять мы его не будем, воспользуемся фактом,
что мы его вычисляли и оно в 2 раза больше, чем скорость точки C.
Ну и ускорение точки O, за счет того что она неподвижная — 0, пропишем.
Остается вычислить два векторных произведения и сложить.
Вектор углового ускорения (ε) имеет компоненты εx, εy и 0.
Вектор нам нужно умножить на вектор OB.
Вектор OB имеет компоненты: по оси x — 0,
по оси y — 2r * cos(60°) — это 1 / 2,
и 2r * sin(60°) — корень из 3 / 2.
Прибавим произведение вектора ω,
который давайте запишем в виде: 0 − модуль вектора ω и 0.
Векторно умножить на скорость точки B.
Она в 2 раза больше, чем скорость точки C — это [−2at,
0, 0], — ну и направлена в таком же направлении, как скорость точки C.
Давайте вычислим.
Первое слагаемое: векторное произведение
равно εy * корень из 3 * r.
Вторая компонента равна
−εx * корень из 3 * r.
Третья компонента равна εx * r.
Прибавим второе векторное произведение.
Первая компонента: 0.
Вторая компонента: 0.
Третья компонента: −2ωat.
Давайте сложим и запишем результат.
Первая компонента ускорения точки B — это корень из 3 * r * εy.
Вторая компонента: − корень из 3 * r * εx.
И третья компонента: εx * r − 2ω at.
В это выражение, чтобы получить окончательный ответ,
нужно подставить только значение для εx, εy и ω.
εx взять отсюда, εy — отсюда, и значение модуля
вектора угловой скорости взять отсюда, вот мы их выписывали.
Что мы сделали в этой задаче?
Мы научились вычислять угловое ускорение и при помощи найденного углового ускорения
нашли ускорение точки, заданной точки твердого тела, в данном случае — точки B.
Спасибо за внимание, задача решена.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
