В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача об ориентации конуса в кватернионном описании
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
15 оценки
Из урока
Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение) Понятие кватерниона
Познакомьтесь с преподавателями
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
В случае если итоговое положение твердого тела получается в результате комбинаций
поворотов, то кватернион, задающий положение твердого тела относительно
неподвижного базиса, можно получить при помощи теоремы о сложении поворотов.
Давайте покажем это на примере уже знакомой вам задачи с конусом.
Напомним условия: у нас есть круговой конус с углом при вершине
π / 3 и радиусом основания R.
Этот конус в начальный момент времени расположен таким образом,
что его ось симметрии расположена в плоскости zOy.
В процессе движения конус катится без проскальзывания по горизонтальной
плоскости, и конечное его положение определяется, задается таким образом,
что ось симметрии конуса также лежит в плоскости zOy, но с другой стороны.
Посмотрите, пожалуйста, на анимацию, чтобы вспомнить, как конус движется,
и обратите внимание на то,
где оказывается точка касания в начальный и конечный момент времени.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Теперь
давайте выпишем сначала кватернион, задающий положение твердого тела
относительно неподвижного базиса в начальный момент времени.
[ШУМ] Для этого давайте введем систему координат.
Система координат, связанная с конусом, следующая: ось симметрии — это ось z',
ось x' пусть совпадает с осью x, и ось y' мы рисовать не будем,
но вы понимаете, что она расположена в плоскости zOy перпендикулярно оси z'.
Что значит «задать кватернион,
описывающий положение твердого тела относительно неподвижного базиса»?
Это значит, что нужно задать ось поворота и задать угол, на который мы поворачиваем.
Обратите внимание, что в данном случае, чтобы совместить подвижную и неподвижную
систему отсчета, достаточно повернуть вокруг оси x на угол −π / 3.
Обратите внимание, что поворот — по часовой стрелке,
поэтому угол отрицательный.
И кватернион, задающий положение начальное, следующий.
Скалярная часть: косинус угла поворота пополам,
косинус — функция четная, так что минус не пишем, cos(π / 6).
Поворот осуществляем вокруг оси x, поэтому векторная часть — 1,
0, 0, которую необходимо домножить на синус от
половины угла поворота,
sin(−π / 6), sin(−π / 6).
Подставим значения.
cos(π / 6) — корень из 3 / 2,
sin (−π / 6) — − 1 / 2.
А две остальные компоненты равны 0.
Это кватернион, задающий начальное положение.
Обратите внимание на то: мы эту задачу уже решали, когда изучали углы Эйлера.
И сколько времени у нас понадобилось на то, чтобы задать углы Эйлера,
которые помогают определить ориентацию базиса,
связанного с телом относительно неподвижного базиса.
И как быстро мы получили ответ здесь.
Почему? Потому что углы Эйлера — это ненаблюдаемые
величины, а кватернион имеет наглядную геометрическую интерпретацию.
Теперь давайте перейдем к конечному положению твердого тела.
[ШУМ] Неподвижная система координат, как и раньше — xyz.
Конус в конечном положении занимает,
принимает следующую ориентацию: что
ось симметрии конуса —
точно так же в плоскости zOy.
Как вы видели на анимации, ось x' направлена противоположно оси x.
И ось y' мы рисовать не будем — вы понимаете, что это ось,
ортогональная z' и x' и составляющая с ними правую тройку.
Теперь нам необходимо задать кватернион, который описывает положение базиса,
связанного с твердым телом в текущий момент времени,
относительно неподвижного базиса.
Чтобы перевести неподвижную систему координат в подвижную,
необходимо осуществить три последовательных поворота.
Первый мы с вами уже осуществили,
давайте будем двигаться при помощи начального положения.
То есть первый кватернион — это кватернион, задающий начальное положение.
Далее, из начального положения нам необходимо перевести ось z' в новое
положение.
Это кватернион, который задает поворот вокруг оси z на угол π.
И последнее: вы обратили внимание на то,
что точка касания осталась в том же самом месте, то есть снова касается оси y,
а это значит, что конус повернулся вокруг своей оси на угол 2π.
И такой хороший угол в 2π получился только за счет
таких геометрических характеристик нашего конуса — что угол при вершине = π / 3.
Ну что, давайте выпишем кватернион,
задающий конечное положение твердого тела относительно неподвижного базиса.
Выпишем кватернион поворота вокруг оси z на угол π.
Это кватернион λ2, и равен он:
cos(π / 2) — это скалярная часть,
и 0, 0, sin(π / 2) — это его векторная часть.
Кватернион — [0, 0, 0, 1].
Кватернион, задающий поворот вокруг
оси z' — это
следующий кватернион: cosπ,
и далее мы должны ось z',
выписанную в неподвижной системе координат, умножить на sinπ.
То есть обратите внимание на то, что это обычный, единичный кватернион,
на который домножать необязательно, на результат он влиять не будет.
Что у нас есть?
У нас есть два кватерниона: кватернион, задающий начальное положение,
и перекидывающий из начального положения в конечное.
И обратите внимание на то, что оба кватерниона выписаны в неподвижной
системе координат, то есть мы с вами можем пользоваться активной точкой зрения на
повороты, а значит кватернион, задающий конечное положение твердого тела,
получается в результате перемножения кватернионов в обратном порядке.
То есть λ3 * λ2 * λ,
задающий начальное положение.
λ3 — это единичный кватернион, умножение на него не
даст никакого нового эффекта, поэтому перемножаем только λ2 и λ начальный.
λ2 — [0, 0, 0, 1] — кватернионно
умножаем на кватернион λ начальный — [корень из 3 / 2,
−1 / 2, 0, 0].
Скалярная часть кватерниона,
задающего конечное положение равна 0.
Теперь давайте получим векторную часть.
Сначала скалярную часть первого кватерниона умножим на векторную часть
второго и получим 0, нулевой вектор.
Теперь скалярную часть второго кватерниона умножим на векторную часть первого,
получим 0, 0, корень из 3 / 2.
Теперь перемножим векторные части кватерниона.
Первая компонента — нулевая, вторая компонента — −1 / 2,
и третья компонента — нулевая.
Получаем следующий кватернион: [0, 0,
−1 / 2, корень из 3 / 2].
Видим, что это кватернион, который задает поворот вокруг
оси с координатами 0, −1 / 2, корень из 3 / 2.
При этом поворот осуществляется на такой угол,
косинус половины которого равен 0, а синус половины которого равен 1,
то есть угол θ = π.
Давайте покажем эту ось на нашем рисунке.
Ось следующая: проходит по образующей
нашего конуса, которая лежит в плоскости zOy.
И вы можете заметить, что, действительно, поворотом вокруг
этой оси на угол π мы можем совместить неподвижную систему координат с подвижной.
Теперь мы воспользовались активной точкой зрения,
теперь давайте пару слов скажем про пассивную точку зрения.
В пассивной точке зрения мы должны были записать кватернион
второго поворота в системе координат, из которой он производит этот поворот.
То есть наш кватернион λ2 — давайте его обозначим со звездочкой
— выпишем в системе координат z'x'y',
связанной с начальным положением конуса.
Что этот кватернион делает?
Он производит поворот на угол π, то есть скалярная часть — это
cos(π / 2), и поворачивает вокруг оси z,
выписанной в системе z'x'y' — можно выписать,
чему равны координаты z, — на угол π.
Координаты оси z в системе z'x'y' равны: 0 по оси x,
по оси y — −sin (π / 3),
и по оси z — cos (π / 3).
И необходимо еще домножить на sin(π / 2),
то есть sin(π / 2) и sin(π / 2).
То есть кватернион,
осуществляющий перевод из начального положения в конечное,
следующий: скалярная часть — 0, иксовая компонента — 0.
Дальше, игрековая компонента: sin60° — корень из 3 / 2,
то есть −корень из 3 / 2, и 1 / 2.
Теперь, чтобы получить кватернион, задающий конечное положение
твердого тела, при использовании пассивной точки зрения,
мы должны перемножить кватернионы в прямом порядке, то есть мы должны кватернион,
задающий начальное положение, умножить на кватернион,
задающий второй поворот, записанный в собственном базисе.
И можете проверить, что, действительно, результат получается точно такой же,
как мы получили при активной точке зрения.
Спасибо за внимание, задача решена.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
