Применим теперь полученные формулы к следующей задаче.
Известно, что орбита Меркурия в первом приближении может быть
выражена следующим образом — ρ = p / (1 + ecos ω φ), где
ρ и φ — известные нам полярные координаты, которые мы с вами уже использовали.
p — это некая константа, и e — это тоже некая константа.
p — это параметр орбиты, а e — это эксцентриситет.
Кроме того, по условию задачи,
ω не равно 1 и известно, кроме того, что выполняется
следующий закон — ρ квадрат φ «с точкой» — константа.
Этот закон вы уже знаете, это на самом деле второй закон Кеплера и
вы его уже применяли, закон сохранения площадей.
Что нам требуется?
Нам требуется найти зависимость модуля ускорения от расстояния,
где ρ — это как раз расстояние от притягивающего центра до планеты.
Вспоминаем, какими формулами мы будем пользоваться.
Перед этим давайте изобразим картинку, как движется Меркурий по орбите.
Звездочкой отметим притягивающий центр, в данном случае это Солнце.
И орбита Меркурия будет выглядеть следующим образом.
Это эллипс, если бы ω была бы равна 1,
но так как ω у нас не равна 1, то эта орбита поворачивается с течением времени.
В какой-то момент времени она будет выглядеть вот таким вот образом,
в какой-то момент времени таким вот образом.
То есть орбита Меркурия будет прецессировать вокруг Солнца.
Теперь перейдем к формулам.
Вспомним, как выглядит трансверсальная компонента ускорения.
Мы выписывали формулу и перед тем,
как получить итоговый результат, видели, что до того,
как взять полную производную по времени, наша формула выглядела следующим образом.
[БЕЗ_ЗВУКА] Обратите внимание,
что под полной производной по времени у нас стоит как раз константа из
закона сохранения площадей.
То есть проекция ускорения на ось,
соответствующую координате φ, равна 0.
Соответственно, наше ускорение складывается только из одной радиальной
компоненты, что полностью соответствует второму закону Ньютона,
что мы с вами посмотрим еще раз в динамике.
Теперь радиальная компонента ускорения.
Записывается следующим образом, формулу мы получили,
запишем ее еще раз и посмотрим, чем она нам не очень подходит.
Смотрите, зависимость ρ у нас от φ, но не от времени,
а здесь нам необходимо посчитать полные производные по времени.
В принципе можно и вычислять, но производные будут не очень приятными.
Поэтому давайте мы эту формулу преобразуем к более удобному виду — от
производных по времени перейдем к производным по углу.
Как мы это будем делать?
Давайте запишем что такое dρ / dt.
ρ — это функция φ, поэтому эта производная
переписывается в виде dρ / dφ * φ «с точкой».
φ «с точкой» мы можем получить из вот этого вот соотношения,
так как константа площадей известна.
φ «с точкой» — это C / ρ квадрат.
Подставляем сюда.
C / ρ квадрат, dρ / dφ.
1 / ρ можно поместить под знак дифференциала.
Получим, −C (производная от 1 / ρ) / dφ.
Точно таким же образом мы поступим со второй производной по времени,
d2ρ / dt квадрат.
Что это такое?
Это полная производная по времени от выражения, которое мы только что получили.
От −C (d 1 / ρ) / dφ.
d / dt точно так же заменяем, это d / dφ, на φ «с точкой».
[БЕЗ_ЗВУКА] От −C(d
(1 / ρ)) / dφ.
И в результате получаем, что вторая
производная по времени перепишется следующим образом.
Используя то, что φ «с точкой» — это C / ρ квадрат.
–C квадрат / ρ квадрат.
Вторая производная.
От 1 / ρ по dφ квадрат.
Подставим теперь в формулу для ускорения.
Что получим?
Что радиальная компонента ускорения записывается следующим образом.
−C квадрат / ρ квадрат.
Вторая производная от (1 / ρ) / dφ квадрат
минус… Давайте вместо φ «с точкой» тоже подставим C / ρ квадрат.
Получим минус −C квадрат / ρ в кубе.
Теперь у нас есть явно выражение для ρ,
поэтому мы можем подставить его в эту формулу.
Что такое 1 / ρ?
1 / ρ —
это 1 / p + ecos ω φ / p.
Согласитесь, что такую функцию дифференцировать по углу φ намного
удобнее, чем функцию просто ρ / φ.
Давайте сделаем это, продифференцируем.
Первая производная по
φ — это
−ω esin ω φ / p.
Вторая производная.
Получаем, −ω квадрат
ecos ω φ / p.
Теперь наша задача найти ускорение,
как функцию от ρ, то есть от φ нам бы избавиться.
Давайте сделаем это на этом шаге.
Смотрим на первую формулу на данной доске и видим оттуда,
что ecos ω φ / p у нас уже есть, мы знаем чему это равно,
и это равно −ω
квадрат (1 / ρ − 1 / p).
Подставим в нашу формулу для радиальной компоненты ускорения и получим.
Нам необходимо вот эту производную умножить на −C квадрат / ρ квадрат.
Получаем (C
квадрат / ρ квадрат) * ω квадрат,
(1 / ρ − 1 / p), и нужно вычесть C квадрат / ρ в кубе.
В принципе,
это выражение можно еще преобразовать, например, C квадрат / ρ квадрат
вынести за знак скобки, но и так видно, что мы получили то, что требовалось.
Мы нашли ускорение, как функцию расстояния от Меркурия до притягивающего центра,
до Солнца.
Спасибо, задача сделана.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
