Сейчас осталось научиться записывать ускорение в проекциях на базис
криволинейной системы координат.
Напомним, как вам говорили на лекции,
ускорение в известных проекциях и проекции — это
скалярное произведение вектора
ускорения на i-тый орт базиса,
записывается следующим образом: 1 / коэффициент Ламе, соответствующий этой
координате, × полную производную по времени,
частную производную от модуля скорости в квадрате пополам
по q с точкой i-тому − частное
производное от модуля скорости в квадрате пополам / dq i-тое.
Давайте выпишем проекции для
ускорений опять же для цилиндрической системы координат.
Напомним, цилиндрическая система координат записывается следующим образом.
Это координаты ρ, φ и z, и через x, y, z они выражаются так: x — это ρ × cosφ,
y — ρ × sinφ, и z — это z.
Для такой системы мы уже получали,
что коэффициенты Ламе равны: коэффициент Ламе, соответствующий координате ρ,
равен 1; коэффициент Ламе, соответствующий координате φ,
равен ρ; и коэффициент Ламе, соответствующий координате z, равен 1.
Теперь, компоненты для скорости мы тоже уже получали.
Цилиндрическая система координат является ортогональной,
поэтому разложение скорости совпадает с проекциями.
Напомним, как выглядят разложения.
Разложения скорости, коэффициент в проекции на орт,
соответствующий координате ρ — это ρ с точкой.
Компонента скорости, соответствующая проекции на орт φ — это ρ × φ с точкой.
И компонента скорости на z — это z с точкой.
Так как они ортогональны, то модуль скорости
в квадрате вычисляется как сумма квадратов компонент.
То есть ρ с точкой в квадрате + ρ × φ с точкой в квадрате,
ρ в квадрате тоже, + z с точкой в квадрате.
Теперь у нас есть все необходимое для подстановки
в формулу и получения проекций ускорения на криволинейную систему координат.
Давайте сделаем.
Первое, координата ρ.
Что нам необходимо?
Нам необходимо посчитать производную от квадрата скорости
в квадрате пополам по q с точкой,
то есть по ρ с точкой.
dV квадрат пополам по ρ с точкой — это...
дифференцируем.
ρ с точкой входит только в первое слагаемое,
поэтому производная равна ρ с точкой.
Производная от V квадрат пополам по ρ.
ρ входит только во второе слагаемое,
поэтому и производная равна ρ × φ с точкой в квадрате.
Заметьте, что при дифференцировании мы считаем q и q с точкой независимыми
координатами.
Действительно, если в пространстве задать координату q, это не значит,
что мы задали скорость q с точкой.
Поэтому q и q с точкой независимы, и дифференцируем независимо.
Полученное выражение подставляем в формулу.
Проекция ускорения на первый базисный вектор,
на ρ — это равно следующему: 1 / коэффициент Ламе,
соответствующий координате ρ, полная производная по времени от ρ с
точкой − ρ × φ с точкой в квадрате.
Продифференцируем по времени ρ, получим ρ две точки.
В результате получаем: ρ две точки
− ρ × φ с точкой в квадрате — первая компонента ускорения.
Давайте сделаем то же самое для φ.
Для этого нужно взять частную производную от V квадрат пополам по φ с точкой.
φ с точкой входит только во второе слагаемое.
Получаем ρ квадрат на φ с точкой.
Просто φ не входит в выражение для модуля скорости,
поэтому вторая производная равна 0.
dV квадрат пополам по dφ = 0.
Подставляем в формулу для проекции ускорения на орт,
соответствующий координате φ.
1 / коэффициент Ламе — в данном случае коэффициент Ламе = ρ,
— полная производная по времени от ρ квадрат φ с точкой.
Равно.
Полная производная по времени берется от произведения двух функций,
зависящих от времени, поэтому нужно продифференцировать каждую из них.
Что получаем?
1 / ρ, дифференцируем 2 × ρ × ρ с точкой
× φ с точкой + ρ квадрат × φ две точки.
Поделим на ρ, получим итоговый ответ.
2 × ρ с точкой × φ с точкой
+ ρ × φ две точки.
Осталось выполнить такие же действия для координаты z.
Производная от
V квадрат пополам по z с точкой — это z с точкой.
Производная от V квадрат пополам по z равно 0,
так как в выражение для квадрата скорости z не входит.
Подставляем полученное выражение в формулу для проекции ускорения на ось z.
1 / коэффициент Ламе, полная производная по
времени от z с точкой, получаем z две точки.
В результате мы, пользуясь выведенной формулой,
получили проекцию ускорения на орты криволинейной системы координат на орт,
соответствующий координате ρ, он выглядит вот таким вот образом.
На орт, соответствующий координате φ, проекция выглядит вот таким вот образом.
И проекция на орт, соответствующий координате z, выглядит следующим образом.
Ответы получены, спасибо.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
