На примере следующей задачи разберемся с методом остановки.
Что у нас есть?
У нас есть три шестеренки, находящиеся во внешнем зацеплении,
центры которых расположены на кривошипе.
[ЗВУК] Радиус
шестеренок задан r1, r2, r3.
Точка О первой шестеренки неподвижна.
Центры остальных шестеренок находятся на кривошипе.
Что задано?
Задано, что кривошип вращается
с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε в этом направлении.
Первая шестеренка, независимо от кривошипа,
вращается с угловой скоростью ω1 и угловым ускорением ε1 в этом направлении.
Необходимо найти угловую скорость третьей шестеренки и угловое
ускорение третьей шестеренки.
Как бы мы решали эту задачу, если бы не пользовались методом остановки?
Мы бы нашли скорость точки контакта для первой шестеренки.
Так как шестеренки движутся в зацеплении,
то нашли бы скорость контакта для второй шестеренки.
Зная скорости двух точек, определили бы угловую скорость второй шестеренки.
Далее, точно таким же методом перешли бы к третьей шестеренке.
То есть в случае количества шестеренок больше чем три,
наша задача бы значительно усложнилась.
Метод остановки помогает нам упростить решение этой задачи.
Каким образом?
Мы переходим в систему отсчета, связанную с кривошипом.
То есть в этой системе отсчета кривошип неподвижен.
Давайте заодно введем систему отсчета xy.
Если кривошип в этой системе отсчета неподвижен, то шестеренки
вращаются с другой угловой скоростью, которая вычисляется по какой формуле?
Абсолютная угловая скорость каждой шестеренки складывается из
относительной угловой скорости плюс переносной угловой скорости,
где переносная угловая скорость — это как раз скорость нашего кривошипа,
абсолютная угловая скорость — это то, что мы наблюдаем в неподвижной
системе отсчета, а относительная угловая скорость — это то,
что наблюдаем в системе, связанной с кривошипом.
Давайте неизвестные угловые скорости обозначим ω2 и ω3 и покажем,
как метод остановки помогает нам наиболее
простым образом найти угловые скорости ω2 и ω3.
Давайте нарисуем следующую табличку,
где в первом столбце будут угловые скорости, привязанные к кривошипу.
Далее, к первой шестеренке, ко второй и к третьей.
В первой строчке — абсолютные угловые скорости, во второй — относительные.
Абсолютная угловая скорость кривошипа известна — это ω.
Только давайте еще определимся с направлением оси z.
Ось z для введенной системы координат xy смотрит на нас,
поэтому угловая скорость кривошипа в проекции на эту систему — это −ω.
Далее, угловая скорость первой шестеренки — это ω1,
известная угловая скорость, второй — ω2 и третьей — ω3.
ω2 и ω3 неизвестны.
Угловая скорость кривошипа, относительная угловая скорость
кривошипа равна нулю, так как мы перешли в систему отсчета, связанную с кривошипом.
Далее, в этой системе первая шестеренка имеет угловую скорость
ω1 + ω.
Вторая шестеренка имеет ω2 + ω,
и третья — ω3 + ω.
Теперь, что у нас в этой системе отсчета происходит?
В этой системе отсчета шестеренки вращаются вокруг неподвижных центров,
скорости контакта, соответственно, у них одинаковые в этой системе отсчета.
Скорость точки А, скорость точки контакта, направлена вверх.
Скорость точки контакта в этой точке равна по
модулю скорости в точке А и направлена в противоположном направлении.
[ЗВУК] Давайте выпишем формулу Эйлера и свяжем скорости этих точек.
Давайте, чтобы еще не носить за собой эти выражения сумму ω1 + ω,
обозначим вот эту компоненту Ω1,
эту — Ω2, эту — Ω3.
Теперь, давайте выпишем скорость
точки А, исходя из того, что она принадлежит первой шестеренке.
Это скорость точки О, которая равна нулю, плюс векторное
произведение угловой скорости первой шестеренки 0,
0, Ω1 векторно на радиус-вектор ОА.
Радиус-вектор ОА в проекцию на эту систему имеет координаты r1, 0, 0.
Давайте вычислим.
Первая компонента ноль — это и так понятно из рисунка.
Вторая компонента — Ω1r1, третья компонента — ноль.
С другой стороны,
точка А также принадлежит второй шестеренке,
при этом центр второй шестеренки тоже неподвижен в этой системе отсчета.
Давайте обозначим его О'.
И по формуле Эйлера скорость точки А равна скорости точки О' плюс векторное
произведение: вектор угловой скорости второй шестеренки на радиус-вектор О'А.
О'А в этой системе координат имеет компоненты −r2, 0, 0.
И вычисляем, получаем: первая компонента — 0,
вторая компонента — −Ω2r2, и 0.
Далее, следующая точка контакта — это точка В.
Ее скорость равна по модулю скорости точки А,
но направлена в противоположном направлении.
В принципе,
можно даже выписать сразу ее, получаем, что скорость точки В,
исходя из того, что она принадлежит второй шестеренке,
равна 0, Ω2r2 и 0.
Но с другой стороны, точка В также принадлежит третьей шестеренке.
Давайте найдем ее скорость,
как точки третьей шестеренки, третьего твердого тела.
Точно так же, в данной системе отсчета центр третьей шестеренки неподвижен.
Скорость О2' равна нулю, и по формуле Эйлера получаем,
что скорость третьей шестеренки — это 0, 0, Ω3 умножить на радиус-вектор О''В.
Он равен −r3, 0, 0.
И тогда первая компонента 0,
вторая компонента −Ω3r3, и 0.
Что мы отсюда получаем, какие соотношения?
Давайте приравняем скорости точек А и скорости точек В с учетом знака минус,
что она противоположно направлена скорости точки А.
Получаем Ω1r1
= −Ω2r2 = Ω3r3.
Смотрите, какой интересный результат мы получили.
В случае внешнего зацепления знаки чередуются,
а еще что интересно, что нам не нужно искать угловую скорость второй шестеренки,
чтобы найти угловую скорость третьей.
То есть нам достаточно решить следующее соотношение:
что ω1 + ω,
угловая скорость кривошипа, * r1 = ω3
+ ω * r3.
Отсюда, давайте, чтоб не ошибиться,
перемножим: ω1r1 + ωr1
= ω3r3 + ωr3.
Получаем, что ω3 — это
ω1 * r1 /r3
+ ω * (r1
− r3) / r3.
Еще нам необходимо найти угловое ускорение ε3.
Так как зависимости
между ω1 и ε Вот эта зависимость, которая
у нас получилась между ω3 и ω1, она справедлива для любого момента времени.
Мы никак не привязывались к какой-то определенной конфигурации
расположения шестеренок в пространстве.
Поэтому угловое ускорение получается продифференцированным по времени и
получаем, что угловое ускорение третьей шестеренки – это
ε1 * r1 / r3 + ε (r1 − r3) / r3.
Ответ для этой задачи получен.
Давайте теперь посмотрим, а что изменится в том случае,
если одна из шестеренок будет не во внешнем зацеплении, а во внутреннем.
То есть, например, если у нас такая ситуация.
Есть точно так же три шестеренки [ЗВУК],
но одна из шестеренок
находится во внутреннем зацеплении с одной из шестеренок.
Пусть ситуация будет точно такая же,
то есть кривошип вращается с заданной угловой скоростью ω и угловым
ускорением ε, и первая шестеренка вращается с угловой скоростью ω1 и ε1.
Точно так же r1, r2 и r3 — это радиусы шестеренок.
Необходимо найти угловую скорость третьей шестеренки.
В данном случае, маленькой шестеренки, которая находится внутри большой второй.
В чем разница решения в данном случае?
Опять же, принцип получения решения точно такой же.
Мы переходим в систему координат, связанную с кривошипом.
То есть в этой системе координат наши шестеренки вращаются вокруг
неподвижных центров.
Что получаем?
Что скорость точки первого контакта точно так же направлена вверх.
Скорость точки второго контакта направлена вниз.
И что изменится в выкладках здесь?
Для поиска скорости точки A ничего не изменится.
Все будет точно так же.
То есть соотношение,
что Ω1r1 = −Ω2r2 сохраняется неизменным.
Дальше, что у нас изменяется?
У нас изменяется подсчет для скорости точки B в случае,
если точка принадлежит третьей шестеренке: точка A, точка B.
Как формула будет выглядеть?
Скорость точки B для третьей шестеренки в этом случае
вычисляется так: как векторное произведение 0; 0; Ω3
умножить на вектор O''B.
Вектор O'', если мы систему координат O''B,
если систему координат оставляем точно такой же.
Теперь записывается не как −r3; 0; 0,
а как r3; 0; 0, так как вектор теперь направлен в положительном направлении x,
а не в отрицательном, как было до этого.
И тогда компоненты скорости точки B равны: первая компонента 0,
вторая компонента Ω3r3, и 0.
При этом, соотношение,
что это равно минус скорости
точки A все так же остается в силе, как и было до этого.
Что получаем в результате?
Что Ω1r1 =
−Ω2r2 и равняется −Ω3r3.
Вы видите, что в случае внутреннего зацепления, знак не поменялся.
Соответственно, результат будет другой.
Можно получить, подставив.
Что мы получаем?
Что Ω1 r1 = Ω3r3,
−Ω3r3, если подставить значение,
то получим, что ω
r1 + ω r1
= − ω3 r3
− ωr3.
Теперь ω3
получается = 1
/ r3.
И все остальное, точнее,
−ω3 переносим в левую часть, все остальное — в правую, и получаем,
что в скобочках остается −ωr3 −
ω1r1 и − ωr1.
Другой результат.
Поэтому обращайте, пожалуйста, внимание на то, как шестеренки зацеплены.
Внешним образом или внутренним.
Что мы сделали в этой задаче?
Мы использовали метод остановки и при помощи него простым образом нашли
угловые скорости шестеренок.
Спасибо!
Задача решена.
