Итак, продолжаем заниматься кинематикой, а конкретно — кинематикой точки. Мы с вами договорились о том, что мы прекрасным образом записываем скорость и ускорение точки в декартовой системе координат, и теперь мы должны сделать важный шаг в нашем развитии. Мы должны познакомиться с криволинейными системами координат. Очень часто, практически всегда, криволинейные координаты бывают очень удобными и, может быть, удобнее декартовых для решения разных практических задач. В чем конкретно удобность состоит, вы познакомитесь на практике, а сейчас давайте поговорим о том, как вообще с ними работать, с криволинейными координатами, ну и о том, что это такое. Итак, криволинейные системы координат. «Криволинейные» — давайте считать, что этот термин появился, чтобы отличать их от декартовых, где все оси прямые. Криволинейные системы координат устроены следующим образом. Как вы помните, декартова прямоугольная система координат в евклидовом пространстве у нас выглядит достаточно однообразно. Я всегда ее рисую и еще несколько раз, наверное, буду ее рисовать как-то так. Оси x, y, z — в этих осях отмечается положение точки P. Ну и она совершает какое угодно движение, а мы пытаемся за ним следить. И конечно же, радиус-вектор этой точки в декартовых координатах есть функция (x, y, z). А мы теперь поступим вот как: мы введем другую тройку параметров, которые тоже однозначно определяют положение точки в пространстве. Эти параметры принято обозначать буквой q. q — набор q1, q2, q3. То есть раньше мы определяли положение точки координат, имея x, y, z, а теперь — какими-то q1, q2 и q3. И для того чтобы окончательно к ним перейти, мы должны, естественно, записать соотношения, которые связывают x, y, z и q1, q2, q3. В самом общем виде это выглядит так: x является функцией q1, q2, q3; y является функцией q1, q2, q3; и z является функцией q1, q2, q3. Эта связь нам, конечно же, необходима, потому что иногда нам будет полезно вернуться и написать окончательный ответ в задаче именно в декартовых координатах, в которых задача, возможно, была поставлена. И поскольку мы будем говорить о скорости и ускорении, мы, конечно же, потребуем от этих формул, связывающих x, y, z и координаты q. Чего мы потребуем? Во-первых, невыраженности, чтобы уметь возвращаться в декартовы координаты от координат q. Ну и во-вторых, дифференцируемости. Мы же будем дифференцировать это все как минимум два раза, то есть дважды дифференцируемость нам тут весьма и весьма пригодится. Давайте посмотрим на какой-нибудь пример криволинейной системы координат, например сферические координаты. Сферические координаты. Сферические координаты. Как вы, может быть, помните, это тройка параметров, которые определяют положение точки в пространстве следующим образом. Вот у нас точка P, давайте вернемся к этой картинке. Нарисуем радиус-вектор OP, и спроецируем этот радиус-вектор на плоскость Oxy. Вот ортогональная проекция, точка P падает на плоскость Oxy, эту точку обозначим, скажем, буквой A. И давайте наметим тут отрезок OA — отрезок, лежащий в плоскости Oxy. Так вот, теперь координатами точки мы можем сделать следующие три параметра: во-первых, длину радиус-вектора r, длину — поэтому без стрелочки я напишу, во-вторых, угол между осью x и отрезком OA, который я обозначу буквой φ, и вот стрелочкой подчеркну положительное направление отсчета этого угла против часовой стрелки. И еще один угол, θ — между OA и OP, — тоже отсчитывается против часовой стрелки, θ. Вот такая тройка параметров называется сферическими координатами. И если раньше мы говорили, что вот декартовы координаты x, y, z задают положение точки в пространстве, то теперь точно так же можем сказать, что мы перешли к другому описанию: r, φ и θ тоже определяют положение точки в пространстве. Теперь о формулах перехода. Давайте свяжем x, y и z с r, φ и θ. Делается это очень просто: x равно... Чему равно x? Ну давайте смотреть. Вот мы проецируем точку P на плоскости Oxy, получаем отрезок OA. Длина отрезка OA, как видно из рисунка — r × cosθ, r × cosθ. Теперь еще раз спроецируем этот отрезок на ось x. Понятно, что нужно умножить OA на cosφ. Таким же образом y — это r × cosθ, то же самое OA, но уже на sinφ. И z, проекция OP на ось z — это r × sinθ. Вот формулы, которые связывают декартовы системы координат с введенными сферическими. Давайте я тут отмечу еще одну вещь. Я там говорил, что мы требуем невырожденности вот этого перехода, но на самом деле понятно, что если r обнулить, то эти координаты вырождаются. Если точка попала в начало координат, то там как углы не меняй, положение точки не изменится. А иногда говорят, смягчают требование невырожденности и говорят: «мы требуем локальной невырожденности вот этого перехода». «Локальной» означает невырожденность в той области пространства, где мы работаем с этими координатами. Если мы говорим про спутник, понятно, что спутник у нас летает над поверхностью Земли и r в 0 не обращается. Расстояние от спутника до центра Земли, когда стремится к 0, у спутника, вероятно, много других проблем кроме вырождения вот этого вот преобразования. Итак, вот у нас есть пример со сферическими координатами, мы вспомнили, что это такое. Можно, конечно, по-другому задавать эти параметры, которые переведут у нас x, y и z в какие-нибудь другие криволинейные координаты. А теперь давайте сделаем вот что: давайте для введенных сферических координат построим базис — то, что называется «локальный базис криволинейной системы координат» — ну для начала сферических, а потом мы это обобщим. Именно по этому локальному базису, локальный базис, именно по этому локальному базису мы и будем раскладывать скорость и ускорение в криволинейных координатах. Итак, что мы делаем? Давайте я опять нарисую точку P, ее положение в декартовых координатах. Вот радиус-вектор точки P. И давайте сделаем вот что: у нас есть три параметра r, φ и θ, два мы зафиксируем, третьему позволим меняться. Скажем, φ и θ — постоянны, параметр r меняется. Понятно, что если менять параметр r, точка P сможет «ездить» вдоль вот этой вот линии, вдоль линии радиус-вектор, вот куда-нибудь туда она сможет уехать. Такую линию — линию, полученную при зафиксированных двух параметрах и изменяемом третьем, мы будем называть координатной линией r сферической системы координат. В положительном направлении изменения параметра r отложен единичный вектор — орт. И назовем его e с индексом r. r будет показывать, что это как раз мы r меняли, а все остальное было фиксировано. Теперь давайте зафиксируем r, зафиксируем φ и позволим меняться θ. Если менять θ, мы получим дугу окружности с центром в точке O. Вот как-то она будет вот так вот выглядеть, я через точку P эту дугу проведу. И в положительном направлении изменения θ тоже отложим единичный орт — по касательной к этой дуге из точки P, туда наверх. e с индексом θ — орт, соответствующий изменению θ. И осталось зафиксировать r и θ, поменять φ, получить вот такую координатную линию — это будет окружность, лежащая в плоскости, проходящая через точку P, параллельной Oxy. И теперь по касательной к этой дуге окружности я отложу последний интересующий нас орт — вот такой e с индексом φ. Тройка векторов eφ, eθ образуют то, что мы называем локальным базисом сферической системы координат в точке P. Точка P, перемещаясь в пространстве, несет этот базис на себе, то есть каждый раз начало этого базиса совпадает с точкой P, вот. И по этому базису мы можем раскладывать скорость и ускорение точки P и будем этим заниматься в самое ближайшее время. Если на примере мы поняли геометрические построения, которые нам нужно было сделать, чтобы ввести этот базис, давайте посмотрим, как записать общую аналитическую формулу для выражения орта локального базиса криволинейной системы координат. Обозначим этот орт e i-тое, где i «пробегает» значение от 1 до 3, и давайте напишем аналитическое выражение. Что у нас в математике за конструкция соответствует вот этим нашим манипуляциям, когда мы два параметра фиксируем, третий меняем? Ну конечно же, частное производное, вот. То есть направление орта — это частное производное dr, радиус-вектора, по соответствующему параметру из криволинейной системы координат. Ну и поскольку этот вектор у нас не обязан быть единичным, а мы хотим все-таки получить базис из трех ортов, то мы его возьмем и отнормируем, то есть поделим на его длину вот таким вот образом. Вот у нас получилась почти законченная формула. Единственное что — давайте введем обозначения. Чтобы каждый раз не писать вот этот модуль, мы его обозначим, как, собственно, все и делают, буквой H i-тое модуль dr по dq i-тое. И вспомним, что он носит имя известного французского математика Ламе. «Коэффициент Ламе» — принято называть его в литературе. Итак, мы с вами поговорили о том, что такое локальный базис сферической системы координат, и обобщили полученные построения, введя аналитическую формулу для орта локального базиса криволинейной системы координат вообще. А теперь, наверное, имеет смысл разобрать какой-нибудь пример построения базиса.
