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好，各位同學大家好！我們接下來呢要進入這一講的第三節 繼續為各位介紹五種像差中的其中兩種。
那麼我們這一節要介紹的呢，是彗星像差跟散光像差，也就是coma 跟astigmatism，那在這兩種像差我們第一個部分
都先練習從數學上來了解這個像差，所以我們由前一節推導出來的Seidel多項式呢
來討論這兩個像差的像差距離，以及這樣子的像差距離呢 會對於成像產生什麼樣的影響，然後最後呢跟各位探討怎麼樣修正
這兩種不同的像差。所以讓我們從Seidel多項式開始 回想一下第一節中間我們提到三階的波前像差中
彗星像差那一項是這個W=c2yr三次方cosθ。
而由第二節呢我們討論了波前像差跟成像面上的
橫向像差距離其中的關係呢，可以由下面這個偏微分方程式得到。
那我們可以得到x'跟y'各自的像差距離的關係。
所以接下來呢我們就來看看我們把彗星像差波前像差的方程式 代入這個像差距離的關係，裡面得到什麼結果。
那麼再一次地呢我們把r 跟φ，還有xp，yp之間的關係放在這邊給各位參考。
所以我們來求橫向像差距離，裡面呢這個Δx' 會等於負的R ∂W ∂xp。
那麼把上面這個方程式拿下來偏微分之後呢可以得到的結果呢
就像右邊這個方程式一樣，那麼稍微整理一下之後呢， 我們同乘上r平方之後可以得到呢
這個x'軸的橫向像差的距離呢就是c2yr平方sin2φ。
那麼再一次提醒各位這個坐標軸的概念，這個x' '的這個意思呢表示這個坐標呢是在成像面。
那麼同樣的呢我們可以求出Δy'也是在成像面呢y軸方向的橫向像差距離。
那麼在這個地方呢，我們把上面方程式拿下來偏微分之後呢可以很快得到
y軸方向的偏微分的結果呢得到的橫向像差距離是c2yr平方
乘上2加上cos2φ。所以從上面這兩個方程式來分析呢我們可以看得出來
在成像面上面，x'跟y'
它們之間的φ的相關性呢，也就是一個跟sin2φ乘正比，一個跟cos2φ成正比，表示
Δx'跟Δy'呢會構成一個圓形的圖案，但是在這裡呢，Δy'又多了一項
常數項，所以我們從r這個相關性來看呢會看得出來 除了兩個成一個圓之外呢，Δy'
多了一個2乘上yr 平方這個關係，也就是說呢，當這個r越大的時候呢，整個像差的圓會越大。
而且y軸上面會有一個位移。所以呢，我們大概讓各位看一下這樣子的
像差距離會形成的成像結果會長成什麼樣子。那麼我們先來看一下波前像差的這樣子的一- 個情況。
在波前像差的方程式裡面呢，我們在下面這個圖裡面可以看到，它是yr三方cosφ。
所以基本上呢它是一個對稱x軸的情況，那麼在這個地方呢我們要提醒各位回想起來
在我們一開始的假設呢，光源在原本的 x軸跟y軸上面它是偏在y軸上，也就是光源是歪在y軸上面的。
因此呢這個像差會對稱x軸，而這個波前 像差呢看得出來離軸越遠會越嚴重，也就是說，y才是原本的
光源平面上面的距離。所以有y的相關性呢表示 光源是在y軸上面斜向入射所產生的像差。
那麼像差距離呢，也就是我們上頁求出來的東西呢可以看得出來，它會以光軸為中心散開。
那麼其中呢，右下角這張圖呢綠色的區域呢，是相當於在透鏡的平面，也就是xp跟yp的平面
距離光軸2分之r的這樣一圈的圓所構成的。
而黃色的區域呢，則在透鏡的平面距離光軸r的一圈的這樣的光
所造成的一個散開的結果。所以可以看得出來像剛剛所觀察到的
sin2φ跟cos2φ呢會使得x，Δx'跟Δy'形成一個圓形，而
r平方的相關性呢會使得如果
入射光距離透鏡平面上光軸越遠的話它會形成一個越大的圓。而y軸上面多了一項常數2。
乘上yr平方則會造成離，在透鏡平面上離光軸越遠
的時候呢最後成像的結果呢，也會在成像面的y'軸有一個偏移。所以呢，我們就會看到
像右下角這張圖，如果呢透鏡直徑越大
的區域所造成的影像呢就會離開原本的焦點越，y軸上離開越遠，而且形成一個更大的圓。
於是整個看起來呢有一個彗星的感覺。
那麼這張圖呢可以更清楚地跟各位說明呢，在y軸斜向入射下面不同的
半徑r，也就是在透鏡面上面不同的半徑 所造成的像差效果。所以從左到右呢可以看得出來我們在分析的是從
透鏡面。越靠近中心，然後逐漸往外 往外，往外擴大的圓呢，這些不同的圓呢，會在成像平面上
形成一個不同的圓形。所以整個結合起來呢就會有一個彗星形狀的尾巴向後擴散
的一個影像的結果，因此呢，這個像差稱為彗星像差。
那麼實際上呢，如果照一張照片對不同的點光源拍起來的話呢
你可以看到，當然，不止是y軸會有往外偏開來，事實上在x軸的斜向入射當然也會有往x軸
分開來，因為我們當初在計算這個方程式的時候呢，是在不失一般性的情況之下把光源放置在- y軸上面。
但實際上當然在x軸的斜向入射也會產生彗星像差，所以你可以看到彗星像差的形狀呢
基本上是以影像光軸的中心
為起點，往外產生一個彗星的尾巴。那麼另外也有可能它會往內產生一個彗星的尾巴。
這是不同的正負的彗星像差。實際上呢照相的時候呢也可以
觀察到這個現象。例如說在這張照片裡面呢，他在照的是桌上一些LED的光源。
那麼這些光源呢，因為距離相機夠遠，所以它很像是點光源的一個形式。
所以呢我們比較一下在中心，跟在邊邊，兩個不同的光源的結果呢，能夠看到在邊邊的這個光- 源呢它會形成一個
往外凸出來的一個像差的一個形式，這就是彗星像差實際上在相片裡面
產生的結果。那麼我們也可以實際上用一個簡單的大的透鏡 來為各位聚焦陽光，或者在室內段你可以用一個遠處的燈泡光源來做一個聚焦。
你把透鏡稍微轉一下，就可以很清楚看到彗星像差的結果。
所以我們現在用一個簡單的透鏡來為各位示範彗星像差，我現在手上拿了一個透鏡。
這個透鏡呢把一個遠方的光源呢，投影在後面這個屏幕上面。
那我待會呢會轉動我手上這個透鏡，基本上你可以看到呢當我轉動透鏡的時候呢，屏幕上面的- 影像呢會出現
向上或是向下的一個彗星尾的一個情況。這就是彗星
像差造成的結果。我手上現在拿的這個放大鏡呢，它投影出來遠方的一個
亮點，投影在屏幕上面的形式，所以我現在如果 把透鏡偏移，斜一個角度的話你會看到
它的上方有一個很明顯的糊掉的一個光斑跑出來，就像是一個彗星一樣。
這是彗星像差造成的結果。那麼我如果往下斜的話呢，就會看到另外一邊
跑出來一個像彗星尾巴一樣的一個形式，那麼這個呢就是彗星像差所造成的一個情況。
這是因為大束的光通過透鏡而斜向入射造成的結果。
那麼，我們要怎麼消除彗星像 差呢？剛剛介紹了彗星像差的起源，還有對成像的影響。
那我們現在來談，消除彗星像差這件事情。
基本上消除彗星像差的概念呢，跟球面像差很像，因為彗星像差跟球面像差的概念
都是離開光軸越遠，會造成越嚴重的像差，所以
跟球面像差一樣呢，我們可以縮小孔徑，也就是提高f值，來消除這個彗星像差的影響。
但是當然嘍，縮小孔徑這件事情呢會造成曝光時間的增加。
也會造成因為繞射的關係使得解析度降低。所以第二個可能的方式呢
也跟球面像差很像，我們可以改變透鏡的形狀。那麼右邊這張圖呢是 模擬出來的結果。所以我們可以看到呢，從
平凸透鏡的平面對左邊，在這個圖裡面呢，光是從左邊入射，然後右邊聚焦
所以我們從平凸透鏡的平面面對左邊，一直到變成平凸透鏡的平面面對右邊。
可以看得出來呢，跟球面透鏡很像的是，當我的平凸透鏡的凸面
面對平行光的時候呢，彗星像差的效果呢也會被修正得比較好。
所以呢，基本上我們可以把彗星像差呢想像成就像是斜向入射的球面像差一樣。
但是跟球面像差不一樣的地方是呢，因為彗星像差事實上跟斜向入射有關。
所以基本上呢，你可以平移這個孔徑來選擇對稱的光軸來消除彗星像差。
所以就像右邊這張圖一樣呢，一樣的光是從左邊進來那麼紅色的這個箭頭呢，顯示的是一個
孔徑的位置。所以呢，當我們在右邊這張圖的最上面選擇孔徑
離透鏡有一段距離的時候呢，會發現呢這個時候
它斜向入射的光呢，會造成很大的一個彗星的像差。
那麼右邊呢，這個，最右邊的這張圖呢，它代表就是彗星像差的值的大小。
如果呢，我們適當地選擇入射光的孔徑的位置
這個時候呢，基本上可以在斜向入射的平面呢，使得彗星像差幾乎完全消失。
而如果呢，我們把孔徑的位置再往右移，也就是最下面這張圖所顯示的話呢
一過頭的話呢，彗星像差又會出現，所以呢，在右邊這張圖的 上面跟下面，就分別代表了往內縮跟往外擴
的彗星像差，而在中間這張圖呢，則是正確的選擇孔徑的位置。
使得彗星像差可以被消除掉。那麼第三個我們要介紹的像差呢，是稱為散光相差
astigmatism。所以一樣的呢，我們從第一節裡面的方程式呢，可以知道散光相差呢
的波前像差量相當於是右邊這一項，c3y平方r平方乘上cos平方φ。
所以一樣的呢，我們用一個偏微分的方程式呢，來得到 x'軸成像面上面的橫向像差距離。
那麼剛剛這個方程式呢，如果對xp來微分的話呢，可以很容易求得出來呢，
它的偏微分的結果呢會是0，而在y'軸上面呢，我們對w對yp微分的結果呢
可以得到y上面成像面的像差距離。那麼這個結果呢，會是c3y平方r乘上cosφ。
所以我們再看一下這兩個，Δx'跟Δy' 告訴我們的像差的一個情況。
在這裡呢，φ的相關性不再是一個圓，因為Δx' 沒有φ的相關性了，所以只剩下Δy'有φ的相關性。
所以φ的相關性告訴你的事情是呢，Δx'跟Δy' 這時候會形成一個y'軸上面的直線，因為只有y'有φ的相關性。
而r的部分呢，則是，x'呢也跟r沒有關係。
而y'呢則跟r成正比，所以表示呢如果r越大，也就是入射光
在透鏡平面上離光軸越遠，這叫r越大，的時候呢在成像面上的Δy'
會變得越成為一條線段，這是散光像差的結果。
朱士維教授 (Professor)
