Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Resolución de triángulos rectángulos
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From the course by Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
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Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas, identidades fundamentales, representaciones gráficas, resolución de triángulos rectángulos, resolución de ecuaciones trigonométricas, resolución de triángulos cualesquiera.
Meet the Instructors
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En el video anterior, hemos visto cómo calcular valores trigonométricos
para algunos ángulos especiales para los cuáles podemos obtener su valor exacto.
En este video veremos cómo calcular valores trigonométricos para
cualquier ángulo a través de la resolución de triángulos rectángulos.
Recordemos que si tenemos un triángulo rectángulo como este de aquí,
el coseno de alfa es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa.
El seno de alfa es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa.
Y la tangente de alfa se puede calcular como seno dividido
por coseno o bien, como cateto opuesto dividido por cateto contiguo.
Además, por el teorema de Pitágoras, también
tenemos que se cumple seno al cuadrado
de alfa más coseno al cuadrado de alfa siempre es igual a uno.
A partir de estas propiedades veremos como
resolver algunos ejercicios donde aparecerán triángulos rectángulos.
Por ejemplo, en este primer ejercicio
se trata de calcular las razones trigonométricas
coseno, seno, y tangente del ángulo alfa que aparece en este triángulo rectángulo.
Observamos, que del triángulo rectángulo, conocemos dos de los lados.
Por lo tanto, siempre podemos obtener el tercero simplemente utilizando el teorema
de Pitágoras. En este caso, sabemos que la
x es 3, la y es 4, y utilizando x al cuadrado más y al
cuadrado es igual al z al cuadrado, podemos obtener z.
Sustituimos 3 al cuadrado más 4 al cuadrado es igual
a z al cuadrado. Por lo tanto, tenemos 9 más 16 es
igual a z al cuadrado. z al cuadrado es igual a 25, z es
igual a más/menos raíz cuadrada de 25 o sea más/menos cinco.
Pero como sabemos que z debe ser un valor positivo, tomamos z igual a 5.
you tenemos el valor de todos los
lados del triángulo rectángulo, y ahora simplemente utilizando las fórmulas que
hemos visto, podemos obtener las razones trigonométricas del ángulo alfa.
El coseno de alfa es igual al cateto contiguo
dividido por la hipotenusa, o sea, x dividido por z.
O sea, 3 dividido por 5. El seno de alfa
es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa, por lo tanto 4 dividido por 5.
Y finalmente, la tangente de alfa es
igual a cateto opuesto dividido por cateto contiguo.
Por tanto y dividido por x, o sea 4 dividido por 3.
Y así obtenemos las razones trigonométricas del ángulo
alfa que buscábamos.
En este segundo ejercicio queremos obtener dos
de los lados del triángulo rectángulo dado.
Para ello, utilizaremos las razones trigonométricas que relacionan los
lados que you conocemos con los lados que queremos calcular.
Así, para obtener el valor de x, podemos
utilizar el coseno you que conocemos la hipotenusa.
Sabemos que el coseno de 30
grados es igual al cateto contiguo, x, dividido por la hipotenusa, z; en este
caso, 5. Además, como hemos visto en el video
anterior, el coseno de 30 es raíz cuadrada de tres dividido por 2.
Por lo tanto, a partir de esta ecuación, podemos obtener el
valor de x que es igual a 5 raíz cuadrada de
3 dividido por 2.
De la misma forma para obtener el valor de
y, podemos utilizar tanto el seno como la tangente.
Utilizamos, por ejemplo el seno.
Sabemos que el seno de 30 es igual al cateto
opuesto y dividido por la hipotenusa en este caso, es 5.
Sabemos también que el coseno de 30 grados es un medio.
Por lo tanto,
you podemos despejar y obtener el valor de y que es 5 dividido por 2.
Y así hemos obtenido los dos lados que nos faltaban del triángulo rectángulo.
En este tercer ejercicio, suponemos que tenemos una escalera
apoyada a como 1,2 metros de una pared vertical.
Además sabemos que han quedado formando un ángulo de 50 grados con el suelo.
A partir
de esta información, queremos calcular cuál es la longitud de la escalera,
o sea z, y a qué altura está apoyada, o sea, y.
En este caso, como conocemos el cateto
contiguo, podemos utilizar tanto el coseno como la
tangente de 50 para obtener algunos de
los dos lados del triángulo que queremos calcular.
Por ejemplo, utilizamos la tangente de 50. Sabemos que tangente
de 50 es igual al cateto opuesto y dividido
por el cateto contiguo, que sabemos que es 1,2.
Utilizamos la calculadora, y vemos que
aproximadamente la tangente de 50 es 1,19175.
Por lo tanto, y aproximadamente es de 1,2
por 1,19175 o sea
aproximadamente 1,4301.
Así podemos decir que la altura a la que
está apoyada la escalera es de aproximadamente 1,4 metros.
Para obtener la longitud de la escalera, o sea la hipotenusa, podemos utilizar
tanto el seno como el coseno o bien también, el teorema de Pitágoras.
Utilizaremos por ejemplo, el seno de 50. El
seno de 50, sabemos que es igual al cateto
opuesto, que en este caso hemos calculado antes que es aproximadamente
1,4 301 dividido por la hipotenusa que es lugar que queremos calcular.
Utilizamos la calculadora y vemos que aproximadamente
el seno de 50 es de 0,76604.
Por lo tanto, z,
aproximadamente es 1,4301 dividido
por 0,76604, o sea aproximadamente
1,86697; así
tenemos que la longitud de la escalera, z, es de aproximadamente,
redondeando un a una cifra decimal 1,9 metros.
En este ejercicio cuatro se trata de obtener las razones
trigonométricas del ángulo z determinado por el punto (-4, 8).
Primero, observamos que el punto (-4, 8) no está situado en la
circunferencia de radio 1 you que no se cumple la igualdad (-4)
al cuadrado más 8 al cuadrado es igual a 1 al cuadrado.
Igualmente, utilizando el teorema de Pitágoras, podemos
calcular el radio z. Sabemos que (-4) al cuadrado más 8
al cuadrado es igual a z al cuadrado. Por lo tanto, 16
más 64 es igual a z al cuadrado, o sea z es
igual a la raíz más/menos la raíz
cuadrada de 80 o sea más/menos raíz cuadrada de 4 al
cuadrado por 5, o sea más/menos 4 raíz cuadrada de 5.
Sabemos que el radio debe ser un valor positivo,
por lo tanto z será 4 raíz cuadrada de 5.
A continuación, considerando el ángulo de referencia, alfa,
del ángulo theta dado, tenemos el siguiente triángulo rectángulo,
donde conocemos todos sus lados.
Este lado vale 4... 8 y el radio
de la circunferencia, como hemos calculado 4 raíz cuadrada de 5.
A partir de estos datos, podemos
calcular las razones trigonométricas del ángulo alfa.
Sabemos que coseno de alfa es igual al cateto contiguo, x,
dividido por z o sea 4 dividido por 4 raíz
cuadrada de 5. Multiplicamos numerador y denominador por
raíz cuadrada de 5 para eliminar la raíz cuadrada del denominador,
y obtenemos raíz cuadrada de 5 dividido por
5. El seno de alfa es igual al cateto opuesto
y dividido por hipotenusa z. Sustituímos los valores
8 dividido por 4 raíz cuadrada de 5, de nuevo
multiplicamos numerador y denominador por raíz cuadrada de 5, y obtenemos
2 raíz cuadrada de 5 dividido por 5. La
tangente de alfa es igual al cateto
opuesto dividido por el cateto contiguo.
Por lo tanto, 8 dividido por 4 que es igual a 2.
Así, you hemos obtenido las razones trigonométricas para el ángulo alfa.
Pero queremos obtener la razones trigonométricas para el ángulo theta.
Vemos que este ángulo está situado en el segundo cuadrante.
Por lo tanto, las razones trigonométricas se
pueden calcular a partir de las razones trigonométricas
que hemos obtenido considerando algunos cambios de signo.
En este caso, coseno de z es igual a menos coseno de alfa.
Por lo tanto, menos raíz cuadrada de 5 dividido por 5.
El seno de theta es exactamente igual al seno de alfa;
por lo tanto, 2 raíz cuadrada de 5 dividido por 5.
Y finalmente,
la tangente de z es igual a menos la tangente de alfa; por lo tanto, menos 2.
Y así you hemos obtenido la razones trigonométricas del ángulo theta.
En este ejercicio veremos como calcular las coordenadas del punto determinado
por el ángulo de 225 grados en una circunferencia de radio 3.
De nuevo, tenemos una circunferencia
donde el radio no es 1.
Igualmente, consideraremos el ángulo de referencia, del ángulo de 225 grados,
que es el ángulo de 45 grados y el siguiente triángulo rectángulo.
De este triángulo rectángulo, sabemos que la
hipotenusa es 3, you que es el radio de la circunferencia.
No conocemos el valor de los dos catetos, x e y.
Podemos calcular estos dos valores utilizando las
razones trigonométricas del ángulo de 45 grados.
Por ejemplo, seno de 45. Sabemos que
es igual al cateto opuesto y, dividido por la hipotenusa que en este caso es 3.
Además, sabemos que el seno de 45 grados es raíz cuadrada de 2 dividido por 2.
Por lo tanto, y es igual a 3 raíz cuadrada de 2 dividido por 2.
De la misma forma, si consideramos el coseno de 45
grados, sabemos que es cateto contiguo x, dividido por la hipotenusa,
en este caso 3; además, igual que antes, sabemos
que el coseno de 45 grados es raíz cuadrada
de 2 dividido por 2 y así obtenemos que x es 3 raíz cuadrada de 2 dividido por 2.
A partir de estos valores, y teniendo en cuenta que el ángulo de 225 grados está
situado en el tercer cuadrante, tenemos que x prima es igual a menos
3 raíz cuadrada de 2 dividido por 2, y prima es
igual a menos 3 raíz cuadrada de 2 dividido por 2.
Así hemos obtenido las coordenadas del punto determinado por
el ángulo de 225 grados en esta circunferencia dada.
En este último ejercicio, veremos como
calcular dos de las razones trigonométricas coseno,
seno, y tangente dada una de ellas y sabiendo en qué cuadrante está situado
el ángulo.
Concretamente en este ejercicio, conocemos el valor
del coseno y se tratará de obtener los
valores del seno y tangente sabiendo que
el ángulo está situado en el cuarto cuadrante.
Para ello, o bien podemos utilizar, como
hemos visto en ejercicios anteriores, el ángulo
de referencia, alfa, y el triángulo rectángulo
determinado por este ángulo, o bien podemos utilizar
estas dos identidades trigonométricas.
Veamos como resolver este ejercicio en este segundo caso.
Utilizamos primero la identidad seno al cuadrado de theta
más coseno al cuadrado de theta es igual a 1.
Sabemos que el coseno de theta es 4 dividido por 5.
Sustituímos, y tenemos que seno al cuadrado de
theta más 4 dividido por 5 al cuadrado
es igual a 1. Por tanto, seno al cuadrado de theta es
igual a 1 menos 16 dividido por 25, o sea 9 dividido por 25.
O sea, seno de theta es igual a más/menos raíz cuadrada de 9 dividido
por 25, o sea, más/menos 3 dividido por 5. Como sabemos que el
ángulo theta está en el cuarto cuadrante,
sabemos que el valor del seno, será negativo.
Por lo tanto, seno de theta es menos 3 dividido por cinco.
Finalmente, para calcular el valor de la tangente de theta, utilizamos la igualdad
tangente de theta es igual a seno de theta dividido por coseno de theta.
Por lo
tanto, you sabemos el valor del seno de theta que es menos 3 dividido por
5 y tenemos el valor del coseno de theta que es 4 dividido por 5.
Por lo tanto, la tangente es menos 3 dividido por 4 y hemos obtenido
las dos razones trigonométricas que nos faltaban del ángulo theta.
Muchas gracias y nos vemos en el siguiente video.
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