Puesto que para la mayoría de las funciones podemos calcular la derivada en casi todos los puntos de su dominio, es lógico definir una nueva función que exprese la relación entre una función y su derivada en todos los puntos. Esta nueva función es la función derivada. En este vídeo aprenderemos a calcular la función derivada en algunos, de algunas funciones elementales. Y como tal función, usaremos su representación gráfica para deducir propiedades de la representación gráfica de la función original. Este concepto se ha utilizado profusamente en las siguientes lecciones. Vamos a empezar para calcular la derivada en todos los puntos del dominio de la función f de x igual a x cuadrado. Para ello, vamos a tomar puntos sucesivos del dominio y vamos a ir calculando su derivada. Por ejemplo, si tomamos el punto de abscisa x igual a menos dos, la derivada será la pendiente de la recta tangente dibujada en color rojo. Esta pendiente vale menos cuatro. Si tomamos por ejemplo el punto de abscisa x igual a menos uno, entonces la pendiente también coincide con, la derivada perdón coincide, con la pendiente de la recta tangente que en este caso vale menos dos. Si por ejemplo tomamos el punto de abscisa x igual a cero, observemos que la derivada que coincide con la pendiente de la recta tangente, puesto que la recta tangente en este caso es horizontal, la derivada valdrá cero. Y así sucesivamente, por ejemplo si tomamos el punto de abscisa x igual a uno, su pendiente será dos, y si tomamos el punto de abscisa x igual a dos, su pendiente será cuatro. Por tanto, podemos trazar una tabla con todos los valores obtenidos. Aquí ponemos los valores de x que eran menos dos, menos uno, cero, uno y dos. Y debajo pondremos los valores de su derivada. En menos dos es menos cuatro, en menos uno es menos dos, en cero es cero, en uno es dos, y finalmente en dos es cuatro. Si tratamos esto como una nueva función que llamaremos función derivada, podemos concluir simplemente que, la línea de abajo es exactamente el doble de la línea de arriba. Por tanto, diremos que la función derivada que hemos obtenido de la función f de x igual a x cuadrado es la función dos x. Observamos que esta nueva función, la función f de x igual a dos x, tiene su representación de color verde en el dibujo. Mientras que la función f de x, f de x igual a x cuadrado, tiene su representación de color azul en el dibujo. La primera la representaremos, la denotaremos como f, la segunda la denotaremos como f prima. Resumiendo, la función f prima que también va de R a R, definida por f prima de x igual a la derivada de f en el punto x, para todos los valores de x del dominio de f, para los que existe la derivada, se llama función derivada de f. Vamos a calcular la función derivada de la función f de x igual a dos x menos uno en todos los puntos de su dominio. A continuación representaremos esta función y la función derivada. La función f de x igual a dos x menos uno es una línea recta de pendiente dos, es decir, la pendiente de la recta f es dos. Por tanto, la derivada en cualquier punto de su dominio, también será dos. Sea quien sea el valor del dominio de la función. Por tanto, podemos definir una nueva función que es la función derivada que para cada x corresponde el valor dos. Esta nueva función se trata de una línea horizontal y es la función derivada de la función original. Observemos que su representación gráfica es una línea horizontal que pasa exactamente por el punto de ordenada dos. Por tanto, podemos observar que la función f de x igual a dos x menos uno tiene como derivada la función f prima de x igual a dos. A continuación vamos a calcular la función derivada de la función f de x igual a valor absoluto de x en todos los puntos donde exista la derivada. Y a continuación representaremos esta función y su derivada. Recordemos en el vídeo anterior que, para cualquier valor mayor que cero, la derivada de esta función tiene el valor uno. Y para cualquier valor menos que cero, la derivada de esta función tiene el valor menos uno. Además si a vale de cero, es decir, en el origen, la derivada no existe. Por tanto, para definir la función derivada de la función valor absoluto debemos proceder de la siguiente manera. La función derivada será f prima de x igual a menos uno si x es menor que cero, y uno si x es mayor que cero. Observemos que no está definida en el punto de abscisa x igual a cero. Por tanto, el dominio de esta función serán todos los reales menos de cero. A diferencia del dominio de la función original, que eran todos los conjunto de números reales. Si representamos esta nueva función, veremos que está formada por una función que tiene dos ramas, una con un valor menos uno y otra con valor uno. Pero exactamente en el punto cero, no está definida la función. Vamos a calcular la función derivada de una función un poco más complicada, es este caso se trata de la función f de x es igual a raíz de x que está definida para valores mayores o iguales que cero. Para calcular su función derivada, primero deberíamos calcular la derivada en cualquier punto de su, es decir, siguiendo con la definición deberíamos calcular f prima de a, que es igual al limite cuando h tiende a cero de f de a más h menos f de a partido por h. Sustituyendo por el valor de la función, esto será el límite cuando h tiende a cero de raíz cuadrada de a más h menos raíz cuadrada de a partido por h. Este límite para poderlo resolver, se puede calcular sencillamente multiplicando numerador y denominador por la fracción raíz de a más h más raíz de a partido por raíz de a más h más raíz de a. Realizando esta operación, se obtiene fácilmente el límite cuando h tiende a cero de a más h menos a partido por h, que multiplica a raíz de a más h menos raíz de a. Simplificando la h y calculando el límite, obtenemos uno partido por dos raíz de a, que solo es válido para cualquier valor de a mayor que cero. Por tanto, en este caso concreto podemos decir que la función derivada de la función raíz de x, será la función uno partido por dos raíz de x, cuyo dominio es el conjunto de los valores formado por el intervalo desde cero hasta infinito. Observemos que el dominio de la función original era el conjunto de los valores desde cero hasta infinito. Por tanto en este caso, al calcular la función derivada hemos perdido un valor, el valor cero. Si representamos la función derivada, podemos observar sencillamente, la que, que es la función que hemos representado en color verde. En color azul tenemos representada la función f de x igual a raíz de x. Veamos otro ejemplo más de cálculo de la función derivada. En este caso se trata de la función f de x igual a uno partido por x, que podéis ver representada en este dibujo. Y que está definida para todos los valores de x distintos de cero, es decir, el dominio de esta función es el conjunto formado por todos los reales menos de cero. Veamos cual, como calcularíamos su función derivada. De nuevo, calculamos la derivada en cualquier punto de su dominio mediante el límite cuando h tiene a cero, de f de a más h menos f de a partido por h, y sustituyendo por el valor de la función tendríamos, límite cuando h tiende a cero de uno partido por a más h menos uno partido por a dividido todo por h. Simplemente realizando las operaciones con números fraccionarios, obtenemos el límite cuando h tiende a cero de a menos a menos h partido por a que multiplica a a más h, dividido todo por h. Y este límite simplemente es después de simplificar, menos uno partido por a que multiplica a a más h igual a menos uno partido por a cuadrado. Por tanto, en este caso concreto, podemos decir que la función derivada sería la función menos uno partido por x cuadrado con dominio igual a los reales menos el cero. Si representamos gráficamente esta función podemos observar que ambas gráficas tienen un comportamiento parecido. En azul puede verse la representación gráfica de la función f de x igual a uno partido por x y en verde la representación gráfica de la función f de x igual a uno partido por x cuadrada. Resumiendo, en esta lección hemos visto, hemos definido la función derivada de la función f en un punto x. Y hemos visto también que esta función se llama función derivada de f. Hay funciones para las que existe la función derivada en todos los puntos de su dominio. Por ejemplo, la función f de x igual a x cuadrado, o la función f de x igual a uno partido por x. Pero también hemos visto que hay funciones para las que no existe la función derivada en todos los puntos de su dominio, solo en una parte del dominio. Este ha sido el caso de la función f de x igual a valor absoluto de x y la función f de x igual a raíz de x. Y con esto, hemos terminado este vídeo.
