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La función derivada
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Pre-Calculus
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Derivación
La tasa de variación de una función, derivada de una función en un punto, interpretación geométrica, función derivada, cálculo de derivadas, máximos y mínimos de una función, aplicaciones.
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Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Puesto que para la mayoría de las funciones podemos calcular
la derivada en casi todos los puntos de su dominio,
es lógico definir una nueva función que exprese la relación
entre una función y su derivada en todos los puntos.
Esta nueva función es la función derivada.
En este vídeo aprenderemos a calcular la
función derivada en algunos, de algunas funciones elementales.
Y como tal función, usaremos su representación gráfica para
deducir propiedades de la representación gráfica de la función original.
Este concepto se ha utilizado profusamente en las siguientes lecciones.
Vamos a empezar para calcular la derivada en todos los puntos
del dominio de la función f de x igual a x cuadrado.
Para ello,
vamos a tomar puntos sucesivos del dominio y vamos a ir calculando su derivada.
Por ejemplo, si tomamos el punto de abscisa x igual a menos dos,
la derivada será la pendiente de la recta tangente dibujada en color rojo.
Esta pendiente vale menos cuatro. Si tomamos por ejemplo el punto de abscisa
x igual a menos uno, entonces la pendiente también coincide con, la derivada perdón
coincide, con la pendiente de la recta tangente que en este caso vale menos dos.
Si por ejemplo tomamos el punto de abscisa x
igual a cero, observemos que la derivada que coincide con
la pendiente de la recta tangente, puesto que la recta
tangente en este caso es horizontal, la derivada valdrá cero.
Y así sucesivamente, por ejemplo si tomamos el
punto de abscisa x igual a uno, su pendiente
será dos, y si tomamos el punto de abscisa x igual a dos, su
pendiente será cuatro. Por tanto, podemos trazar una
tabla con todos los valores obtenidos. Aquí ponemos los valores
de x que eran menos dos, menos uno, cero, uno y dos.
Y debajo pondremos los valores de su derivada.
En menos
dos es menos cuatro, en menos uno es menos dos, en cero
es cero, en uno es dos, y finalmente en dos es cuatro.
Si tratamos esto como una nueva función
que llamaremos función derivada, podemos concluir simplemente
que, la línea de abajo es exactamente el doble de la línea de arriba.
Por tanto, diremos que la función derivada que hemos
obtenido de la función f de x igual a x cuadrado es la función dos x.
Observamos que esta nueva función, la función f de x igual
a dos x, tiene su representación de color verde en el dibujo.
Mientras que la función f de x, f de x igual a x cuadrado, tiene su
representación de color azul en el dibujo. La primera la representaremos,
la denotaremos como f, la segunda la denotaremos como f prima.
Resumiendo, la función f prima que también
va de R a R, definida por f prima de x igual a la derivada
de f en el punto x, para todos los valores de x del dominio de
f, para los que existe la derivada, se llama función derivada de f.
Vamos a calcular la función derivada de la
función f de x igual a dos x menos uno en todos los puntos de su dominio.
A continuación representaremos esta función y la función derivada.
La función f de x igual a dos x menos uno es una línea recta de pendiente dos, es
decir, la pendiente de la recta f es dos. Por tanto,
la derivada en cualquier punto de su dominio, también será dos.
Sea quien sea el valor del dominio de la función.
Por tanto, podemos definir una nueva función que es la
función derivada que para cada x corresponde el valor dos.
Esta nueva función se trata de una línea horizontal y es la
función derivada de la función original. Observemos que su representación
gráfica es una línea horizontal que pasa exactamente por el punto de ordenada dos.
Por tanto, podemos observar que la función f de x igual a dos x menos
uno tiene como derivada la función f prima de x igual a dos.
A continuación vamos
a calcular la función derivada de la función f de x igual
a valor absoluto de x en todos los puntos donde exista la derivada.
Y a continuación representaremos esta función y su derivada.
Recordemos en el vídeo anterior que, para cualquier valor
mayor que cero, la derivada de esta función tiene el valor uno.
Y para cualquier valor menos
que cero, la derivada de esta función tiene el valor menos uno.
Además si a vale de cero, es decir, en el origen, la derivada no existe.
Por tanto, para definir la función derivada de la función valor absoluto
debemos proceder de la siguiente manera. La función derivada
será f prima de x igual a menos uno si x
es menor que cero, y uno si x es mayor que cero.
Observemos que no está definida en el punto de abscisa x igual a cero.
Por tanto, el dominio de esta función serán todos los reales menos de cero.
A diferencia del dominio de la función original,
que eran todos los conjunto de números reales.
Si representamos esta nueva función, veremos que está formada por una función
que tiene dos ramas, una con un valor menos uno y otra con valor uno.
Pero exactamente en el punto cero, no está definida la función.
Vamos a calcular la función derivada de una función
un poco más complicada, es este caso se trata de la función f de x
es igual a raíz de x que está definida para valores mayores o iguales que cero.
Para calcular su función derivada, primero deberíamos calcular la derivada en
cualquier punto de su, es decir, siguiendo con la definición deberíamos calcular f
prima de a, que es igual al limite cuando h tiende a cero de
f de a más h menos f de a partido por h. Sustituyendo por el
valor de la función, esto será el límite cuando h
tiende a cero de raíz cuadrada de a más h menos raíz
cuadrada de a partido por h. Este límite para
poderlo resolver, se puede calcular sencillamente
multiplicando numerador y denominador por la fracción
raíz de a más h más raíz de a partido
por raíz de a más h más raíz de a. Realizando esta operación,
se obtiene fácilmente el límite cuando h
tiende a cero de a más h menos a partido
por h, que multiplica a raíz de a más h menos raíz de a.
Simplificando la h y calculando el límite, obtenemos uno partido
por dos raíz de a, que solo es válido para cualquier valor de a mayor que cero.
Por tanto, en este caso concreto podemos decir
que la función derivada de la función raíz
de x, será la función uno partido por dos raíz de x, cuyo dominio
es el conjunto de los valores formado por
el intervalo desde cero hasta infinito.
Observemos que el dominio de la función original era
el conjunto de los valores desde cero hasta infinito.
Por tanto
en este caso, al calcular la función
derivada hemos perdido un valor, el valor cero.
Si representamos la función derivada, podemos observar sencillamente, la que,
que es la función que hemos representado en color verde.
En color azul tenemos representada la función f de x igual a raíz de x.
Veamos otro ejemplo más de cálculo de la función derivada.
En este caso se trata de la función f de x igual
a uno partido por x, que podéis ver representada en este dibujo.
Y que está definida para todos los valores de x distintos de cero, es decir,
el dominio de esta función es el conjunto
formado por todos los reales menos de cero.
Veamos cual, como calcularíamos su función derivada.
De nuevo, calculamos la derivada en cualquier punto de su
dominio mediante el límite cuando h tiene a cero, de
f de a más h menos f de a partido por h, y sustituyendo
por el valor de la función tendríamos, límite cuando h tiende a
cero de uno partido por a más h menos uno partido por a
dividido todo por h. Simplemente realizando las
operaciones con números fraccionarios, obtenemos el
límite cuando h tiende a cero de a menos a
menos h partido por a que multiplica a a más h,
dividido todo por h. Y este límite simplemente
es después de simplificar, menos uno partido por a que
multiplica a a más h igual a menos uno partido por a cuadrado.
Por tanto, en este caso concreto, podemos decir que la función derivada sería la
función menos uno partido por x cuadrado con dominio igual a los reales
menos el cero. Si representamos gráficamente esta función
podemos observar que ambas gráficas tienen un comportamiento parecido.
En azul puede verse la representación gráfica de la
función f de x igual a uno partido por x
y en verde la representación gráfica de la función
f de x igual a uno partido por x cuadrada.
Resumiendo, en esta lección hemos visto, hemos
definido la función derivada de la función f en un punto x.
Y hemos visto también que esta función se llama función derivada de f.
Hay funciones para las que existe la función
derivada en todos los puntos de su dominio.
Por ejemplo, la función f de x igual a x cuadrado, o la
función f de x igual a uno partido por x.
Pero también hemos visto que hay funciones para las que no existe la función
derivada en todos los puntos de su dominio, solo en una parte del dominio.
Este ha sido el caso de la función f de x igual a valor
absoluto de x y la función f de x igual a raíz de x.
Y con esto, hemos terminado este vídeo.
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