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Finalmente en este último vídeo de la semana sobre funciones exponenciales y
logarítmicas veremos un par de ejemplos de aplicación de las funciones
exponenciales y logarítmicas en situaciones reales.
En este primero, supongamos que el valor de un coche puede ser modelado por la
función v (x) = 20 por 1 dividido por 5 elevado a "x" donde "x" es la edad del
coche en años y v(x) es el valor del coche en miles de euros.
Si queremos calcular cual es el precio inicial del coche, simplemente
sustituimos la función x=0 Cero años, calculamos el valor del coche, y
obtenemos 20 por 1 dividido por 5 elevado a cero.
Osea, 20 por 1 = 20 Eso quiere decir que el valor del coche inicialmente es de
20.000 euros Si a continuación queremos calcular en qué año el valor del coche
será de 4000 euros. Esto es equivalente a calcular el valor
"x" para el cual, v(x) = 4 Recordad que, v(x) es el valor del coche en miles de
euros. Por lo tanto, 4000 euros corresponde a un
valor de la función v=4 v(x) es igual a 20 por 1 dividido por 5 elevado a x.
Así tenemos una ecuación exponencial. El 20 lo podemos pasar dividiendo,
tenemos 1 dividido por 5 elevado a x es igual a 4 dividido por 20 O sea,
simplificando 4 dividido por 20, podemos escribir 1 dividido por 5.
Tenemos una igualdad de dos potencias con la misma base Recordad que 1 dividido por
5 también se puede escribir como 1 dividido por 5 elevado a 1 Por tanto, los
exponentes son iguales y obtenemos x=1 Por tanto, al cabo de un año, el valor
del coche será de 4000 euros. En el segundo ejemplo, tenemos que la
intensidad del sonido, medido en decibelios, se calcula a partir de la
intensidad del sonido medido en vatios por metro cuadrado, mediante la siguiente
función: 10 por logaritmo de "x" dividido por 10 elevado a menos 12.
El valor 10 elevado a menos 12 vatios por metro cuadrado, representa el umbral del
oído humano. A partir de esta función, queremos
calcular los decibelios de un sonido de intensidad 10 elevado a menos 5 vatios
por metro cuadrado. O sea, queremos calcular el valor de la
función para "x" igual a 10 elevado a menos 5 O sea, "l" por 10 elevado a menos
5. Sustituimos la "x" por 10 elevado a menos
5 y tenemos que es igual a 10 por el logaritmo de 10 elevado a menos 5
dividido por 10 elevado a menos 12 esto es igual a 10 por el logaritmo de 10
elevado a menos 5 más 12. Por lo tanto, 10 por logaritmo, 10
elevado a 7, el logaritmo en base 10 de 10 elevado a 7, es 7.
O sea, es 10 por 7, 70 decibelios. Finalmente, teniendo en cuenta que el
oído se puede empezar a dañar a partir de exposiciones con niveles con alrededor de
los 115 decibelios Si queremos calcular la intensidad de sonido en vatios por
metro cuadrado que se necesita para producir este nivel de decibelios,
planteamos la siguiente igualdad: 115 debe ser igual a 10 por el logaritmo de
"x" dividido por 10 elevado a menos 12 O sea, que debemos calcular el valor de "x"
para el cual, la función nos da 115. Para ello, pasamos el 10 dividiendo.
Tenemos 11.5 es igual al logaritmo en base 10 de "x" dividido por 10 elevado a
menos 12. Para resolver esta ecuación con un
logaritmo, necesitamos un logaritmo en cada lado de la igualdad.
Transformamos 10.5 en un logaritmo en base 10 y esto es igual a logaritmo en
base 10, por tanto, escribimos la base de 10 elevado a 11.5 igual a logaritmo de
"x" dividido por 10 elevado a menos 12. Ahora si tenemos una igualdad con dos
logaritmos. Los valores 10 elevado a 11.5 y "x"
dividido por 10 elevado a menos 12, deben ser iguales.
Por lo tanto, tenemos la siguiente igualdad: x dividido por 10 elevado a
menos 12. Es una ecuación de primer grado,
despejamos la x pasando éste que esta dividiendo al otro lado de la igualdad
multiplicando. Por lo tanto, x=10 elevado a 11.5 por 10
elevado a menos 12. O sea, 10 elevado a menos 0.5.
Éste es el resultado, o sea, vatios por metros cuadrados.
Pero si queremos calcular este valor podemos continuar, y 10 elevado a menos
0.5 es igual a 1 dividido por 10 elevado a 0.5 O sea, 1 dividido por la raíz
cuadrada de 10 que aproximadamente es 0.316 vatios por metro cuadrado.
Y éste sería el resultado final, aproximadamente.
O, podemos también escribir que es 10 elevado a menos 0.5 Muchas gracias y nos
vemos la siguiente semana.
Jaume PujolProfesor titular
Mercè VillanuevaProfesora Titular
