[БЕЗ_ЗВУКА] Ну что же, переходим к самому интересному. Лемма о двух гвоздях доказана, теперь, чтобы доказать теорему о классификации, осталось доказать пункт C. То есть, если у некоторого движения g неподвижных точек нет вовсе, то это обязательно какой-то перенос. В процессе этого доказательства нам потребуется заполнить вот эту клеточку этой таблицы. Поэтому давайте для начала ее заполним. Итак, утверждение номер один заключается в том, что Sa ∘ Sb действительно равно T на 2AB, как мы и утверждали в предыдущем сюжете. То есть здесь надо написать перенос на два вектора AB. Давайте это докажем. Как мы будем это доказывать? Смотрите. Мы выбрали две точки, а именно A и B' (я просто напоминаю, что мы делали), которые действительно отправились туда же, куда приказывает вот такой вот перенос. То есть есть по крайней мере две точки A и B' такие, что вот эта наша неизвестная g, которая равно композиции, где вначале Sa, а потом Sb, справа налево, неизвестная g совпадает в точках B' и A (это различные две точки B' и A, потому что B' это отражение B относительно A), иначе не интересно, если A было бы равно B, тут было бы ясно, что надо записать. Что такое отражение, которое два раза повторено относительно одной и той же точки? Понятно, что это Id. Я бы должен был написать Id или двойной перенос, но в принципе двойной перенос на нулевой вектор — это все равно тоже Id. Поэтому это частный случай. Ну вот, конечно, нам интересен не тот случай, когда эти точки совпадают, а когда они различны. И в этом случае A и B' тоже будут различными, и у нас уже есть две разные точки, такие, что преобразование g на этих точках совпадает с переносом T на 2AB. Прекрасно. Я сейчас проведу некоторое чисто теоретико-групповое рассуждение, которое будет устанавливать, что в этом случае они совпадают, как преобразования во всех точках. Итак, запишем следующее: запишем преобразование g, которому применен перенос на обратный вектор. Вот такое преобразование тоже является движением, потому что g является движением (сохраняет расстояние), ну и любой параллельный перенос, любой сдвиг тоже является движением. Поэтому это композиция, это движение. Давайте на него посмотрим. На то, какие у него есть неподвижные точки. Запишем вот такое преобразование. У него как минимум две неподвижные точки. Две неподвижных точки, а именно как раз те самые наши точки, A и B'. В самом деле, смотрите. Проследите за судьбой. Что у нас происходит, например, с точкой A? T ∘ g. T ∘ g вот это преобразование что делает с точкой A? Ну вначале g у нас точку A отправило вот сюда, это мы знаем, в точку A'. Значит, это T на -2AB от точки (A'). -2AB возвращает назад в A, это двойной вектор, только в обратную сторону, переводит обратно A' в A. Поэтому ответ: A. Совершенно аналогично T -2AB ∘ g взятая от точки (B') — это что? B', как мы знаем g перевело в B, это мы проверяли это непосредственно, производя операцию с отражением номер 1 и отражением номер 2. Значит, соответственно, привело в B, и мне теперь нужно с помощью -2AB куда-то отправить точку B. Перенос точку B на двойной вектор туда отправит в B', поэтому это равно B'. Итак, вот это преобразование имеет как минимум две неподвижных точки: A и B'. А значит, по лемме, имеем, что T на -2AB, которое выполнено после g, равно Id. По лемме. По лемме о двух гвоздях. А тогда смотрите, что я делаю. Я делаю следующую операцию, которая сама по себе совершенно замечательна, и в математике ее много раз изучают. Ну вот если у нас, скажем, a + b = 0, то что из этого следует? Если вычту b из обоих частей, получим, то a = -b. Но а если a- b = 0, то я всегда прибавляю к обоим частям b, и говорю, что тогда a = b, и все. Также, если там, скажем, a / c = 1, то тогда a = c. Ну, конечно, при условии, что c ≠ 0 было, да? То есть при надлежащих каких-то оговорках. Но на самом деле здесь проведены определенные вот эти вот выкладки, нам очевидные и понятные, но в них спрятаны некоторые свойства вещественных чисел. В частности, в них на самом деле спрятана ассоциативность умножения и сложения, которая нам позволяет сделать такой вывод. Для того, чтобы это доказать, нужно слева умножить на c и ту и другую часть, сократить потом слева на c, то есть провести какие-то движения арифметические, которые просто нам настолько очевидны, что мы к ним привыкли, и не замечаем. Но вот здесь мы сделаем ровно те же телодвижения, только уже аккуратно и долго, потому что к этой ситуации мы непривычны. Мы хотим сейчас сократить, грубо говоря, на вот эту вот T. Мы g поделили на T фактически, сделав композицию с обратным к нему. T на -2AB — это преобразование, обратное к T на 2AB. Они друг друга нейтрализуют. Так я беру и применяю теперь к обоим частям этого равенства, если эти два преобразования одинаковы, если вот это преобразование равно Id, тогда если я взял теперь композицию с T на 2AB обоих частей (смотрите и привыкайте, это будет очень часто проходить во время курса геометрии группы), то тогда здесь тоже можно умножить просто на одно и то же движение, взяв композицию вот этого и этого с правой и левой его части, слева на перенос. Здесь уже надо следить за право-лево. Тут у нас все коммутативно было со сложением и умножением, а здесь операция некоммутативная, не перестановочная, поэтому надо следить. И тогда смотрите. Исследуем это выражение. Что мы делаем теперь? Мы делаем действие, которое связано с групповой природой множества всех движений. И вообще любых отображений. Ассоциативность. Вот если одним словом сказать, какое свойство операции над обычными числами — плюс, умножить, обычных операций, не обратных, а прямых — какое свойство сохраняется для произвольных операций в произвольных группах? Ответ: ассоциативность. Это самое важное, вот я все время его скрывал, а теперь я хочу его громко, вслух артикулировать. Любые преобразования, абсолютно любые, обладают свойством, что если я выполнил одно вслед за композицией каких-то двух других, то это тоже самое, что в начале то первое, а потом композицию вот этих. Грубо говоря, чтобы это доказать, нужно просто проследить за судьбой каждой точки. Нет смысла это доказывать, потому что если вы сами проследите за судьбой каждой точки, то вы сразу это увидите, как абсолютно очевидное утверждение. Я никогда не был сторонником доказательства этого факта, его нечего доказывать, к нему надо просто привыкнуть. Проследить за судьбой любой точки, что с ней произойдет. Она в начале выполнит приказ h₃, потом h₂, потом h₁. И неважно, здесь или здесь вы это выполняете. И здесь и здесь будет одна и та же ситуация. Знаменитая картинка в учебниках, когда вот такое движение и такое движение точки приводят естественно в одну и ту же точку, тем самым говоря, что любая точка при этих двух преобразованиях перейдет в одно и то же. То есть эти два преобразования тождественно по точкам совпадают. И вот это и есть то свойство, которое сохраняется в произвольных группах, последние, которые я еще не открывал. Мы уже, в принципе, готовы для аксиоматики групп, но пока давайте добьем вот это рассуждение до конца. А что будет здесь? Ответ: композиция с Id ничего, естественно, не меняет. Если здесь пришел полковник и сказал: «Всем сидеть на своих местах», а здесь какой-то другой всех куда-то погнал, то в результате все пойдут туда, куда сказал второй. Поэтому справа перенос на 2AB, и все. А слева что? Смотрите, это сокращается. Это перенос на -2AB, а потом перенос на 2AB. Один полковник вас туда пригнал куда-то, а другой ровно обратно. Каждый человек остался на месте. Поэтому слева написано Id, ничего не меняющее, которое выполняется вслед за g. Ну извините меня, если я вслед за g позвал полковника ленивого, который никого никуда не переместил, то это просто то же самое, что g. И вот вам цепочка равенств для каждой точки плоскости выполняется вот такая цепочка равенств, и значит каждую точку плоскости g отправит туда же, куда отправляет перенос. То есть, по определению равенства движений, это означает, что g есть перенос. Вот такая вот вспомогательная лемма или вспомогательное утверждение полностью доказана. Эта логика с первого раза кажется сложной, тяжеловесной такой, но она у нас повторится такое количество раз, что вы к ней очень хорошо привыкнете. Это строгое доказательство вот этого утверждения. Поэтому мы действительно можем сюда вписать перенос, и он нам поможет при завершении доказательства пункта C и составлению этой таблицы. К чему мы теперь и будем переходить.
