Преобразование плоскости. Тут все гораздо сложнее и, я бы сказал, объемнее. Хотя объемнее, наверное, это для пространства. Богаче! Итак, есть плоскость. Ну, определение подобия в точности такое же. Подобие – это... ну, я даже не записываю. Это преобразование плоскости, которое все расстояния меняет в одно и то же количество раз. В частности, движения являются подобиями, они сохраняют расстояние. Но подобием является и вырожденное преобразование, которое все расстояния делает нулевыми, то есть все точки схлопывает в какую-то одну. Хорошо. Упражнение № 1. Любое подобие задает корректным образом [БЕЗ СЛОВ] преобразования на векторах. ...на векторах. То есть, на самом деле, вот это упражнение переносится один в один на плоскости. Ну, там более богатая ситуация. Что такое сумма векторов на плоскости? Это уже какие-то параллелограммчики надо рисовать. Произведение вектора на число – это, соответственно, мы его в какое-то количество раз увеличиваем. Тем не менее, это упражнение на такое сложное. Его тоже можно так же доказать как и напрямую, показав, что если два вектора отложены в разных точках, но у них направления параллельны друг другу и, соответственно, стрелки в одну и ту же сторону вдоль этих параллельных прямых торчат и длина одинаковая, то, если этот вектор в какой-то перешел, то этот вектор перейдет в равный ему при подобии. Поэтому, значит, у нас опять появляется корректное отображение на векторах, преобразование какое-то на векторах. А упражнение № 2 – что оно линейно. То есть пока все то же самое, но, в частности, из этого следует то, что мы пока не знали. Ставлю восклицательный знак! Мы еще не знали, что движение – это линейное преобразование. Теперь мы это узнали. Итак, любое подобие, в частности любое движение плоскости задает линейное преобразование на векторах. Ну, а вектора можно изобразить стартующими из одной и той же точки 0, ну вот все снести в эту точку и там уже и складывать. Тогда, если мы нашу плоскость реализуем вот таким образом, тогда у нас линейное отображение – это очень небольшая часть всех отображений и подобия, которое сохраняет одну конкретную точку 0. Вот линейные, те, которые получены из подобий. Но упражнение № 3: это разница между прямой и плоскостью. Не всякое линейное преобразование пришло из подобия. Не всякое линейное преобразование является преобразованием подобия. Я с помощью вот этой картины каждое линейное преобразование могу тоже рассматривать просто как преобразование плоскости, но с одной неподвижной точкой 0. А в обратную сторону – каждому подобию ставится в соответствие преобразование на векторах, которое, естественно, тоже можно привести к этой картинке, где 0 выделен. Более того, можно взять базис, базис, и записать преобразование в координатах, то есть в виде матрицы a b c d. То есть любое преобразование подобия задается в виде некоторой матрицы 2х2. Что это за матрица? Ну это я взял первый вектор базиса. Я просто напоминаю, я надеюсь, что линейную алгебру слушатели знают. Первый вектор переходит куда-то. Вот куда он перешел, допустим сюда перешел, я раскладываю теперь по этому базису: ae1 + ce2. Ну и второй вектор куда-то там перешел, я раскладываю be1 + de2. И вот эти коэффициенты, эти числа a b c и d, это как бы вот набор имен, четыре имени одного и того же преобразование, это на самом деле одно такое четверное имя, какое-нибудь там, Луи Альберт... несколько имен. Бывает часто, за рубежом особенно, много имен у одного человека. Ну вот так у преобразований, у линейный преобразований на плоскости должно быть четыре имени. У подобия, на самом деле, должно быть еще больше имен, потому что линейные образования уже подразумевают, что точка 0 зафиксирована и дана. У нас есть нулевой вектор, это который нулевой длины. А произвольное подобие не обязано сохранить ни одну точку – ни эту, ни другую, там, может сохранить какую-нибудь другую вместо нуля. То есть там еще больше имен, значительно больше, еще на два, если я не ошибаюсь. Но не любое линейное преобразование является преобразованием подобия, потому что, например, если по оси вот здесь растягивание в 2 раза, а по этой оси – в 2 раза сокращения, то на самом деле довольно сложно себе представить, что при этом происходит, хотя в линейной алгебре, конечно, все это учили, всякие гиперболические преобразования. То есть они не меняют в одно и то же число раз все расстояния. Некоторые расстояния меняют в одно число раз, некоторые в другое, некоторые в третье... То есть, что нового на плоскости по сравнению с прямой? А именно: группа всех подобий – это тоже группа и можно рассматривать треугольники с точностью до подобия, вот такой треугольник и, там, вот такой, будут тогда одинаковыми. Но это не все линейные преобразования. На векторах они реализуют некоторые линейные преобразования, но специального вида. И вот, значит, я хочу теперь заняться изучением вот этих вот линейных преобразований, которые пришли из подобий. То есть, которые могут быть реализованы как подобия. Я утверждаю, что это прекрасно знакомый нам всем объект. Ну и, наверное, уже открою тайну. На самом деле, это комплексные числа. То есть, комплексные числа как преобразования, это линейные преобразования, пришедшие из подобий. И вот сейчас я буду долго, нудно и медленно развивать эту тему. Правильный взгляд на комплексные числа – это набор матриц специального вида, или же преобразований специального вида, которые соответствуют подобиям так же как обычные числа на прямой соответствовали подобиям в той нашей исходной картине, но там ничего, кроме этих обычных чисел и не было, там в подобии задавали все линейные преобразования, а здесь комплексные числа зададут определенный класс линейных преобразований. Но не все. Все линейные преобразования – это четыре произвольных параметра, а комплексные числа – это два произвольных параметра, как мы знаем. Итак, давайте еще раз я суммирую наши пожелания, так сказать, геометрическому построению комплексных чисел. Что такое комплексные числа? Для этого я еще раз напомню, что такое вещественные. Вещественные числа – это некоторое семейство преобразований, преобразований гомотетии, если смотреть на операцию умножения, и преобразований переносов, если смотреть на операцию сложения. При этом, при переходе к умножению, нужно только выкинуть 0, умножение на 0, все остальные преобразования образуют группу. Что такое комплексные числа? Это двумерные семейства преобразований, Причем по сложению это будут обычные сдвиги векторов. А по умножению – это некоторое двумерное семейство линейных преобразований, которое, если выкинуть нулевое, схлопывающееся в ноль, то внутри всех остальных это есть групповая операция, которая соответствует операции умножения комплексных чисел, а во множестве преобразований просто берется обычная композиция. Ну вот нужно каким-то образом угадать, как именно надо записать c и d через a и b, чтобы получить такое семейство. Но я не хочу гадать. Поэтому я пойду другой дорогой. Я сейчас построю комплексные числа, исходя из совершенно иных соображений, а после этого мы увидим, какие матрицы им будут соответствовать и что это будет за двумерное семейство. То есть, внутри... еще раз, значит, наш план: увидеть комплексные числа как некоторое двумерное семейство в четырехмерном семействе всех линейных преобразований плоскости. Это двумерное семейство должно обладать тем свойством, что если выкинуть просто 0, 0, 0, 0, то остальные задают невырожденные преобразования в смысле линейной алгебры, и композиция преобразований – это умножение комплексных чисел, а по сложению комплексные числа будут рассматриваться как параллельные переносы. Вот это будет, так сказать, полный триумф геометрии группы в приложении к комплексным числам. Будем реализовывать эту программу.
