Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Параллельный перенос
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
33 оценки
Из урока
Движения прямой
Познакомьтесь с преподавателями
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Теперь вопрос.
Хорошо, ну догадку мы эту впоследствии как-то подтвердим, докажем это.
А пока давайте назовем как-то наш перенос.
Как мы будем называть параллельные переносы?
Давайте их буковкой T называть тоже от какого-то английского термина.
Итак, T на любой вектор v в любую сторону,
туда или туда, тоже сохраняет прямую,
если вектор нарисован на прямой.
Итак, у нас уже есть некоторый,
так сказать, «зоопарк» движений, которые сохраняют прямую,
а именно: всевозможные отражения и всевозможные
переносы или сдвиги, как еще мы их будем называть.
«Сдвиг» — тоже нормальное название для такого переноса.
Что значит сдвиг?
Вот я беру за эту проволоку и направо двигаю.
А теперь уже сейчас хочу вам раскрыть некоторый секрет,
который в школе остается немножко без должного объяснения.
В школе векторы называют равными в том случае,
если они сонаправлены и одинаковой длины.
«Сонаправлены» означает,
что лежат на параллельных прямых и смотрят в одну сторону.
Что такое одинаковой длины — это совершенно ясно.
То есть два вектора — в школе говорят, что вот эти векторы равны.
Казалось бы, это вроде разные векторы,
но их называют равными и рассматривают как один и тот же.
Это все делается в полном соответствии с принципами геометрии,
с Эрлангенской программой Клейна.
Эти два вектора переходят друг в друга при определенном классе движений.
Эти движения — специальные движения плоскости,
которые называются параллельные переносы.
И вообще,
правильное определение вектора — это что вектор является параллельным переносом.
В каком смысле?
А вот в каком.
Вот нарисован вектор.
Как его расшифровать?
Взять плоскость за эту точку и сдвинуть ее сюда,
не меняя, не крутя, не поворачивая.
Вот я взял плоскость и сдвинул.
А теперь смотрите: допустим, я вернул ее назад,
а другой человек взял плоскость за эту точку и сдвинул ее сюда.
Внимание!
Мы сделали одно и то же, мы дали один и тот же приказ.
Два полковника, один из которых дает всем приказ, вот так сдвигая плоскость,
а другой вот так сдвигая, на самом деле абсолютно все точки плоскости отправляют,
одинаковым образом меняют,
то есть одинаково смещают точки плоскости.
И, соответственно, это два одинаковых преобразования.
Вообще, как сравнить два преобразования?
Два приказа по определению являются одинаковыми, если каждый
человек в соответствии с первым и вторым приказом пошел в одну и ту же точку.
Или на математическом языке: два отображения совпадают в том случае,
если они тождественно совпадают на любой точке множества, которое мы отображаем.
Поточечно.
И два переноса таких действительно совпадают,
поэтому мы говорим, что это одинаковые векторы, потому что если их выполнить
как параллельные переносы, это получится одно и то же преобразование.
Так же и на прямой.
Вот есть там вот такой вектор и вот такой вектор.
Параллельный перенос на этот и на этот вектор — это один и тот же перенос.
Поэтому на самом деле — давайте посмотрим на множество параллельных переносов
— я утверждаю, что это то же самое множество всех, все параллельные переносы,
и это то же самое просто, что множество всех вещественных чисел.
А именно: каждому числу я просто, во-первых, смотрю его знак.
Ну если это число — ноль, то перенос на нулевой вектор — это просто...
Перенос на нулевой вектор, кстати, а что это такое?
Перенос на нулевой вектор — это Id, то самое преобразование, которое ничего
не меняет, которое так любят математики и которое так удивляет обычных людей.
А дальше, например, перенос на единицу — это перенос вправо на расстояние 1,
а перенос на −1 — это перенос влево на расстояние 1.
То есть это два совершенно разных преобразования, как и должно быть,
потому что 1 и −1 — это два совершенно разных числа.
То есть вообще любому переносу ставится в соответствие число положительное или
отрицательное в соответствии с тем, направо или налево этот перенос.
И каждому числу ставится в соответствии какой-то перенос.
Это взаимно однозначное соответствие между множествами.
Но напомню,
что кроме переносов, которые соответствуют числам,
есть еще отражения, которые соответствуют всем точкам прямой.
Есть еще столько же отражений.
Понятие «столько же» — это очень тонкое понятие,
и в каком смысле может быть столько же точек в одном бесконечном множестве,
как и в другом, это мы с вами тоже обсудим в рамках Эрлангенской программы Клейна,
но несколько позже.
А пока я просто хочу сказать,
что у нас есть два бесконечных класса движений прямой.
И вопрос теперь состоит в следующем: верно ли,
что это всё, что можно придумать?
То есть можно ли доказать такую теорему: любое движение прямой
является либо отражением относительно некоторой точки,
либо переносом на некоторый вектор.
Да или нет?
Ответ — да, эта теорема верная.
И к строгому ее доказательству мы в следующем сюжете и перейдем.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
