Заметьте, что я пока не пользовался системами координат декартовыми, например, декартовые координаты на прямой. Мне хочется как можно дольше сохранить чисто геометрический язык. Как можно дольше. Я не говорю слово «навсегда», нет. Мы потом все равно будем пользоваться координатами. Геометрия современная без координат немыслима. Мы не сможем глубоко продвинуться только на визуальных образах. Но до какого-то момента полезно жить без координат, как можно дольше. И вот пункт (а) — конечно, проще всего, я вам честно скажу, проще всего ввести систему координат, установить на некоторые две неподвижные точки, дать им координаты 0 и 1 и написать условие, что любая другая точка должна сохраниться на том же расстоянии от 0, что и была, и на том же расстоянии от 1, что и была. И это совершенно невозможно, кроме как если она не поменяла своего положения. Это самый простой способ доказательства пункта (а). Но я пока не буду вводить систему координат, я на какую-то очевидность сошлю. Ну вот у нас есть две неподвижные точки, ну и посмотрите на судьбу какой-нибудь третьей точки, еще одной, вот этой, например. Она должна сохранить, если эти точки неподвижны, то так как расстояние сохраняется, то куда она может попасть? Только в такие точки, у которых расстояние до точки A будет тем же самым. Ну извините меня, так это же вообще только одна: вот с этой стороны от A находится. То есть вариант тогда только один, это перепрыгнуть сюда. Но если она сюда перепрыгнет, то совершенно ясно визуально, что ее расстояние до B поменяется. То есть что это за два гвоздя? Вот вы два гвоздя воткнули в эту проволоку, привязали ее в двух местах. Так всё, вы ее не сдвинете с места, это же понятно, очевидно совершенно. Я к этой очевидности сейчас взываю. Некоторые доказательства проще просто прочувствовать. Если кому не нравится, то постройте вы эту систему декартовых координат, и всё увидите сами. Ну а так ясно, что если две точки забиты, то всё, никакая точка не может изменить положения, где бы вы ее не рассмотрели. Эта точка не может сдвинуться сюда, потому что расстояние до B тогда сократится, точка, находящаяся внутри отрезка тоже не может ни сюда, ни сюда вылететь, потому что если она остается на том же расстоянии от A, то она вот здесь должна быть, это сильно дальше от B, ну и с той стороны симметричное рассуждение с этим. То есть я хочу сказать так. Я считаю эту теорему доказанной, то есть установленной визуально очевидным способом. Пункт (а) визуально очевиден. Пункт (б) тоже практически очевиден после пункта (а). В самом деле, пусть у вас есть ровно одна неподвижная точка, и она называется O. Тогда рассмотрите любую другую точку прямой. Вопрос: какие варианты у этой точки не изменить своего расстояния до O? А ведь при движении расстояние не должно меняться. Ну как: либо остаться на месте, либо прыгнуть на ту сторону. Другого варианта нет, от точки O только две точки находятся на одном и том же расстоянии: это A и A'. Ну если хотя бы одна точка осталась на месте, то мы возвращаемся в пункт (а): уже две точки бы остались на месте, и тогда это Id. А значит, все точки должны менять положение. Ну или еще, здесь же написано, что ровно одна остается неподвижной, значит, никакая другая не остается, значит, все остальные меняют, а менять положение тут можно только одним способом, а именно перепрыгнув в оставшийся антипод, так сказать. Поэтому пункт (б) тоже сразу же следует из визуально очевидных рассмотрений или опять из введения системы координат. Вводите систему координат, здесь точка 0, куда может пойти x? Расстояние до 0 должно сохраниться, значит, |x| должен сохраниться. При этом сама точка должна измениться. Значит, она только в −x и может пойти: только две точки с одинаковым модулем. То есть это всё как бы пятый класс. Поэтому в этом случае обязательно So. Вот, друзья мои. А вот пункт (б) немножко сложнее. Вот про него мы поговорим уже в следующем сюжете.
