Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Классификация движений сферы: доказательство
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
35 оценки
Из урока
Движения сферы и плоскости
Познакомьтесь с преподавателями
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Итак, ну давайте добьем сферу и заодно про плоскость кое-что скажем.
Пусть у сферы есть какое-то движение,
которое ни одну точку не оставляет на месте.
Это последний, грубо говоря, неразобранный случай, да?
Вот сфера, и вот нет никаких неподвижных точек.
Хорошо, возьмем любую точку, и куда-то она ушла.
Преобразование g перевело A в A'.
Ну я думаю, что уже понятно, что надо сделать, чтобы изучить эту ситуацию.
Нужно соединить их отрезком прямой,
причем, значит, в принципе, здесь возможно два случая: что A' противоположно K,
и что A' не противоположно K.
И вот в данном случае это не имеет никакого значения.
А именно,
так как я поделю сейчас это пополам и проведу перпендикулярную этому...
Ну, тут нужно, конечно, точно говорить, что такое перпендикулярно,
ну визуально ясно.
Прямой угол, если мы нарисуем касательные,
на касательной плоскости к сфере, то там это будет прямой угол.
Значит, я проведу серединный перпендикуляр.
Множество точек на сфере,
которые находятся на одинаковом расстоянии от этих двух.
Это будет ну опять, как обычно, дуга большого круга.
И совершенно не важно, они противоположны друг другу или нет.
Через любые две точки можно провести ровно один серединный перпендикуляр.
Если они противоположны, просто не будет важно, по какой дуге я пошел,
дуга большого круга будет перпендикулярна всем таким дугам.
А вот если они не противоположны, то это вся конструкция совершенно однозначная.
Ну с точностью опять же до второго того вот, с той стороны, значит, отрезка.
Но он приведет к тому же самому серединному перпендикуляру.
Итак, для любых двух точек на сфере различных существует однозначно
определенный серединный перпендикуляр, то есть множество всех точек на сфере,
находящихся на одинаковом расстоянии от этих двух,
и этот перпендикуляр служит прямой на сфере, то есть дугой большого круга.
Эту дугу мы обозначим за L, ну и...
точнее плоскость, которая ее порождает, плоскость,
которая высекает эту дугу на сфере, обозначим за L.
Ну и конечно же, мы организуем теперь отражение
относительно этой плоскости и обнаружим, что A перешло в A.
То есть при преобразовании g A перешло в A' каким-то образом, а при теперь
при отражении относительно серединного перпендикуляра A' перешло обратно в A.
Все.
Значит, у нас уже есть, есть у этой
композиции хотя бы одна неподвижная точка, конкретно — A.
Да. Теперь вспоминаем, что если у нас есть
хотя бы одна неподвижная точка, то у нас возможны только три разные
ситуации: Id, отражение и поворот.
Соответственно, отсюда следует,
что вот такое преобразование равно либо Id,
либо какое-то SМ, либо какое-то Rφ относительно какой-то прямой l.
Вот либо так, либо так, либо так.
При этом помним, что R на самом деле мы получили это,
как композицию двух отражений тоже, то есть у нас...
у нас возник поворот...
то, что это поворот, возникло из того, что мы доказали, что это преобразование,
значит, оказывается композицией двух отражений.
Ну как-нибудь я их назову, например там,
S относительно плоскости какой-нибудь L₁, и L₂.
Вот.
Ну и вот у нас теперь три разных случая,
и у нас должно быть тогда, что g либо...
при домножении теперь на SL мы получаем, что g это либо SL,
либо SM * SL, либо SL₁ * SL₂ на SL.
То есть g — это движение, которое является либо одним отражением,
либо двумя, либо тремя, выполненными подряд.
Эти два случая невозможны.
Почему?
Ну здесь вообще целая плоскость...
ну целая дуга большого круга неподвижна, у нас по условию неподвижных точек нет.
Здесь смотрите, g никогда не может быть композицией двух отражений,
и в этом смысле случай сферы проще, чем случай плоскости.
Потому что на сфере любые две прямые пересекаются, причем ровно по двум точкам.
Любые две дуги большого круга имеют ровно два пересечения.
Ну нарисуете, да, все.
Получается такая геометрия сферы, она интересная.
Любые прямые пересекаются, значит.
И пересекаются ровно по двум точкам.
Это еще одна...
Еще один намек, да?
На самом деле нужно считать две противоположные точки одинаковыми,
и тогда любые прямые будут пересекаться ровно в одной точке,
а именно в паре противоположных точек.
Ровно так и происходит на проективной плоскости.
Сфера с отождествленными противоположными точками — это проективная плоскость,
и на ней, соответственно, прямые — это вот как бы вот эти вот дуги большого круга,
только уполовиненные, потому что мы склеили противоположные точки.
И любые две прямые пересекаются ровно по одной точке.
Такая замечательная, значит, картина.
Такая идеальная картина.
На плоскости этого нет, потому что бывают параллельные прямые.
Поэтому классификация движений плоскости немножко сложнее,
чем классификация движений сферы.
Но очень похожа на нее.
Ну вот, значит, вот этот случай невозможен,
потому что при отражениях относительно двух дуг большого круга, M и L обязательно
неподвижными будут пересечения этих двух дуг, то есть обязательно...
Такое преобразование всегда является поворотом на сфере.
Композиция двух отражений — это всегда поворот относительно какой-то оси.
А на плоскости композиция двух отражений относительно двух там
разных прямых может быть либо поворотом, либо чем-то еще.
Чем именно, мы сейчас посмотрим.
Вот. И тем самым у нас здесь будут две
неподвижные точки, ну и опять условие задачи не будет выполнено,
что g не имеет неподвижных точек.
Поэтому вот вам единственный вид преобразования, который может быть.
Если g не имеет неподвижных точек, то оно является композицией трех,
а не двух отражений.
Ну и все.
Осталось только дать упражнение, упражнение на дом,
доказать, что композиция трех отражений — это всегда поворотное отражение.
То есть можно представить эту композицию так,
что она будет композицией как бы двух отражений относительно некоторых двух дуг
большого круга и отражения относительно перпендикулярной им дуги большого круга.
И тогда эти две дадут поворот, и поворот будет сопровождаться отражением
относительно той прямой, которая при повороте не меняла своего положения,
как единое целое, а только поворачивалась.
Вот. И вот эту вот задачу я дам в качестве
упражнения, и тем самым у нас, так сказать, полная...
есть полная классификация всех движений сферы,
а именно: это композиция трех, двух или просто одного отражения,
то есть это либо одно отражение, либо два, выполненных подряд, либо три.
Отражение и три отражения — это преобразования движения,
которые меняют ориентацию, композиция двух отражений ориентации не меняет,
соответственно, если мы перейдем к теореме Эйлера, то она полностью доказана,
потому что, если в ней написано...
Ну, в теореме Эйлера говорится: отражение...
Значит, движение, которое не меняет ориентацию сферы, является поворотом.
Конечно, потому что не меняет ориентацию только вот это вот, центральное, там,
где отражения два.
А про отражение мы уже знаем, что это поворот.
Вот. А остальные два меняют.
Ну вот отражение, поворотное отражение, вот здесь повороты живут.
Все. Ну и еще одно упражнение: составить
таблицу композиции движений сферы.
Ну я честно хочу сказать, что ну, это не то, чтобы вот совсем просто.
Это потребует некоторого напряжения интеллектуального.
Я всем советую это проделать.
А мы перейдем к последнему, значит,
последнему перед кватернионами сюжету,
а именно завершение классификации движений плоскости.
И я хочу это уже очень кратко сделать,
потому что это такой стандартный материал всех книг для мат.
школ, всех программ мат.
школ, поэтому я лишь в виде такой последовательности упражнений и,
значит, ну постулативно я опишу это,
как некоторую последовательность фактов там, упражнений, лемм.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
