Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Аналитическая форма для проекции
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
33 оценки
Из урока
Проективная геометрия
Познакомьтесь с преподавателями
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Мир проективной геометрии.
На этой неделе мы будем изучать сюжеты, так или иначе связанные с проективной
геометрией, и начнем с того, что такое проективное преобразование.
Мы хотим расширить класс подобий и даже произвольных в общем
случае (в случае двумерном, трехмерном и так далее),
расширить класс произвольных аффинных преобразований — растяжений в
разные разы по разным осям и так далее.
И, кроме того, нам хочется,
чтобы преобразования проецирования в этот класс вошли.
Давайте попробуем решить следующую задачу: записать
проецирования в аналитической форме.
Это нам подскажет, возможно, общий вид проективных преобразований.
Берем точку и прямую и берем еще одну прямую.
Производится проецирование
каждой точки этой прямой на точку этой прямой.
Введены системы координат: есть 0, 1 и так далее.
Все точки получают какие-то координаты, и каждая точка x в результате отправляется
куда-то, точка с координатой x отправляется куда-то на вторую прямую,
где будет иметь координату y, равную f(x).
Значит, вопрос такой: как задать вот эту вот функциональную зависимость?
Я сейчас напишу рецепт примерный, как это делать.
Ну, в принципе, каждый из вас может сделать это сам.
Вот у нас есть 0, вот у нас есть здесь единичный отрезок, вот есть точка y,
которая как-то...
Ее координата должна быть связана с тем, где находится 0,
и с заданным шаблоном единичного отрезка.
Нужно исходить из того, что есть какие-то начальные координаты a и b у точки,
из которой ведется проецирование (какие-то координаты заданные),
и теперь нужно что сделать?
Нужно записать точку, которая имеет внутреннюю координату
x по этой прямой относительно вот этих вот 0 и 1,
записать ее как точку плоскости в виде двух координат — xa и xb,
допустим, назовем их так.
После чего мы проводим прямую (прямую через две точки
плоскости проводим по школьным правилам) и пишем две системы уравнений...
Пишем систему уравнений из двух уравнений: первое уравнение задает вот эту прямую,
а второе уравнение соответственно нам задает вот эту прямую, или,
иными словами, оно говорит, каковы координаты you,
yb точки, которая имеет координату y на этой прямой.
То есть координаты на плоскости у этой точки,
если мы знаем, что внутренние координаты вот этой прямой,
на этой прямой у этой точки внутренняя координата равна y.
Ну, вот у нас получается, значит, как это делается?
Ну, методами аналитической геометрии обычно это делается,
то есть тут есть какие-то координаты начальные, a0, b0, например,
и мы прибавим к ним x умножить
на вот этот вектор, то есть в x раз должны растянуть вот этот вектор,
который имеет произвольный вид: косинус φ, синус φ можно задать.
Чтобы он имел единичную длину,
можно его задать через косинус и синус некоторого угла.
Ну вот у нас получается, соответственно, точка какая-то, в которой
и первая и вторая координаты являются какими-то линейными функциями от x,
потому что остальные параметры все нам даны.
После чего мы проводим прямую, ее уравнение тоже линейно выражается через x,
и приравниваем нулю одновременно уравнения, вот, точку этой прямой,
мы приравниваем нулю уравнение этой прямой, уравнение вот этой прямой.
Мы получаем пересечения...
То есть мы приравниваем как бы нулю обе координаты на
плоскости соответствующие, где эти две координаты тоже являются функциями y.
Вот.
И тем самым мы...
После этого мы можем из этих двух уравнений получить зависимость y от x.
Предлагаю всем проверить, что она будет иметь следующий вид.
На самом деле это и на глаз очевидно,
потому что все входящие уравнения будут линейными, и когда мы будем разрешать
систему уравнений, единственное, что мы будем делать, это мы делить будем иногда.
То есть получается вот такая форма.
Вот такая форма называется дробно-рациональная.
[ЗВУК]
Дробно-рациональный вид.
С другой стороны,
как можно воспринимать координату на проективной прямой?
Напоминаю, что проективная прямая — это множество прямых,
проходящих на плоскости через данную точку.
И, если мы хотим одну координату получить,
мы можем на какой-то высоте, ну, например, на высоте, равной единице,
провести вот такую параллельную прямую, тогда все точки проективной прямой, кроме
вот этой вот бесконечно удаленной точки, которая есть параллельная ей прямая,
они получат одну координату, которая будет так и получаться...
Как она будет получаться из двух координат на плоскости,
если мы прямую задали каким-нибудь вектором ab?
Ну, тогда как раз вот эта вот точка будет иметь координату b разделить на a,
вторая на первую.
То есть кажется, что у нас происходит преобразование с
помощью какой-то матрицы альфа, бета, гамма, дельта.
Ну, преобразование с помощью матрицы два на два — это...
Ну, как, что такое преобразование с помощью матриц два на два?
Это линейные преобразования двумерной плоскости.
Линейные преобразования двумерной плоскости.
Так вот, при линейном преобразовании прямая всегда переходит в прямую.
Поэтому любая матрица альфа, бета,
гамма и дельта — вот такая матрица два на два — любая такая матрица
задает некоторое преобразование проективной прямой.
А именно: она берет какую-то точку проективной прямой, подставляем в нее,
берем вектор какой-то, направляющий для этой прямой,
действуем на него этой матрицей, и получается какая-то новая прямая,
новый вектор (если мы возьмем вектор в два раза более длинный, здесь, соответственно,
тоже будет в два раза более длинный вектор) останется тоже на этой прямой.
То есть то, куда попадет наш вектор, не зависит от того,
какой конкретно мы выбрали, этот или какой-то кратный ему, какой-то вектор,
который ему коллинеарен, мы всегда будем попадать на одну и ту же прямую здесь.
То есть на множестве всех прямых у нас возникает такое преобразование, которое,
если мы получим координату на проективной
прямой с помощью вот такого отношения b к a,
то есть когда мы берем точку пересечения соответствующей
прямой с нашей вот этой вот аффинной прямой и смотрим, какая у нее координата,
в этих координатах как раз запишется в таком виде.
То есть если мы рассмотрим любое линейное преобразование плоскости,
перепишем, как оно действует на одной координате
на проективной прямой соответствующей, игнорируя бесконечность, соответственно.
Ну, про бесконечность сейчас будет тоже все понятно,
потому что бесконечность — это означает, что вот этот знаменатель обратился в ноль.
Если знаменатель обратился в ноль, значит,
образом этого преобразования будет бесконечность.
С другой стороны, если я подставлю вместе x бесконечность, тоже понятно,
что произойдет.
Альфа и гамма будут несущественны, по сравнению с вот этими величинами,
будет бета разделить на дельту.
Вот.
То есть этот вид дробно-линейного преобразования,
он очень хорошо может быть использован
для задания не всюду определенных отображений.
То есть вот это отображение определено всюду, кроме одной точки,
где зануляется знаменатель.
Вот. И получается, что линейное преобразование
плоскости переходит в дробно-линейное преобразование проективной прямой.
Вот.
Теперь вопрос: можно ли как-то
геометрически охарактеризовать проективные преобразования прямой?
Вот что значит «проективные преобразования»?
Движение — это преобразование, которое сохраняет расстояние.
Поэтому, если мы взяли две точки какие-то
на прямой, измерили расстояние между ними...
То есть если мы введем координату на этой прямой,
это будет просто разность двух координат, то эта разность будет сохраняться.
При аффинном преобразовании тоже что-то сохраняется,
а именно: если есть три точки,
вот были какие-то три точки при аффинном преобразовании a, b, c,
а потом появились новые три точки a', b', c',
то легко понять, что величиной,
которая не меняется при аффинном преобразовании, будет отношение отрезков.
То есть вот раньше вот этот отрезок разделить на вот этот было,
теперь измеряем.
Значит, вот этот отрезок разделить на вот этот.
И, несмотря на то, что масштаб изменился, отношение отрезков сохранилось.
При проективном преобразовании
не сохраняются ни длины отрезков, ни их отношения.
Что можно увидеть с помощью...
Ну, так сказать, если мы возьмем две прямые и начнем проецировать одну прямую
на другую, ясно, что очень далекие точки вот этой прямой переходят
куда-то в окрестность вот этой выколотой точки, то есть здесь
даже сильно-сильно далекие точки переходят в очень-очень близкие точки вот здесь.
А с другой стороны, если мы рассмотрим наоборот какие-то точки где-то
в непосредственной близости от нас, то видно, что отрезки могут удлиняться,
те отрезки сужаются, те отрезки схлопываются, эти отрезки удлиняются.
Видно, что никакого инварианта, как говорят математики,
в виде отношения отрезков здесь быть не может.
Возникает вопрос: а сохраняется ли здесь что-нибудь?
То есть есть ли у проективных преобразований,
у проецирований или у обобщенных проецирований,
то есть у всех преобразований проективной прямой, которые получаются из
линейных преобразований плоскости просто делением координат векторов
друг на друга, существует ли какой-то инвариант, что-то, что не меняется?
Вот мы могли вычислить какую-то характеристику нескольких
точек на исходной прямой, а потом спроецировать точки этой
прямой на другую прямую, вычислить характеристику ту же самую,
так же устроенную, у новых точек и получить одно и то же значение.
Вот этот вопрос будет в фокусе нашего внимания в ближайшем сюжете.
Итак, какая величина остается неизменной при проективных преобразованиях?
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
