Итак, в любом равновесии μ = 1 / 7.
А что же из этого следует?
Из этого следует,
что τ не равно ни 0, ни 1,
потому что при τ = 0, μ = 1,
а при τ = 1, μ = β, которое меньше 1 / 7.
Поэтому мы делаем некоторый очень важный
вывод: что раз у нас в любом равновесии вот так,
то в любом равновесии τ — строго между 1 и 0.
А вот из этого мы можем уже сделать еще один вывод.
А именно: что означает, что τ не равно ни 0, ни 1?
Это значит,
что второй игрок с положительными весами использует обе свои стратегии.
Главный принцип теории игр состоит в том,
что тогда выигрыш на обоих дорогах должен быть одинаковый.
Выигрыш вот на этой дороге у него равен 8,
и значит, 8 должен быть равен выигрыш на той дороге.
А выигрыш на той дороге определяется σ, и значит, то,
что он равен 8, даст нам точное значение σ.
Давайте запишем.
Итак, раз это так, то 8 должно в точности равняться тому, что его ждет справа.
А справа с вероятностью σ его ждет 32, а с вероятностью 1 − σ его ждет 4,
то есть 32 * σ + 4 * (1 − σ).
28 * σ = 4.
Отсюда σ тоже равно 1 / 7.
Но раз σ = 1 / 7,
то оно тоже, извините, между 0 и 1 строго, а значит,
первый игрок в этой ситуации тоже использует смешанную стратегию,
тоже использует смешанную стратегию.
Но, собственно, на самом деле,
это мы знаем, это мы знаем.
Итак, почему?
Ну потому что мы знаем, что μ = 1 / 7.
При μ = 1 / 7 ему все равно ходить сюда или сюда.
Так что пока мы что получили?
Мы получили μ, мы получили σ, а хотим еще получить τ.
А чему равно τ?
Как нам получить τ?
Нам нужно все эти параметры получить, а потом уже ответить на вопрос: существует
ли равновесие с α = 1, то есть с альтруистическим ходом в начале.
Хорошо, давайте подумаем, как нам получить τ.
А чего думать?
Вот как 1 / 7 равна вот этому.
Отсюда получается выражение на τ.
Итак, 1 / 7, μ = 1 / 7 должно быть
равно вот тому выражению β / (β
+ τ) * (1 − β).
1 / 7 равна вот этому отсюда, τ чему-то там равно.
Ну я, на самом деле, честно вам скажу, что я наизусть это
помню: оно равно 6 * β / 1 − β.
Ну можно решить просто это уравнение и получить.
Заметьте, что именно при β = 1 / 7 и ниже эта формула становится осмысленной.
До этого она вылетает из интервалов — чему может быть равна вероятность,
то есть из интервала 0, 1.
Но мы как раз предположили, что β < 1 / 7, поэтому все правильно.
И осталось выяснить только один вопрос.
Вот ход в начале.
Мы, собственно, с чего мы начали?
Давайте вспомним, с чего мы начали.
Мы начали с того, что хотели «сороконожку» посадить — результаты в аудитории,
которые говорят о том, что люди не сразу хватают деньги, а в начале уж точно
они любят передавать туда ход, а потом постепенно начинают хватать.
Что мы видим: ну как, здесь все постепенно.
Вот тут вот, тут уже почти все хватают, но все-таки некоторые не хватают, здесь тоже.
Вот, вопрос: при каких β существует равновесие с α, равной 1?
Почему я говорю «при каких β»?
Дело в том, что все остальные параметры мы уже определили.
В любом сильном секвенциальном равновесии верны вот эти формулы.
Поэтому если сильное секвенциальное равновесие существует,
то все вот это в нем определено однозначно.
И поэтому, какое α, зависит только от того, какое β.
Это единственный свободный параметр, который вообще к этой модели свободен,
это процент честных людей в популяции вторых игроков, он нам дан свыше.
Вопрос: при каком, начиная с какого β, начинает существовать равновесие,
при котором α > 0?
Ну я даже больше скажу: давайте посчитаем, при каком β оно начинает быть равным 1.
Значит, что для этого надо сделать?
Надо просто сравнить два числа: число 4, которое ожидается,
если пойти вот сюда, и сложное большое выражение,
а именно: 1 − β * скобка открывается,
1 − τ * 2 + τ * скобка открывается,
σ * 8 + 1 − σ * 16 + β * скобка открывается,
значит, 1 − σ * 16 + σ * 64.
Позвольте это все оставить в качестве упражнения.
После того как вы выполните это упражнение, вы запишете условие,
что ход направо дает неотрицательный выигрыш, ну или даже,
хотите, просто полностью положительный выигрыш.
Запишите условия на β, при котором выигрыш от хода направо,
от вот этого хода положителен...
извините, не положителен, конечно, а больше, чем 4.
Вот условия на β — это то, что вот это все выражение,
целиком которое мы сможем посчитать, когда запишем, будет > 4.
И если оно будет > 4, то понятно, что в равновесии у нас должен быть вот этот ход.
И тогда все, ура, мы там что-то по крайней мере смогли воссоздать из того,
что планировали.
Мы воссоздали, что при некотором проценте честных людей в первый момент люди будут
ходить всегда направо, передавая ход второму.
Самое удивительное в этой истории — это точное значение β,
при котором это начинает быть верным.
Оно удивительно мало.
β начинает быть верным с 1 / 49,
то есть вот это условие секвенциальное, сильное секвенциальное равновесие,
в котором передается ход, а не хватаются деньги сразу, начинается с процента
честных людей не 1 / 7, как в начале могло бы показаться, а 1 / 49.
Вообще, есть гипотеза, что если я напишу эту игру,
еще несколько как бы экземпляров,
вот продолжение этой «сороконожки», шестигранная, восьмигранная «сороконожка»,
то будет формула 1 / 7 в k-той, где k — это число таких ног.
Гипотезу эту я никогда проверял,
это нужно просто посидеть и помучиться немножко, ну хотя бы для шести.
Может быть, это хорошее упражнение для шести.
Шестизвенная «сороконожка» использовалась в реальных данных в аудитории,
интересно для нее что-нибудь посчитать.
Для нее первый ход — 97 % народу передает ход.
То есть на шестизвенной «сороконожке» вариант (4, 1) хватает только 3 % людей.
Ну и как бы если все правильно, то здесь будет 1 / 343.
Ой, какая?
Да, кажется, да, все правильно.
То есть 7 в кубе.
Понятно, что уж даже самые страшные мизантропы, наверное, верят, что вот
такая доля честных людей в популяции есть, и в первый момент делают ход направо.
То есть, скажем так: эту модель трудно забраковать,
она дает результат, который вроде бы согласуется с практикой.
Но я продолжаю считать, что второе объяснение через равновесие дискретного
отклика все-таки более правдоподобно.
О нем мы поговорим уже в другой раз.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
