Разработанный МФТИ курс отличается тем, что все основные конструкции и принципы теории вводятся непосредственно на основе разбираемых "с нуля" конкретных этюдов. Каждый этюд начинается с понятной непрофессионалу проблемы. В одних случаях это просто "детская игра", в других - формализованное жизненное наблюдение, в третьих - обобщённая социальная закономерность. Сюжет затем разворачивается, исходя из логики содержащегося в нём конфликта, и сам порождает тот или иной принцип разрешения конфликта, который окончательно строго формализуется в виде решения игры. Этюдов всего рассмотрено чуть более десяти, и они в совокупности покрывают основные формальные конструкции базовой теории игр. В нескольких отступлениях приведены формулировки теорем существования игровых решений с набросками доказательств.
Игра "Совет безопасности ООН": поиск вектора Шепли. Индексы влияния
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Теория игр
44 оценки
Из урока
Кооперативная теория игр. Ядро. Вектор Шепли
На этой неделе мы переходим к изучению кооперативной теории игр, понятию ядра и вектора Шепли.
Познакомьтесь с преподавателями
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ
Ну вот, а чему же равен вектор Шепли?
В векторе Шепли значения X6,
X7, X8 и так далее 0 равны не будут.
Почему?
Ну хотя бы потому, что можно предъявить конкретный порядок,
вот просто порядок 1, 2, ..., 15,
при котором происходит следующее: зашел первый, ну эта коалиция не выигрывающая,
значит, он получает 0, зашел второй, эта коалиция всё еще не выигрывающая,
получает 0, зашел третий, четвертый, пятый, все пять постоянных здесь,
но она всё еще не выигрывающая, эта коалиция не может получить 1.
Шестой, седьмой, и вот он — заходит восьмой и меняет не выигрывающую
коалицию на выигрывающую.
В этот момент этот восьмой получает полный куш,
то есть вот здесь у него стоит 1, а на всех остальных местах у всех стоят 0.
Поэтому существуют такие упорядочения,
при которых вот эти вот игроки получают положительные величины.
Следовательно, после усреднения, после деления всех таких векторов,
всех 15 факториалов таких векторов на 15!,
возникнут ненулевые вхождения на всех местах.
Понятно, что из построения вектор Шепли будет выглядеть очень симметрично,
то есть на первых местах будет некоторое число a, на последних 10 местах — число b.
Задача по комбинаторике: определить, чему равен b.
А я просто напишу ответ: оказывается, что b, конечно,
ненулевой, но не так чтобы очень.
Итак, игра не супермодулярна,
ядро не пусто, причем довольно серьезно — ядро большое,
ядро содержит все дележи, при которых сумма
первых пяти компонент равна в точности 1, остальные все компоненты равны 0.
Вектор Шепли имеет вид пять чисел a и потом 10 чисел b,
где сумма, понятное дело, 5a + 10b = 1, и b — это вот такое вот число.
Соответственно, на самом деле вектор Шепли, хоть и не лежит в ядре,
но всё равно он подтверждает идею,
что переменные члены совета безопасности ООН ничего, в общем-то, не значат.
В векторе Шепли они значат вот столько.
Ну вот.
Ну вообще в теории, в теории индекса
влияния парламентских игр есть несколько
интересных достижений и интересных наблюдений.
Что такое парламентская игра?
Вот у нас есть несколько партий, партия там A, B, C, D.
У каждой партии какое-то количество голосов.
Ну каких голосов?
Ну просто, скажем, у «Единой России», допустим,
240 представителей в Думе, у КПРФ...
Ну я условно пишу, я точно не знаю, чему равны эти числа.
У «Справедливой России», может быть, 80, например, у Жириновского — 45.
Я написал условные цифры, можно поискать настоящие.
Теперь вопрос.
Смотрите, бывает два типа игр.
Первый тип игр состоит в том, что нужно принять решение,
для которого требуется 50 %.
Второй тип игр состоит в том, что нужно изменить Конституцию,
тогда требуется больше, чем 66 %.
И вот возникает такая игра, в которой на множестве всех
коалиций из четырех игроков, то есть на множестве из 15,
кроме пустого множества, на множестве из 15 элементов заданы
соответствующие числа 1 и 0 в соответствии с тем, способна ли соответствующая
коалиция принять решение, требующее вот такого большинства и принять решение,
требующее такого большинства, то есть это две разные игры.
И в науке, в политологии, стали рассматривать вообще произвольные игры,
в которых есть некоторый список партий, есть список количества голосов
в этих партиях, и есть квота q,
и коалиция называется выигрывающей, если сумма голосов партий,
которые в нее в входят, больше, чем эта квота q, то есть больше,
чем требуемое количество для того, чтобы решение принять.
Ну вот здесь, соответственно, получается две игры: 50 % и 66 %, две разные игры.
Интересные наблюдения состоят в следующем.
Во-первых, в последнем созыве партия Жириновского
ни в каких ситуациях не меняла возможность
принять решение никакой другой коалиции без нее.
То есть приход, присоединение вот этого вот D к
любому из подмножеств на множестве ABC ничего не меняло.
Либо подмножество до этого могло само принять соответствующее решение,
либо оно не могло, но тогда и вместе с D не могло.
То есть получился очень странный эффект.
Ну это для одного из двух порогов, для второго это было не так.
То есть для решений, кажется, вот таких,
обычных, партия D не играла никакой роли, можно было вообще с ней не советоваться.
Но конечно, ну как бы от случая к случаю,
то есть на следующих выборах может получиться иначе.
И у меня есть коллеги, которые проанализировали все российские
Думы всех созывов, кто там что значил, ну а завершить я хочу на совершенно
анекдотической ситуации, которая долгое время была в Европе.
А именно: в Европейском союзе его первого, самого первого формата было шесть стран.
Кажется, Германия, Франция, Испания, Бельгия,
Нидерланды и Люксембург, но может быть, я там где-то кого-то перепутал.
Им были выданы квоты: кому-то шесть голосов, кому-то четыре, кому-то четыре,
кому-то еще сколько-то, Люксембургу был выдан один голос.
А квота была четной.
[БЕЗ СЛОВ] И
вот эта ситуация долгое время была просто фактическим положением дел.
То есть Люксембург присутствует среди списка стран,
которые принимают какие-либо решения, ему выдан даже один голос,
но голос этот очевидно чисто совещательный,
потому что если какая-то сумма вместе с ним больше четного числа, значит и без
него тоже больше четного числа, все вот эти вот были четные, типа вот так.
То есть это было прямое издевательство с плевком в лицо, но,
видимо, не знаю, может, там никто просто это не замечал, а может быть,
это как-то задумано было, мне трудно судить, это какая-то другая культура.
Но само по себе это просто анекдотически.
Это вот этот факт, совершенно это факт истории, просто записанный факт истории,
его можно проверить в Интернете.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
