Итак, если рынок «а-ля восточный
базар» находится в состоянии равновесия, то должны существовать цены.
Хорошо, а кто вообще гарантировал, что он будет в состоянии равновесия когда-нибудь?
Кто гарантировал, что равновесие существует при любых начальных данных?
Кто гарантировал, что это равновесие будет удовлетворять тем условиям,
которые мы поставили на предыдущих сюжетах,
когда мы выдвигали требования индивидуальной рациональности,
Парето-оптимальности и коалиционной устойчивости?
Вот это все можно гарантировать некоторой одной,
возможно самой великой теоремой в математической экономике.
Началось все с Леона Вальраса.
Вальрас в 1880 году предложил
следующий механизм — механизм рыночного обмена.
Он говорит: давайте сделаем так.
Давайте не будем заниматься какими-то частными обменами где-то в уголках,
а полностью централизуем рынок.
Пригласим некоторого эксперта теоретико-игрового,
приходит теоретико-игровой эксперт и совершает следующие действия.
Первое: забирает у всех все,
то есть образует ω, вектор которой
равен сумме всех вот этих вот векторов начальных запасов.
Вот такой вектор из IRL+.
Итак, эксперт пришел на рынок и забрал у всех все.
Как в походе — в походе всю раскладку сдают сразу завхозу.
Завхоз ее там где-то в углу собирает.
В первый день, когда катамараны собираются, все делится на группы —
огромная такая гора сухарей, колбасы и так далее, вот — у всех все забрал.
Так же на рынке — он взял у всех все забрал, этот эксперт.
Но при этом он выдал каждому,
выдал каждому бумажку,
на которой написано, сколько стоил его набор начальных, значит,
принесенный им набор продуктов, то есть его начальная корзина.
Выдал каждому бумажку.
А что же за бумажку, что такое «сколько стоило»?
Ведь чтобы знать, сколько стоило, нужны эти вот самые цены, которые мы ищем, да?
Так вот, этот эксперт объявил цены, то есть в качестве,
на самом деле, нулевого шага он объявляет вектор цен.
Он говорит: «Дорогие друзья, я изучил все начальные
запасы, все отношения предпочтения, как они устроены,
исследовал ваши карты и говорю: вот вектор цен,
который мы будем использовать в наших дальнейших рассмотрениях».
Тогда понятно, какую бумажку он каждому выдает —
каждому будет выдана бумажка, на которой будет написано wi — одно число,
равное сумме по l от 1 до L
ωil × pl,
ну то есть скалярное произведение
вектора цен p на ωi — скалярное произведение просто выдает.
То есть каждому на бумажку пишет: так, твой набор товаров стоил
столько-то в терминах моих цен, которые я лично объявил.
Что дальше?
Дальше эксперт начинает всем по очереди
продавать те наборы, которые люди выбирают.
Что такое «выбирают»?
Вот я, например, первый человек.
Я беру свое w1 — это моя бумажка денежная, купюра.
На ней написано w1.
Вопрос: какие наборы мне доступны?
Ответ: мне доступны наборы,
которые стоят не более, чем w1 — любые наборы, любые иксы.
То есть каждый i — каждый участник
рынка — выбирает наилучший,
с его точки зрения,
с его точки зрения,
набор xi.
На каком множестве?
На множестве всех таких xi,
что скалярное произведение по данным ценам не превосходит — ну
так как он все равно будет выбирать всю стоимость в силу свойств монотонности,
которую мы накладываем, поэтому можно просто написать, — который стоит wi.
То есть он вот эту вот деньгу, он может потратить по-разному.
Мы полностью децентрализуем этот процесс.
Мы говорим: вот вам цены, вот вам деньги, думайте и выбирайте все, что вы хотите.
Берите эти деньги и покупайте любые наборы, которые вы можете себе позволить.
Выбирайте любой.
То есть, грубо говоря, решается такая задача: отношения
предпочтений максимизируются, ищется самый лучший, с
точки зрения этих отношений предпочтений, набор на вот этом вот множестве.
Геометрически, если у нас два, например,
всего товара — у нас есть ωi, у нас есть цены,
которые определяют все, что доступно данному потребителю,
— вот его карта предпочтений и вот набор, который лучше всех в этом,
внутри этого треугольника — он его и выбирает, вот это будет xi.
Это написано во всех книгах микроэкономики,
поэтому я на этом на останавливаюсь.
Итак, цены объявлены,
товары собраны в одном месте,
бумажки выданы, каждый выбирает, что хочет.
А что дальше?
А дальше вопрос: не произойдет ли так, что кому-то чего-то не хватит?
Я пишу: верно ли,
что сумма вот этих вот наборов —
кто что выбрал — окажется в точности
равной сумме ωi начальных запасов, то есть ω, вектору ω.
То есть верно ли, что в точности уйдет весь сыр,
вся колбаса, вот прямо один в один, все товары в точности уйдут?
Ну, понятно, что если взять произвольные цены, то это неверно.
Поэтому мы дадим следующее ключевое
определение: равновесием
Вальраса, или
конкурентным равновесием,
в модели обмена [БЕЗ
СЛОВ] называется
такой вектор цен
(p1*, ..., pl*),
что четвертое
условие окажется выполненным, тоже выполненным.
Ну как и первые три.
Первые три — как бы мы просто по построению.
То есть такой набор цен,
что если его объявить, то эта процедура осуществима.
Эксперт угадал вот этот вот вектор,
забрал у всех товары и раздал всем бумажки, каждый купил, что хотел.
Вот прямо так.
Первый подходит, покупает и говорит: «Мне, пожалуйста, две бутылки водки,
три банки селедки и четыре куска сыра».
Хорошо. Он ему выдает.
Второй еще что-то берет, третий берет.
Последний подходит к эксперту, а эксперт ему говорит: «Я уже изучил все
предпочтения всех игроков, и я могу точно сказать, чего ты сейчас у меня попросишь.
Ты попросишь два килограмма хлеба и четыре куска сыра», — он говорит.
«Вот это да, так я ровно это и хотел попросить, как вы угадали?» Он говорит:
«Вот я знал ваши предпочтения, я объявил правильные цены».
Вот такая ситуация называется равновесием Вальраса, это и есть то, что собственно,
центральный объект всей экономической теории — конкурентное равновесие.
Набор цен, при котором эта процедура полностью осуществима.
Про существование и свойства этого равновесия следующий сюжет.
