[ЗАСТАВКА] Рассмотрим снова коалиционную игру с характеристической функцией v. Снова предполагаем, что игроки ведут себя кооперативно, формируют большую коалицию. И давайте представим, что игроки получают платежи (φ1, φ2, ..., φn). Мы хотим, чтобы вектор выигрышей обладал следующими четырьмя свойствами: эффективности, симметричности, аксиоме болвана и линейности. Поговорим о каждом из этих свойств чуть подробнее. Мы будем говорить, что вектор выигрышей обладает свойством эффективности, если сумма выигрышей всех игроков равна выигрышу большой коалиции. Симметричными игроками мы будем называть таких игроков i и j, которые, присоединяясь к произвольной коалиции K, принесут дополнительный одинаковый платеж для этой новой коалиции. То есть платежи коалиции K, к которой присоединился i-тый игрок и коалиции K, к которой присоединился j-тый игрок должны быть равны. Тогда будем говорить, что вектор платежей обладает свойством симметричности, если симметричные игроки получают одинаковые платежи. Болваном называется такой игрок, который, присоединяясь к любой коалиции, не приносит вообще ничего. То есть он является в каком-то смысле бесполезным игроком. Тогда будем говорить, что вектор платежей удовлетворяет аксиоме болвана, если выигрыш болвана равен нулю. Наконец, сформулируем свойство линейности. Рассмотрим две различные характеристические функции v и w и найдем по отдельности вектор платежей для каждой из этих двух коалиционных игр. Если выигрыш любого игрока в игре, являющейся суммой этих двух коалиционных игр равен сумме выигрышей в каждой из этих двух игр по отдельности, и это верно для любых характеристических функций v и w, то тогда будем говорить, что этот вектор выигрышей обладает свойством линейности. Оказывается, что существует единственный вектор выигрышей игроков, который обладает этими четырьмя свойствами, а именно свойствами эффективности, симметричности, линейности и аксиоме болвана. И этот вектор получил название вектора Шепли. В рамках этой концепции акцент делается не на стабильности решения, а на справедливости этого решения. Именно так, например, можно трактовать свойство симметричности, когда одинаковые игроки получают одинаковый выигрыш. Или аксиома болвана, когда игрок, который не приносит ни в одну коалицию ничего и не получает в итоге ничего. Оказывается, что вектор Шепли можно вычислить, и он вычисляется следующим образом. Формула представлена на ваших экранах. Не нужно пугаться, сейчас мы разберем каждую компоненту, входящую в вектор Шепли. Итак, дадим интерпретацию этой формулы. Она представляет собой i-тую компоненту вектора Шепли, то есть выигрыш i-того игрока в коалиционной игре. Этот выигрыш построен по характеристической функции коалиционной игры. Давайте сначала рассмотрим пример. Пусть у нас большая коалиция формируется шаг за шагом, игроки в случайном порядке присоединяются друг к другу один за другим. Например, если у нас есть 3 игрока, то большая коалиция может сформироваться шестью способами. Например, сначала может быть первый игрок, к которому присоединяется второй игрок, и уже к ним двоим присоединяется третий игрок. То есть коалиция может сформироваться в таком порядке: сначала первый, потом второй, потом третий присоединяются к этой коалиции. Это один из шести возможных порядков формирования большой коалиции. Вот все порядков приведены на ваших экранах. В общем случае сформировать большую коалицию можно n факториал способами, потому что выбрать игрока, который присоединяется к коалиции первым можно n способами, выбрать игрока, который присоединяется к коалиции вторым можно (n – 1) способом. Им может быть любой, кроме того, кто присоединился к коалиции первым. И так далее. n-того игрока можно выбрать одним-единственным способом — это тот игрок, который остался после того, как все остальные к коалиции уже присоединились. Таким образом, всего существует n * (n – 1) * (n – 2)... * 1 вариантов порядка формирования этой большой коалиции, то есть n факториал различных способов. И вот теперь давайте внимательно посмотрим на формулу для компоненты вектора Шепли. Итак, пусть i-тый игрок присоединяется после того, как собралась некоторая другая коалиция. Найдем вклад игрока i, который он принесет, присоединяясь к этой коалиции. Разность в скобках характеризует выигрыш, который приносит i-тый игрок, приходя в коалицию K без i-того игрока. То есть до прихода i-того игрока была коалиция K без i, она получала, соответственно, выигрыш v(K) без i, Затем приходит i-тый игрок, в результате этого коалиция расширяет, она становится коалицией K. Выигрыш, который получает эта коалиция равен v(K), и разность, то есть платеж, которую добавил i-тый игрок, придя в эту коалицию, равна v(K) – v(K \ {i}). Эта разность фигурирует в правой части в формуле, характеризующей выигрыш i-того игрока в векторе Шепли, и эта разность фигурирует в каждом слагаемом суммы в качестве множителя. Теперь давайте посмотрим на дробь. В этой дроби в числителе фигурирует количество порядков, в которых может сформироваться коалиция, в которую i-тый игрок присоединился ровно k-тым. То есть коалиция K без i содержит (k – 1) игрока, и эти (k – 1) игрок могут выстроиться в очередь ровно (k – 1) факториалом способов. Дальше приходит игрок i, сформировалась коалиция K, и оставшиеся игроки — их (n – k) — тоже могут каким-то образом упорядочиться дальше, и число этих способов (n – k) факториал. Таким образом, всего различных последовательностей игроков, в которых i -тый игрок приходит в коалицию ровно на k-том месте равно (k – 1) факториал умножить на (n – k) факториал. Теперь посмотрим на знаменатель дроби. В знаменателе фигурирует n факториал, и это общее количество способов упорядочить n игроков. Таким образом, здесь происходит усреднение по всем возможным способам формирования большой коалиции. Деля на n факториал, мы усредняем по всем различным порядкам формирования большой коалиции. И после этого суммируем по всем коалициям K, в которые входит i-тый игрок. Полученная сумма и является i-той компонентой вектора Шепли. Она показывает вклад игрока i, усредненный по всем возможным способам формирования большой коалиции. [ЗАСТАВКА]