Итак, теперь модель полностью сформулирована, и мы хотим ее решить. Для анализа этой модели будем использовать концепцию равновесия Нэша. Давайте сначала обсудим несколько примеров. Первый пример. Предположим, что у нас кандидаты А и В занимают позиции 0,2 и 0,8 соответственно. Сколько голосов они наберут? За кого будут голосовать избиратели, которые находятся слева на нашем отрезке? То есть левее точки 1/2. Они будут голосовать за кандидата А, потому что позиция кандидата А в этом случае им будет ближе. У нас избиратель, живущий в точке 1/2, равноудален от кандидатов А и В. Значит, те, кто слева от него находятся, чьи позиции левее медианного, для этих избирателей будет более предпочтителен кандидат А. Для тех избирателей, которые живут правее точки 1/2, для них будет более предпочтительным кандидат В. Значит, каждый из кандидатов А и В получит половину голосов избирателей. Мы будем мерить голоса, которые получают кандидаты, длиной соответствующего отрезочка. Мы увидим, что на самом деле структура множества избирателей, которые голосуют за того или иного кандидата, — это не что иное, как отрезочек. Вот и в нашем случае у нас группа поддержки кандидата А — это отрезочек от 0 до 1/2. А избиратели кандидата В — это избиратели, которые находятся на отрезочке от 1/2 до 1. Значит, А и В набрали одинаковое число голосов, по 1/2, — каждый из них побеждает с вероятностью 1/2. Ну, и будем считать, что стоимость победы на выборах равна единице, и тогда каждый из кандидатов получает платеж, равный 1/2. Является ли эта ситуация равновесием? Нет, эта ситуация равновесием не является. Если кандидат А вместо того, чтобы находиться в точке 0,2, возьмет и подрежет кандидата В, а именно: займет позицию чуть левее кандидата В, — например, позицию 0,79, то тогда уже за кандидата А проголосует большинство избирателей. Он сможет собрать голоса всех тех, кто находится левее его, то есть всех 0,79 избирателей, плюс еще половиночку отрезка между вот этой вот позицией 0,79, в которую он сдвинется, и позицией 0,8, то есть, на самом деле, доля голосов кандидата А в случае, если он отклонится от своей позиции 0,2 и займет позицию 0,79, составит 0,795. Этого достаточно для победы на выборах. Он получает платеж, равный единице. Значит, нашлась стратегия у кандидата А, которая приносит ему больший платеж, чем та, которую он играет в профиле (0,2, 0,8). Значит, этот профиль не является равновесием Нэша. Второй пример. Давайте теперь представим, что кандидат А играет стратегию 0,1. Кандидат В играет стратегию 0,4. Тогда серединка отрезка между А и В — это точка 0,25. Все избиратели, которые находятся левее точки 0,25, проголосуют за кандидата А. Все избиратели, которые находятся правее точки 0,25, проголосуют за кандидата В. В этом случае с вероятностью 1 побеждает кандидат В. Такая ситуация тоже не является равновесием, потому что кандидат А может изменить свою стратегию, сыграть вместо стратегии 0,1 стратегию, например, 0,41. И тогда он сможет заручиться поддержкой более чем половины избирателей. Значит, профиль (0,1, 0,4) — это тоже не равновесие Нэша. Возникает вопрос: а что же является равновесием? Давайте рассмотрим еще один пример. Пусть у нас оба кандидата занимают позицию 1/2, то есть позицию медианного избирателя. В этом случае выборы заканчиваются тем, что каждый из кандидатов получает 1/2 от всех голосов избирателей. Победитель определится в лотерее между ними, то есть каждый из них выиграет с вероятностью 1/2. Ну, и это означает, что каждый из них получает платеж, равный 1/2. Является ли такая ситуация равновесием? Может ли кто-то из кандидатов изменить свою стратегию и тем самым улучшить свой платеж? Нет, не может. Если мы рассмотрим такие отклонения кандидата В, при которых он отклоняется вправо, то есть играет стратегию, большую, чем 1/2, то тогда кандидат А гарантированно победит на выборах. Ведь за него будет голосовать вся левая половина отрезочка, то есть уже 1/2, плюс еще половинка отрезочка от 1/2 до новой позиции кандидата В. Значит, кандидат А получит больше 50 % голосов, и значит, он гарантированно выиграет на этих выборах. Вправо отклоняться кандидату В невыгодно. Аналогично легко проверить, что и влево кандидату В отклоняться тоже невыгодно. Аналогично можно проверить, что и кандидату А отклоняться ни влево, ни вправо невыгодно. Значит, в профиле (1/2, 1/2) каждый из двух игроков играет свою оптимальную стратегию в ответ на стратегию соперника. А значит, в соответствии с определением, это равновесие Нэша. Теперь, мы нашли одно равновесие по Нэшу. Означает ли это, что мы решили игру? Пока еще нет, потому что равновесий, вообще говоря, в модели может быть много. Как может быть много решений у какого-то уравнения. Давайте попытаемся понять, есть ли другие равновесия в нашей модели? Ведь пока мы только разобрали несколько примеров. И из того, что эти примеры не являются равновесными ситуациями, пока еще не следует, что других равновесий в этой модели нету. Давайте рассмотрим самый общий случай. Сначала рассмотрим все такие профили, в которых один из кандидатов набирает меньше голосов, чем другой, то есть гарантированно проигрывает. Вот два таких профиля в общем виде изображены на ваших экранах. Но каждый из них равновесием не является. Ведь в каждой из этих ситуаций тот кандидат, который гарантированно проигрывает, может улучшить свою стратегию. Он может, например, отклониться в точку 1/2, и тогда он гарантированно либо выиграет эти выборы, если другой кандидат занимает точку, отличную от 1/2, либо сыграет вничью, если другой кандидат тоже занимает точку 1/2. Отметим, что, вообще говоря, отклонение, которое увеличивает нашу полезность, может быть не единственным. Можно отклоняться не в точку 1/2, можно отклониться, например, в ту точку, которую занимает победитель выборов. И тогда полезность проигравшего кандидата вдруг увеличится. Она будет равной уже не нулю, а 1/2, потому что они разделят, в случае, если займут одну и ту же позицию со вторым кандидатом, победу. С вероятностью 1/2 каждый из них выиграет, ну, и соответственно, в результате такого отклонения из своей проигрышной точки в точку, в которой находится победитель, этот кандидат сможет увеличить свою полезность с 0 до 1/2. Значит, на самом деле ни один из профилей, в которых один из кандидатов проигрывает, не может быть равновесием. Теперь нужно рассмотреть профили, в которых оба кандидата набирают одинаковое число голосов. И, следовательно, их платеж равен 1/2. Мы уже с вами проанализировали профиль (0,5, 0,5) и сделали вывод, что такой профиль равновесием является. Теперь давайте рассмотрим все остальные профили, в которых оба кандидата набирают одинаковое число голосов. Это могут быть как профили, в которых оба кандидата занимают одну позицию, отличную от (0,5, 0,5), так и профили, в которых кандидаты a и b занимают позиции, симметричные относительно центра, относительно позиции медианного избирателя, относительно точки 0,5. Тогда и кандидат a, и кандидат b наберет ровно 1/2 голосов. Могут ли такие профили быть равновесиями? Ответ — снова нет, потому что и в первой ситуации, когда оба кандидата занимают одинаковую позицию, один из них может увеличить свою полезность, если отклонится, например, в точку 0,5 или просто если хотя бы чуть-чуть подрежет второго кандидата, чуть-чуть сместившись к центру, тогда он сможет набрать еще больше голосов и, тем самым, в результате такого отклонения полезность отклонившегося кандидата будет увеличена. Либо, если мы рассматриваем профиль, в котором оба кандидата занимают позиции, симметричные относительно середины отрезка, каждому из них выгодно отклониться и вместо того, чтобы играть текущую стратегию, сыграть стратегию, например, 0,5, и в результате этого этот кандидат тоже сможет гарантированно выиграть выборы, а не играть вничью. Значит, не существует никакого профиля, отличного от (0,5, 0,5), который бы был равновесием Нэша в этой модели. Мы выяснили, что равновесие только одно — кандидаты должны занимать позицию медианного избирателя. Это объясняет, почему, вообще говоря, на выборах, в которых соперничают два кандидата, каждый из кандидатов стремится сдвинуться к позиции медианного избирателя для того, чтобы заполучить как можно большее число голосов и тем самым как можно больше сделать свою вероятность победы на выборах. Даже если изначально позиции этих двух кандидатов были далеки от позиции медианного избирателя, то под действием Даунсианской силы эти кандидаты будут делать какие-то заявления, ну, скажем, заявления во время предвыборных теледебатов или заявления в рамках своих официальных программ, в которых эта позиция будет смещаться в сторону позиции медианного избирателя. Именно поэтому, например, партиям или кандидатам важно знать, где этот медианный избиратель находится, именно поэтому важно знать социологию, важно понимать, как распределены избиратели по отношению к главному вопросу на выборах. Как только мы знаем, где находится медианный избиратель, мы можем сформулировать свою позицию по отношению к этому вопросу так, чтобы эта позиция была как можно ближе к позиции медианного избирателя. Именно вот этот вот результат объясняет, почему, например, в ситуациях, когда у нас конкурируют две партии, когда у нас, например, вообще действует двухпартийная система, кандидаты на выборах занимают очень похожие позиции, которые очень сложно различить, именно потому что каждый из кандидатов стремится занять позицию, как можно более близкую к позиции медианного избирателя. Такое происходит либо на выборах в двухпартийной системе, либо, ну, на выборах во втором туре, когда у нас остается ровно два кандидата.
