Теперь давайте немножко сменим пластинку. Поговорим о футболе. В футболе в случае, если в штрафной площади происходит нарушение правил, назначается пенальти. Это штрафной удар, который пробивается с расстояния 11 метров в ворота, защищаемые только вратарем. Давайте представим, что футболист, который бьет пенальти, и вратарь играют в одновременную игру. В этой игре нападающий выбирает, в какую сторону нанести удар — вправо или влево, и вратарь выбирает, в какую сторону прыгнуть — вправо или влево. Как правило, вратарям приходится гадать, в какую сторону будет нанесен удар, поскольку время на принятие решения после нанесения удара очень маленькое, и вратарь среагировать на удар успевает очень редко. Игнасио Паласиос Уэрта собрал данные по примерно полутора тысячам пенальти за период с 1995 по 2000 годы и попытался собрать статистику о том, как игроки принимают решение о том, в какую сторону прыгать или, наоборот, наносить удар. Большая часть этих данных была собрана просмотром матчей национальных футбольных лиг ведущих европейских чемпионатов. Статистика показала, что футболисты били в центр только в 6 % случаев, а вратарь оставался в центре только в 1 % случаев. Поэтому, на самом деле, можно рассматривать эту игру как игру, в которой у каждого из игроков есть только две стратегии: бить вправо и бить влево, прыгать вправо и прыгать влево. Будем считать, что платеж, который получает футболист, пробивающий пенальти, — это вероятность забить гол. А платеж вратаря — это вероятность того, что гол не будет забит. Тогда матрица платежей, опять же по статистике, выглядит следующим образом. Например, если футболист ударил направо, и вратарь прыгнул в ту же сторону, — здесь давайте поясним: мы под прыжком вратаря направо подразумеваем прыжок в ту сторону, которая является правой для футболиста, то есть, мы зафиксировали, что такое направо, и это одна и та же сторона для нападающего и для вратаря, просто для определенности терминологии, — так вот, если футболист пробил направо и вратарь прыгнул в ту же самую сторону, то есть угадал направление мяча, то пенальти забивается примерно в 70 % случаев, а отбивается в 30 %. Если футболист пробил направо, а вратарь прыгнул налево, то есть он не угадал направление удара, то тогда пенальти забивается примерно в 93 % случаев. Вратарь помешать уже не может, но есть вероятность того, что мяч попадет в штангу или вообще пойдет мимо ворот. Если нападающий пробил налево, а вратарь прыгнул направо, то тогда пенальти забивается в 95 % случаев. И, наконец, если нападающий ударил в левую сторону, и вратарь прыгнул туда же, то пенальти забивается в 58 % случаев. Давайте найдем равновесие Нэша в смешанных стратегиях в этой игре. Предположим, что нападающий с вероятностью q бьет вправо, а с вероятностью 1-q — бьет влево. Вратарь с вероятностью p прыгает вправо, а с вероятностью 1-p — прыгает влево. В равновесии обе чистые стратегии, с которыми бьет футболист, должны приносить ему одинаковый ожидаемый платеж. Тогда вычисляем, какой ожидаемый платеж приносит стратегия «бить вправо», вычисляем, какой ожидаемый платеж приносит стратегия «бить влево», приравниваем эти ожидаемые платежи, и отсюда мы найдем то значение p, при котором нападающему имеет смысл смешивать свои стратегии. То же самое верно и для вратаря. Вратарю имеет смысл смешивать свои стратегии только в том случае, если каждая из двух чистых стратегий — «прыгать направо» или «прыгать налево», приносит одинаковый ожидаемый платеж. Вычисляем эти ожидаемые платежи и приравниваем их. Получается два уравнения, из которых находим, что значение p и значение q в равновесии равны 7/12 и 37/60 соответственно. Вот при таких смесях, при таких значениях вероятностей, с которыми нападающий смешивает стратегии «бить направо», «бить налево», и вратарь смешивает стратегии «прыгать направо», «прыгать налево», у нас будет равновесие. То есть ни одному из игроков не будет выгодно отклониться при фиксированной стратегии другого игрока. А что же происходит на практике? Что показывает статистика? Снова в той же самой работе Игнасио Паласиоса Уэрты приведены статистические данные по тому, как в реальности били и прыгали вратари и нападающие. Мы можем видеть, что равновесие в смешанных стратегиях очень похоже на те результаты, которые мы видим на практике. Согласно нашей теории, вероятности, с которыми игроки смешивают свои стратегии, должны равняться 58 % и 61 % соответственно. На практике получается, что эти вероятности равны 58 % и 60 % соответственно. Результаты очень похожи. Это означает, что в жизни игроки действительно играют равновесные стратегии. Почему в жизни игроки действительно играют равновесные стратегии? Дело в том, что если бы какой-то нападающий все время бил в одну сторону, то тогда вратарь легко бы научился предсказывать, в какую сторону этот нападающий будет бить. И тогда вратарь прыгал бы в ту же самую сторону. Значит, такое поведение нападающего было бы неоптимальным. Это крайний случай, но тем не менее, если какой-то нападающий будет, действительно, слишком часто предпочитать одну сторону, то вратарю станет про это известно. Недаром в каждом футбольном клубе сейчас есть статистические службы, которые помогают принимать решения о том, куда прыгать вратарю во время пенальти. Многие из вас наверняка помнят эпизоды с футбольных трансляций, в том числе самого высокого уровня, когда вратари доставали во время пробития серии одиннадцатиметровых из гетр записочки с бумажками, в которых, фактически, и были зафиксированы вот эти вот отклонения каждого из нападающих команды соперника от равновесной стратегии. То есть было проанализировано, куда чаще отклоняется тот или иной игрок. И, соответственно, у вратаря была возможность сыграть оптимальный ответ на ту стратегию, которую играет игрок. Иногда именно это и помогало добиться победы в серии одиннадцатиметровых ударов. У нас остается еще один важный вопрос: а действительно ли пенальти являются одновременной игрой? Действительно ли футболист, который бьет одиннадцатиметровый удар, и вратарь принимают решение одновременно? Но, может быть, все-таки у вратаря есть возможность проследить, куда будет нанесен удар, и отбить его? В работе Chiappori, Levitt и Groseclose показано, что вратарь прыгает в ту же самую сторону, в которую футболист пробивает пенальти, на примерно 3 % чаще, чем предсказывается теорией. Это как раз и может являться следствием того, что в некоторых случаях вратари способны реагировать на направление полета мяча и прыгать в правильный угол. Однако с уверенностью принять одну из этих двух гипотез о том, что пенальти являются одновременной игрой или, наоборот, ей не являются, мы пока не можем.