В течение жизни мы постоянно взаимодействуем с другими людьми. Маленькие дети, пытаясь добиться того, чтобы родители купили понравившуюся конфетку, часто шантажируют родителей своими слезами. Принимая решение заплакать, ребенок рискует — он не знает, как поведут себя папа с мамой. В чуть более взрослом возрасте абитуриенты, выбирающие вуз, принимают сложное решение о том, в какие университеты подать документы. Ошибка может стоить дорого: при неправильной стратегии можно оказаться в слабом университете или вообще остаться без заветного студенческого билета. Окончив вуз, юноши и девушки начинают искать работу. Перед интервью с работодателем они штудируют статьи в интернете о том, что можно и чего нельзя говорить на интервью, — они пытаются найти наилучшую стратегию своего поведения, исходя из ожиданий компании, в которую они устраиваются. Все эти ситуации объединяет то, что решения, которые принимают одни люди, оказывают влияние на других людей. Такие взаимодействия называются стратегическими. Именно их изучает теория игр. Чтобы проанализировать ту или иную реальную жизненную ситуацию стратегического взаимодействия и найти оптимальный вариант поведения в ней, необходимо сделать две вещи. Во-первых, необходимо формально записать ситуацию на языке теории игр, то есть создать модель (игру). Во-вторых, после того как модель (игра) составлена, ее необходимо решить. Этому мы будем учиться в течение курса. Мы разберем основные виды игр (одновременные и последовательные, с совершенной и несовершенной информацией, коалиционные и некоалиционные), приведем способы их решения и обсудим их на многочисленных примерах. Курс будет интересен желающим разобраться в том, как конкурируют друг с другом несколько компаний и можно ли гарантированно выиграть в шашки, есть ли смысл угрожать на переговорах и с кем стоит объединяться в коалиции в парламенте. FAQ В: Требуется ли предварительная подготовка для прохождения курса? О: Курс является базовым, поэтому он не требует специальной подготовки. Для его успешного освоения достаточно уверенных знаний курса математики в объеме школьной программы. В одном-двух примерах могут пригодиться знания начал математического анализа (дифференцирование функций одной переменной, необходимое условие экстремума) и знания начал теории вероятностей (понятие математического ожидания случайной величины). В: Что требуется для успешного окончания курса? О: Итоговая оценка за курс складывается из результатов 10 оцениваемых тестов. Для успешного окончания курса необходимо дать не менее 80 % правильных ответов на каждый из этих тестов.
Пример: пенальти
Loading...
Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics
Теория игр (Game Theory)
589 оценки
Из урока
Смешанные стратегии
Добро пожаловать на восьмую неделю курса! На восьмой неделе мы изучим смешанные стратегии, попробуем найти равновесия Нэша в смешанных стратегиях и узнаем о том, что в процессе поиска равновесий можно исключать стратегии, доминируемые смесью нескольких других стратегий. После просмотра видеолекций приглашаем вас выполнить очередной еженедельный тест. Удачи и успехов в обучении!
Познакомьтесь с преподавателями
Dmitry DagaevAssociate Professor, Deputy Vice Rector
Department of Higher Mathematics
Теперь давайте немножко сменим пластинку.
Поговорим о футболе.
В футболе в случае, если в штрафной площади происходит нарушение правил,
назначается пенальти.
Это штрафной удар, который пробивается с расстояния 11 метров в ворота,
защищаемые только вратарем.
Давайте представим, что футболист,
который бьет пенальти, и вратарь играют в одновременную игру.
В этой игре нападающий выбирает, в какую сторону нанести удар — вправо или влево,
и вратарь выбирает, в какую сторону прыгнуть — вправо или влево.
Как правило, вратарям приходится гадать, в какую сторону будет нанесен удар,
поскольку время на принятие решения после нанесения удара очень маленькое,
и вратарь среагировать на удар успевает очень редко.
Игнасио Паласиос Уэрта собрал данные по примерно
полутора тысячам пенальти за период с 1995
по 2000 годы и попытался собрать статистику о том,
как игроки принимают решение о том,
в какую сторону прыгать или, наоборот, наносить удар.
Большая часть этих данных была собрана просмотром матчей
национальных футбольных лиг ведущих европейских чемпионатов.
Статистика показала, что футболисты били в центр только в 6 % случаев,
а вратарь оставался в центре только в 1 % случаев.
Поэтому, на самом деле, можно рассматривать эту игру как игру,
в которой у каждого из игроков есть только две стратегии: бить вправо и бить влево,
прыгать вправо и прыгать влево.
Будем считать, что платеж, который получает футболист,
пробивающий пенальти, — это вероятность забить гол.
А платеж вратаря — это вероятность того, что гол не будет забит.
Тогда матрица платежей, опять же по статистике, выглядит следующим образом.
Например, если футболист ударил направо,
и вратарь прыгнул в ту же сторону, —
здесь давайте поясним: мы под прыжком вратаря направо
подразумеваем прыжок в ту сторону, которая является правой для футболиста,
то есть, мы зафиксировали, что такое направо,
и это одна и та же сторона для нападающего и для вратаря,
просто для определенности терминологии, —
так вот, если футболист пробил направо
и вратарь прыгнул в ту же самую сторону, то есть угадал направление мяча,
то пенальти забивается примерно в 70 % случаев, а отбивается в 30 %.
Если футболист пробил направо, а вратарь прыгнул налево,
то есть он не угадал направление удара,
то тогда пенальти забивается примерно в 93 % случаев.
Вратарь помешать уже не может, но есть вероятность того,
что мяч попадет в штангу или вообще пойдет мимо ворот.
Если нападающий пробил налево,
а вратарь прыгнул направо, то тогда пенальти забивается в 95 % случаев.
И, наконец, если нападающий ударил в левую сторону,
и вратарь прыгнул туда же, то пенальти забивается в 58 % случаев.
Давайте найдем равновесие Нэша в смешанных стратегиях в этой игре.
Предположим, что нападающий с вероятностью q бьет вправо,
а с вероятностью 1-q — бьет влево.
Вратарь с вероятностью p прыгает вправо, а с вероятностью 1-p — прыгает влево.
В равновесии обе чистые стратегии, с которыми бьет
футболист, должны приносить ему одинаковый ожидаемый платеж.
Тогда вычисляем, какой ожидаемый платеж приносит стратегия «бить вправо»,
вычисляем, какой ожидаемый платеж приносит стратегия «бить влево»,
приравниваем эти ожидаемые платежи,
и отсюда мы найдем то значение p,
при котором нападающему имеет смысл смешивать свои стратегии.
То же самое верно и для вратаря.
Вратарю имеет смысл смешивать свои стратегии только в том случае,
если каждая из двух чистых стратегий — «прыгать направо» или «прыгать налево»,
приносит одинаковый ожидаемый платеж.
Вычисляем эти ожидаемые платежи и приравниваем их.
Получается два уравнения, из которых находим,
что значение p и значение q
в равновесии равны 7/12 и 37/60 соответственно.
Вот при таких смесях,
при таких значениях вероятностей,
с которыми нападающий смешивает стратегии «бить направо», «бить налево»,
и вратарь смешивает стратегии «прыгать направо», «прыгать налево», у нас будет равновесие.
То есть ни одному из игроков не будет выгодно отклониться при фиксированной
стратегии другого игрока.
А что же происходит на практике?
Что показывает статистика?
Снова в той же самой работе Игнасио Паласиоса Уэрты
приведены статистические данные по тому,
как в реальности били и прыгали вратари и нападающие.
Мы можем видеть, что равновесие в смешанных
стратегиях очень похоже на те результаты,
которые мы видим на практике.
Согласно нашей теории, вероятности, с которыми игроки смешивают свои стратегии,
должны равняться 58 % и 61 % соответственно.
На практике получается,
что эти вероятности равны 58 % и 60 % соответственно.
Результаты очень похожи.
Это означает,
что в жизни игроки действительно играют равновесные стратегии.
Почему в жизни игроки действительно играют равновесные стратегии?
Дело в том, что если бы какой-то нападающий все время бил
в одну сторону, то тогда вратарь легко бы научился предсказывать,
в какую сторону этот нападающий будет бить.
И тогда вратарь прыгал бы в ту же самую сторону.
Значит, такое поведение нападающего было бы неоптимальным.
Это крайний случай, но тем не менее, если какой-то нападающий будет, действительно,
слишком часто предпочитать одну сторону, то вратарю станет про это известно.
Недаром в каждом футбольном клубе сейчас есть статистические службы,
которые помогают принимать решения о том, куда прыгать вратарю во время пенальти.
Многие из вас наверняка помнят эпизоды с футбольных трансляций,
в том числе самого высокого уровня, когда вратари доставали во время пробития
серии одиннадцатиметровых из гетр записочки с бумажками, в которых,
фактически, и были зафиксированы вот эти вот отклонения каждого
из нападающих команды соперника от равновесной стратегии.
То есть было проанализировано, куда чаще отклоняется тот или иной игрок.
И, соответственно, у вратаря была возможность сыграть оптимальный
ответ на ту стратегию, которую играет игрок.
Иногда именно это и помогало добиться победы в серии одиннадцатиметровых ударов.
У нас остается еще один важный вопрос: а действительно ли пенальти
являются одновременной игрой?
Действительно ли футболист, который бьет одиннадцатиметровый удар,
и вратарь принимают решение одновременно?
Но, может быть, все-таки у вратаря есть возможность проследить,
куда будет нанесен удар, и отбить его?
В работе Chiappori, Levitt и Groseclose показано,
что вратарь прыгает в ту же самую сторону, в которую футболист пробивает пенальти,
на примерно 3 % чаще, чем предсказывается теорией.
Это как раз и может являться следствием того,
что в некоторых случаях вратари способны реагировать на направление
полета мяча и прыгать в правильный угол.
Однако с уверенностью принять одну из этих двух гипотез о том, что пенальти являются
одновременной игрой или, наоборот, ей не являются, мы пока не можем.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
