В течение жизни мы постоянно взаимодействуем с другими людьми. Маленькие дети, пытаясь добиться того, чтобы родители купили понравившуюся конфетку, часто шантажируют родителей своими слезами. Принимая решение заплакать, ребенок рискует — он не знает, как поведут себя папа с мамой. В чуть более взрослом возрасте абитуриенты, выбирающие вуз, принимают сложное решение о том, в какие университеты подать документы. Ошибка может стоить дорого: при неправильной стратегии можно оказаться в слабом университете или вообще остаться без заветного студенческого билета. Окончив вуз, юноши и девушки начинают искать работу. Перед интервью с работодателем они штудируют статьи в интернете о том, что можно и чего нельзя говорить на интервью, — они пытаются найти наилучшую стратегию своего поведения, исходя из ожиданий компании, в которую они устраиваются. Все эти ситуации объединяет то, что решения, которые принимают одни люди, оказывают влияние на других людей. Такие взаимодействия называются стратегическими. Именно их изучает теория игр. Чтобы проанализировать ту или иную реальную жизненную ситуацию стратегического взаимодействия и найти оптимальный вариант поведения в ней, необходимо сделать две вещи. Во-первых, необходимо формально записать ситуацию на языке теории игр, то есть создать модель (игру). Во-вторых, после того как модель (игра) составлена, ее необходимо решить. Этому мы будем учиться в течение курса. Мы разберем основные виды игр (одновременные и последовательные, с совершенной и несовершенной информацией, коалиционные и некоалиционные), приведем способы их решения и обсудим их на многочисленных примерах. Курс будет интересен желающим разобраться в том, как конкурируют друг с другом несколько компаний и можно ли гарантированно выиграть в шашки, есть ли смысл угрожать на переговорах и с кем стоит объединяться в коалиции в парламенте. FAQ В: Требуется ли предварительная подготовка для прохождения курса? О: Курс является базовым, поэтому он не требует специальной подготовки. Для его успешного освоения достаточно уверенных знаний курса математики в объеме школьной программы. В одном-двух примерах могут пригодиться знания начал математического анализа (дифференцирование функций одной переменной, необходимое условие экстремума) и знания начал теории вероятностей (понятие математического ожидания случайной величины). В: Что требуется для успешного окончания курса? О: Итоговая оценка за курс складывается из результатов 10 оцениваемых тестов. Для успешного окончания курса необходимо дать не менее 80 % правильных ответов на каждый из этих тестов.
Ожидаемые платежи
Loading...
Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics
Теория игр (Game Theory)
633 оценки
Из урока
Смешанные стратегии
Добро пожаловать на восьмую неделю курса! На восьмой неделе мы изучим смешанные стратегии, попробуем найти равновесия Нэша в смешанных стратегиях и узнаем о том, что в процессе поиска равновесий можно исключать стратегии, доминируемые смесью нескольких других стратегий. После просмотра видеолекций приглашаем вас выполнить очередной еженедельный тест. Удачи и успехов в обучении!
Познакомьтесь с преподавателями
Dmitry DagaevAssociate Professor, Deputy Vice Rector
Department of Higher Mathematics
Давайте теперь вернемся к нашему примеру с «Орлянкой».
Петя в этой игре играет смешанную стратегию
1/2 «Орла» +1/2 «Решки».
А Вася — смешанную стратегию 2/3 «Орла» + 1/3 «Решки».
Давайте представим, что в общем случае Вася играет некоторую смешанную стратегию:
с вероятностью α он играет стратегию «Орел» и с вероятностью 1-α — «Решку».
А Петя с вероятностью β играет стратегию «Орел» и с вероятностью 1-β — «Решку».
Давайте определим платежи, которые получают ребята в общем случае.
Для того чтобы посчитать такой платеж, который получит Вася, мы считаем,
с какой вероятностью игра закончится в любом
из четырех состояний, и затем умножаем
эти вероятности на соответствующие платежи, которые получает Вася.
После этого складываем полученные результаты
и получаем ожидаемый платеж Васи.
Так, с вероятностью α умножить на β игра закончится в профиле (Орел, Орел),
поэтому этот вклад этого профиля в эту
общую сумму математического ожидания платежа Васи
будет αβ умножить на платеж, который получает Вася в профиле (Орел, Орел).
С вероятностью 1-α умножить на β Вася получает платеж,
который он получает в профиле (Решка, Орел).
С вероятностью α умножить на 1-β Вася получает платеж,
который он получает в профиле (Орел, Решка).
И, наконец, с вероятностью 1-α умножить на 1-β Вася получает платеж,
который он получил бы, если бы оба сыграли чистую стратегию «Решка».
Мы знаем платежи, которые получает Вася в каждом из этих четырех профилей,
составленных из чистых стратегий,
поэтому можем подставить эти платежи и посчитать ожидаемый платеж Васи.
Точно так же мы можем посчитать и ожидаемый платеж Пети.
Напомню, что раньше мы посчитали эти ожидаемые платежи для одного конкретного
профиля и вычислили, что и Петя, и Вася получают ожидаемый платеж,
равный нулю, если Вася играет стратегию 2/3 «Орла» + 1/3 «Решки»,
а Петя играет стратегию 1/2 «Орла» + 1/2 «Решки».
Теперь, собственно, к теории игр.
Давайте зададимся вопросом: а правильно ли
играет Вася в ответ на такую стратегию Пети?
Может ли он отклониться и сыграть какую-то другую смешанную стратегию так,
чтобы постараться увеличить свой платеж?
Зафиксировали стратегию Пети.
Петя играет стратегию 1/2 «Орла» + 1/2 «Решки».
И пытаемся найти такую стратегию Васи, которая принесла бы ему больший платеж,
чем он получает сейчас, то есть платеж больше нуля.
Получится ли у нас это сделать?
Давайте сначала представим, что Вася решил сыграть какую-то другую стратегию, ну,
например, с вероятностью 2/3 он напишет «Решку», а с вероятностью 1/3 — «Орел».
Петя по-прежнему играет ту же самую стратегию.
Тогда точно так же, как и раньше, считаем,
с какой вероятностью игра закончится в том или ином профиле стратегий,
считаем вероятности, с которыми ребята напишут одинаковые слова, вероятности,
с которыми ребята напишут разные слова, и теперь считаем ожидаемый платеж,
который получает Вася в этом новом профиле стратегий.
Этот ожидаемый платеж снова оказывается равен нулю,
потому что теперь с вероятностью 1/2 мальчики напишут одинаковые слова,
с вероятностью 1/2 — снова напишут разные слова, ну,
и в этом случае ожидаемый платеж Васи равен нулю.
Случайность ли это?
Нет. На самом деле, если Петя играет стратегию
1/2 «Орла» + 1/2 «Решки», то любая смешанная
стратегия Васи будет приносить ему одинаковый ожидаемый платеж, равный нулю.
Это происходит из-за того, что обе чистые стратегии Васи
приносят ему одинаковый ожидаемый выигрыш в ответ на стратегию Пети,
в которой он с вероятностью 1/2 играет чистую стратегию «Орел» и
с вероятностью 1/2 играет чистую стратегию «Решка».
Дело в том, что мы можем посчитать,
какой ожидаемый платеж Васи приносит чистая стратегия «Орел»
в ответ на эту стратегию Пети. С вероятностью 1/2
Вася получает единицу, с вероятностью 1/2 Вася получает -1,
поэтому ожидаемый платеж Васи равен нулю.
Точно так же считаем ожидаемый платеж Васи, если он сыграет чистую стратегию «Решка»
против Петиной стратегии 1/2 «Орла» + 1/2 «Решки».
Точно так же этот ожидаемый платеж равен нулю, потому что снова с вероятностью 1/2
Вася выиграет, а с вероятностью 1/2 — проиграет.
И теперь, с какими бы весами Вася ни смешал эти две
свои стратегии: стратегию «Орел» и стратегию «Решка»,
поскольку каждая из этих стратегий приносит Васе ожидаемый платеж,
равный нулю, то и любая смесь этих двух стратегий
будет приносить тоже ожидаемый платеж, равный нулю.
Теперь давайте зафиксируем смешанную стратегию Васи.
Вася играет стратегию 1/3 «Орла» + 2/3 «Решки».
Давайте представим себя на месте Пети.
Может ли Петя улучшить свою стратегию?
Может ли он отклониться от стратегии, в которой он смешивал с равными весами
чистую стратегию «Орел» и чистую стратегию «Решка»,
отклониться таким образом, чтобы увеличить свой ожидаемый платеж?
А вот Петя отклониться с выгодой для себя может.
Например, если Петя сыграет чистую стратегию «Орел»,
то его ожидаемый платеж будет больше нуля.
Действительно, с вероятностью 1/3 будет сыгран профиль (Орел, Орел) —
Петя проиграет один рубль,
с вероятностью 2/3 будет сыгран профиль (Решка, Орел) —
Петя выиграет один рубль, и тогда ожидаемый платеж
Пети равен 1/3, больше нуля.
Значит, у Пети есть стратегия, которая позволит
ему получить больше, чем стратегия, в которой
он смешивал чистую стратегию «Орел» и чистую стратегию «Решка» с равными весами.
Все дело в том, что Пете невыгодно смешивать
с положительными весами обе свои чистые стратегии.
Они приносят разный ожидаемый платеж.
Стратегия «Орел» приносит Пете больше,
чем стратегия «Решка» в ответ на стратегию Васи, в которой Вася
с вероятностью 1/3 играет стратегию «Орел», а с вероятностью 2/3 играет «Решку».
Это важное наблюдение.
Игроку имеет смысл смешивать свои чистые
стратегии с ненулевыми весами только, возможно, в том случае,
если каждая из этих чистых стратегий, которые входят в смесь,
приносит одинаковый и максимальный ожидаемый
платеж в ответ на зафиксированные стратегии остальных игроков.
Если есть какая-то одна стратегия,
которая приносит большой ожидаемый платеж, и другая стратегия,
которая приносит маленький ожидаемый платеж в ответ на зафиксированный
набор стратегий всех остальных игроков, то игроку не имеет
никакого смысла смешивать свою хорошую стратегию и плохую стратегию,
потому что уж лучше с вероятностью 1 сыграть ту чистую стратегию,
которая приносит максимальный ожидаемый платеж.
Таким образом, смешивать стратегии имеет смысл только в том случае,
если каждая из чистых стратегий, входящих в смесь, приносит
одинаковый ожидаемый платеж.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
