Давайте теперь вернемся к нашему примеру с «Орлянкой». Петя в этой игре играет смешанную стратегию 1/2 «Орла» +1/2 «Решки». А Вася — смешанную стратегию 2/3 «Орла» + 1/3 «Решки». Давайте представим, что в общем случае Вася играет некоторую смешанную стратегию: с вероятностью α он играет стратегию «Орел» и с вероятностью 1-α — «Решку». А Петя с вероятностью β играет стратегию «Орел» и с вероятностью 1-β — «Решку». Давайте определим платежи, которые получают ребята в общем случае. Для того чтобы посчитать такой платеж, который получит Вася, мы считаем, с какой вероятностью игра закончится в любом из четырех состояний, и затем умножаем эти вероятности на соответствующие платежи, которые получает Вася. После этого складываем полученные результаты и получаем ожидаемый платеж Васи. Так, с вероятностью α умножить на β игра закончится в профиле (Орел, Орел), поэтому этот вклад этого профиля в эту общую сумму математического ожидания платежа Васи будет αβ умножить на платеж, который получает Вася в профиле (Орел, Орел). С вероятностью 1-α умножить на β Вася получает платеж, который он получает в профиле (Решка, Орел). С вероятностью α умножить на 1-β Вася получает платеж, который он получает в профиле (Орел, Решка). И, наконец, с вероятностью 1-α умножить на 1-β Вася получает платеж, который он получил бы, если бы оба сыграли чистую стратегию «Решка». Мы знаем платежи, которые получает Вася в каждом из этих четырех профилей, составленных из чистых стратегий, поэтому можем подставить эти платежи и посчитать ожидаемый платеж Васи. Точно так же мы можем посчитать и ожидаемый платеж Пети. Напомню, что раньше мы посчитали эти ожидаемые платежи для одного конкретного профиля и вычислили, что и Петя, и Вася получают ожидаемый платеж, равный нулю, если Вася играет стратегию 2/3 «Орла» + 1/3 «Решки», а Петя играет стратегию 1/2 «Орла» + 1/2 «Решки». Теперь, собственно, к теории игр. Давайте зададимся вопросом: а правильно ли играет Вася в ответ на такую стратегию Пети? Может ли он отклониться и сыграть какую-то другую смешанную стратегию так, чтобы постараться увеличить свой платеж? Зафиксировали стратегию Пети. Петя играет стратегию 1/2 «Орла» + 1/2 «Решки». И пытаемся найти такую стратегию Васи, которая принесла бы ему больший платеж, чем он получает сейчас, то есть платеж больше нуля. Получится ли у нас это сделать? Давайте сначала представим, что Вася решил сыграть какую-то другую стратегию, ну, например, с вероятностью 2/3 он напишет «Решку», а с вероятностью 1/3 — «Орел». Петя по-прежнему играет ту же самую стратегию. Тогда точно так же, как и раньше, считаем, с какой вероятностью игра закончится в том или ином профиле стратегий, считаем вероятности, с которыми ребята напишут одинаковые слова, вероятности, с которыми ребята напишут разные слова, и теперь считаем ожидаемый платеж, который получает Вася в этом новом профиле стратегий. Этот ожидаемый платеж снова оказывается равен нулю, потому что теперь с вероятностью 1/2 мальчики напишут одинаковые слова, с вероятностью 1/2 — снова напишут разные слова, ну, и в этом случае ожидаемый платеж Васи равен нулю. Случайность ли это? Нет. На самом деле, если Петя играет стратегию 1/2 «Орла» + 1/2 «Решки», то любая смешанная стратегия Васи будет приносить ему одинаковый ожидаемый платеж, равный нулю. Это происходит из-за того, что обе чистые стратегии Васи приносят ему одинаковый ожидаемый выигрыш в ответ на стратегию Пети, в которой он с вероятностью 1/2 играет чистую стратегию «Орел» и с вероятностью 1/2 играет чистую стратегию «Решка». Дело в том, что мы можем посчитать, какой ожидаемый платеж Васи приносит чистая стратегия «Орел» в ответ на эту стратегию Пети. С вероятностью 1/2 Вася получает единицу, с вероятностью 1/2 Вася получает -1, поэтому ожидаемый платеж Васи равен нулю. Точно так же считаем ожидаемый платеж Васи, если он сыграет чистую стратегию «Решка» против Петиной стратегии 1/2 «Орла» + 1/2 «Решки». Точно так же этот ожидаемый платеж равен нулю, потому что снова с вероятностью 1/2 Вася выиграет, а с вероятностью 1/2 — проиграет. И теперь, с какими бы весами Вася ни смешал эти две свои стратегии: стратегию «Орел» и стратегию «Решка», поскольку каждая из этих стратегий приносит Васе ожидаемый платеж, равный нулю, то и любая смесь этих двух стратегий будет приносить тоже ожидаемый платеж, равный нулю. Теперь давайте зафиксируем смешанную стратегию Васи. Вася играет стратегию 1/3 «Орла» + 2/3 «Решки». Давайте представим себя на месте Пети. Может ли Петя улучшить свою стратегию? Может ли он отклониться от стратегии, в которой он смешивал с равными весами чистую стратегию «Орел» и чистую стратегию «Решка», отклониться таким образом, чтобы увеличить свой ожидаемый платеж? А вот Петя отклониться с выгодой для себя может. Например, если Петя сыграет чистую стратегию «Орел», то его ожидаемый платеж будет больше нуля. Действительно, с вероятностью 1/3 будет сыгран профиль (Орел, Орел) — Петя проиграет один рубль, с вероятностью 2/3 будет сыгран профиль (Решка, Орел) — Петя выиграет один рубль, и тогда ожидаемый платеж Пети равен 1/3, больше нуля. Значит, у Пети есть стратегия, которая позволит ему получить больше, чем стратегия, в которой он смешивал чистую стратегию «Орел» и чистую стратегию «Решка» с равными весами. Все дело в том, что Пете невыгодно смешивать с положительными весами обе свои чистые стратегии. Они приносят разный ожидаемый платеж. Стратегия «Орел» приносит Пете больше, чем стратегия «Решка» в ответ на стратегию Васи, в которой Вася с вероятностью 1/3 играет стратегию «Орел», а с вероятностью 2/3 играет «Решку». Это важное наблюдение. Игроку имеет смысл смешивать свои чистые стратегии с ненулевыми весами только, возможно, в том случае, если каждая из этих чистых стратегий, которые входят в смесь, приносит одинаковый и максимальный ожидаемый платеж в ответ на зафиксированные стратегии остальных игроков. Если есть какая-то одна стратегия, которая приносит большой ожидаемый платеж, и другая стратегия, которая приносит маленький ожидаемый платеж в ответ на зафиксированный набор стратегий всех остальных игроков, то игроку не имеет никакого смысла смешивать свою хорошую стратегию и плохую стратегию, потому что уж лучше с вероятностью 1 сыграть ту чистую стратегию, которая приносит максимальный ожидаемый платеж. Таким образом, смешивать стратегии имеет смысл только в том случае, если каждая из чистых стратегий, входящих в смесь, приносит одинаковый ожидаемый платеж.