Мы рассмотрели достаточно подробно несколько примеров стратегического взаимодействия. Теперь давайте научимся формально описывать эти стратегические взаимодействия на языке теории игр. Сначала, начнем с игр в нормальной форме. Для того чтобы задать игру в нормальной форме, нужно сделать три вещи. Нужно, во-первых, указать множество всех игроков в этой игре. Во-вторых, указать множество возможных стратегий каждого игрока. И, в-третьих, указать платеж, который получает каждый игрок. Итак, мы задаем множество игроков. Будем обозначать это множество I. И оно состоит из имен этих игроков. Для простоты будем обозначать их один, два, три и так далее… n. Будем считать, что игроков по крайней мере двое. Иначе нет никакого взаимодействия между несколькими игроками. Теперь, у каждого игрока есть множество его возможных стратегий. Будем обозначать через S большое с индексом i множество возможных стратегий игрока номер i. После того как каждый игрок посмотрел на множество своих возможных стратегий, он должен сделать выбор: какую из этих своих стратегий сыграть. Он вытаскивает из этого мешка со множеством всех своих возможных стратегий одну единственную стратегию. Будем обозначать ее s с индексом i маленькая. После того как каждый игрок выбрал, какую стратегию он сыграет, формируется набор этих стратегий. Его мы будем называть профилем стратегий. (s1, …, sn) — это профиль стратегий игроков. Теперь, когда зафиксирован профиль стратегий, мы должны определить платежи, которые получат игроки, если будет сыгран этот профиль стратегий. Таким образом, у каждого из игроков должна быть задана функция платежей. Обозначим ее через u с индексом i. Она определена на множестве всех возможных профилей стратегий. Что бы ни сыграли игроки, мы должны знать, сколько получит каждый из игроков в этом случае. Давайте рассмотрим в качестве примера одну из самых известных в теории игр игр, которая называется «Битва полов». Муж и жена одновременно и независимо друг от друга решают, где им провести выходной день. Муж больше хочет на футбол, а жена предпочитает балет. При этом они хотят провести этот вечер вместе. Они принимают это решение независимо: у них нет возможности обменяться информацией. Мобильных телефонов еще нет. Множество игроков в этой игре — это муж и жена. У каждого из игроков есть две возможные стратегии. У мужа есть стратегия «пойти на футбол» и стратегия «пойти на балет». У жены есть стратегия «пойти на футбол» и «пойти на балет». Таким образом, в этой игре есть четыре возможных профиля стратегий: (Футбол, Футбол), (Футбол, Балет), (Балет, Футбол) и (Балет, Балет). Здесь первая стратегия — это стратегия мужа. Вторая стратегия — стратегия жены. Теперь, когда мы описали множество возможных стратегий игроков, нам нужно определить платежи, которые они получат в каждом возможном профиле игры. Давайте представим, что оба игрока выбрали пойти на футбол. Тогда они проведут вечер вместе. Но при этом муж будет смотреть футбол, ему это нравится, а жена будет смотреть футбол, и это ей не очень нравится. Тогда муж получит платеж, равный пяти, а жена чуть меньший платеж — платеж, равный четырем. Если муж пойдет на футбол, а жена пойдет на балет, то они будут смотреть то, что им интересно, но будут делать это поодиночке. И тогда их платежи будут равны единице. Если муж пойдет на балет, а жена пойдет на футбол, то они и проведут выходной день по отдельности друг от друга, и будут смотреть не очень интересующее их мероприятие. Их платеж в этом случае будет равен нулю. Наконец, если и муж, и жена пойдут на балет, то тогда они снова проведут вечер вместе, но жене будет чуть лучше: она будет смотреть балет, а муж наслаждаться им не будет. Платеж мужа будет равен четырем, а платеж жены будет равен пяти. «Битву полов», как и другие конечные игры в нормальной форме двух лиц, можно представить в виде матрицы. Давайте представим, что мы выписали по горизонтали все стратегии мужа, по вертикали — все возможные стратегии жены, и на пересечении строчки и столбца поставили платежи игроков в том случае, если они играют соответствующие стратегии. Муж играет ту стратегию, которая записана в указанной строчке, а жена играет ту стратегию, которая записана в указанном столбце. Будем первым платежом записывать платеж первого игрока, а вторым платежом — платеж второго игрока. Таким образом, матрица «Битвы полов» представлена на ваших экранах. Например, в профиле (Футбол, Футбол) платежи игроков равны соответственно пять — у мужа и четыре — у жены. Это левая верхняя ячейка в этой матрице. А, например, если муж пойдет на балет, а жена пойдет на футбол, то платежи игроков будут равны нулю: как платеж мужа, так и платеж жены. Еще один пример одновременного стратегического взаимодействия — это аукцион Викри. Давайте представим, что на аукцион выставлена очень редкая почтовая марка. Ее хотели бы приобрести многие коллекционеры. Все коллекционеры по-разному оценивают стоимость этой марки. Марка продается по правилам закрытого аукциона второй цены. То есть участники аукциона одновременно подают свои ставки в закрытых конвертах. После этого конверты вскрываются, и победителем становится участник, который предложил максимальную ставку. Покупка этой марки осуществляется по второй максимальной цене. То есть не по самой максимальной, а по той, которая следует за ней. Давайте формализуем этот аукцион в виде игры в нормальной форме. В этой игре есть n игроков — участников аукциона. И ценность марки будем обозначать через v с индексом i. Она больше нуля для каждого из игроков, но может различаться для каждого из них. Давайте пронумеруем этих игроков таким образом, что оценочная стоимость марки для первого игрока — самая высокая. Ее обозначаем через v1. Для второго игрока — чуть ниже. Ее обозначаем через v2. И так далее. У каждого из игроков есть множество возможных стратегий, состоящие из различных ставок, которые он может сделать. Будем обозначать ставку игрока i через b с индексом i. Каждый игрок может выбрать абсолютно любое значение b с индексом i: от нуля до плюс бесконечности. Теперь, чем закончится аукцион? Давайте обозначим через b с чертой с индексом i максимальную из всех ставок игроков, за исключением i-го игрока. В каких случаях i-й игрок выигрывает аукцион? Он выигрывает его, во-первых, в случае, если он поставил больше, чем все остальные участники аукциона, а, во-вторых, в случае, если он поставил столько же, сколько и кто-то еще, но при этом номер игрока i — минимальный среди всех номеров участников, которые поставили такую же цену. Будем считать, что первый игрок имеет небольшое преимущество перед всеми остальными, а именно: если все поставили одинаковую ставку, то первый игрок выиграет эту марку. То есть игрок с меньшим номером будет выигрывать в случае, если игроки поставили одинаковые ставки. Теперь нужно формально определить платежи игроков. Платеж i-го игрока определяется следующим образом. Если участники аукциона сделали ставки (b1, …, bn), то платеж, который получает i-й игрок, соответственно равен либо v с индексом i минус b с чертой с индексом i в случае, если i выиграл аукцион, и 0 в случае, если участник i проиграл этот аукцион. То есть если i-й игрок выиграл аукцион, то он получает разницу между ценностью марки со своей точки зрения и ценой, которую ему пришлось заплатить за эту марку. Если участник проиграл аукцион, то он не получает ничего. Это были игры в нормальной форме, с помощью которых мы будем моделировать одновременные стратегические взаимодействия.
