Давайте начнем с ядра. Рассмотрим коалиционную игру, у которой есть характеристическая функция v. Мы предполагаем, что игроки успешно сформировали большую коалицию. Они получают выигрыш (x1, x2, ..., xn), и мы хотим, чтобы этот вектор выигрышей, которые они получают, обладал бы следующими свойствами: во-первых, этот выигрыш должен быть эффективным. То есть весь выигрыш большой коалиции должен быть распределен между игроками. Не должно остаться ничего лишнего, что не распределено между игроками. И, во-вторых, этот вектор выигрышей должен обладать свойством коалиционной рациональности, а именно: не должно найтись такой коалиции, которой захотелось бы отколоться, покинуть большую коалицию, и в результате этого она бы смогла получить выигрыш, больший, чем находясь в большой коалиции. Будем говорить, что вектор выигрышей является эффективным, если сумма выигрышей игроков равна выигрышу большой коалиции. Будем говорить, что вектор выигрышей обладает свойством коалиционной рациональности, если какую бы коалицию K мы ни взяли, игроки, входящие в коалицию K, получают в этом векторе выигрышей в сумме не меньше того выигрыша, который они получили бы, если бы коалиция K откололась от большой коалиции, и в результате этого, соответственно, они смогли бы получить выигрыш v(K). Вот если в векторе выигрышей игроки получают не меньше, то есть им не имеет смысл откалываться, то мы говорим, что вектор выигрышей обладает свойством коалиционной рациональности. Теперь мы готовы сформулировать определение ядра. Ядром C(v) мы будем называть такое множество векторов платежей, которое обладает следующими свойствами: во-первых, свойством эффективности, а во-вторых, свойством коалиционной рациональности. В рамках этой концепции акцент делается на стабильности решения, то есть на том, что никто не захочет отколоться и покинуть большую коалицию. Давайте рассмотрим пример: пусть Боря и Витя продают на улице блины. Витя умеет печь блины, а Боря умеет готовить начинку. За день Боря в одиночку ничего не может заработать, потому что начинку саму по себе не продать, а Витя может заработать 200 долларов, потому что блины без начинки, в принципе, продавать можно. Тем не менее вдвоем Витя с Борей могут заработать больше. Они могут заработать прибыль в размере 300 долларов. Блины с начинкой очень вкусные. Вопрос: при каком распределении выручки они согласятся работать друг с другом? Для ответа на этот вопрос мы найдем ядро в этой игре. Итак, у нас есть два игрока: Боря и Витя. У нас есть четыре возможные коалиции, которые могут сформировать игроки: это пустая коалиция, это коалиция, состоящая из одного игрока, то есть из Бори или из Вити, и большая коалиция, состоящая из двух игроков: из Вити и Бори одновременно. Выигрыш пустой коалиции, как и выигрыш одного Бори, равен нулю. Выигрыш Вити равен 200 долларов, выигрыш большой коалиции равен 300. Будем искать такие векторы выигрышей Бори и Вити, которые обладают свойствами эффективности и коалиционной рациональности. По определению, ядро этой игры задается следующей системой: во-первых, Боря должен получать не меньше нуля, потому что в одиночку он может обеспечить себе ноль. Витя должен получать не меньше 200, потому что в одиночку он может обеспечить себе 200. И, наконец, Витя с Борей должны получать ровно 300, потому что это выигрыш большой коалиции. Тогда ядром будет множество векторов выигрышей, таких, что ребята в сумме получают 300 долларов. И при этом выигрыш Бори находится в интервале от 0 до 100. Это множество изображено на координатной плоскости. Здесь по горизонтали мы отложили выигрыши Бори, по вертикали — выигрыши Вити. И ядро изображено синей линией. Давайте рассмотрим другой пример. Пусть у нас ест Боря, Витя и Галя. И они решают, как им поделить заказанную пиццу. Коалиция, состоящая из большинства игроков, может завладеть пиццей силой и поделить ее между входящими в нее игроками. Какой дележ пиццы устроил бы всех в этой игре? Итак, теперь у нас есть три игрока: Боря, Витя и Галя. И платежи коалиций устроены так: если сформировалась коалиция K, которая состоит по крайней мере из двух игроков, то платеж такой коалиции равен 1. Во всех остальных случаях выигрыш коалиции равен нулю. Ядро этой игры задается следующей системой: во-первых, каждый игрок должен получать не меньше нуля, потому что в одиночку каждый может обеспечить себе по крайней мере ноль. Боря и Витя в сумме должны получить не меньше 1, потому что если они отколются от большой коалиции, то вдвоем они завладеют всей пиццей и получат выигрыш, равный 1. То же самое касается суммы платежей Бори с Галей и Вити с Галей. Наконец, в сумме ребята должны получить ровно 1, то есть разделить всю пиццу на троих. Но тогда из неравенств 2, 3 и 4 следует, что сумма платежей Бори, Вити и Гали не меньше, чем 3/2. Действительно, можно сложить неравенства 2, 3 и 4, и тогда получится, что сумма платежей ребят не меньше, чем 1,5. Однако уравнение 5 говорит, что сумма платежей ребят должна равняться 1. Получаем противоречие. Оказывается, что в этой игре ядро пусто. То есть большая коалиция никогда не будет стабильной. Каким бы ни было распределение платежей внутри этой большой коалиции, всегда найдутся игроки, которые захотят объединиться в коалицию и отколоться от большой коалиции. Эти два примера проиллюстрировали, что на самом деле у ядра есть несколько недостатков. Во-первых, ядро может быть большим, то есть состоять из большого числа различных векторов платежей, а с другой стороны, ядро может быть пустым. И таким образом, эту концепцию можно применить для анализа не каждой коалиционной игры. Однако существуют концепции, которые позволяют однозначно решить любую коалиционную игру. К таким концепциям относится вектор Шепли.