В течение жизни мы постоянно взаимодействуем с другими людьми. Маленькие дети, пытаясь добиться того, чтобы родители купили понравившуюся конфетку, часто шантажируют родителей своими слезами. Принимая решение заплакать, ребенок рискует — он не знает, как поведут себя папа с мамой. В чуть более взрослом возрасте абитуриенты, выбирающие вуз, принимают сложное решение о том, в какие университеты подать документы. Ошибка может стоить дорого: при неправильной стратегии можно оказаться в слабом университете или вообще остаться без заветного студенческого билета. Окончив вуз, юноши и девушки начинают искать работу. Перед интервью с работодателем они штудируют статьи в интернете о том, что можно и чего нельзя говорить на интервью, — они пытаются найти наилучшую стратегию своего поведения, исходя из ожиданий компании, в которую они устраиваются. Все эти ситуации объединяет то, что решения, которые принимают одни люди, оказывают влияние на других людей. Такие взаимодействия называются стратегическими. Именно их изучает теория игр. Чтобы проанализировать ту или иную реальную жизненную ситуацию стратегического взаимодействия и найти оптимальный вариант поведения в ней, необходимо сделать две вещи. Во-первых, необходимо формально записать ситуацию на языке теории игр, то есть создать модель (игру). Во-вторых, после того как модель (игра) составлена, ее необходимо решить. Этому мы будем учиться в течение курса. Мы разберем основные виды игр (одновременные и последовательные, с совершенной и несовершенной информацией, коалиционные и некоалиционные), приведем способы их решения и обсудим их на многочисленных примерах. Курс будет интересен желающим разобраться в том, как конкурируют друг с другом несколько компаний и можно ли гарантированно выиграть в шашки, есть ли смысл угрожать на переговорах и с кем стоит объединяться в коалиции в парламенте. FAQ В: Требуется ли предварительная подготовка для прохождения курса? О: Курс является базовым, поэтому он не требует специальной подготовки. Для его успешного освоения достаточно уверенных знаний курса математики в объеме школьной программы. В одном-двух примерах могут пригодиться знания начал математического анализа (дифференцирование функций одной переменной, необходимое условие экстремума) и знания начал теории вероятностей (понятие математического ожидания случайной величины). В: Что требуется для успешного окончания курса? О: Итоговая оценка за курс складывается из результатов 10 оцениваемых тестов. Для успешного окончания курса необходимо дать не менее 80 % правильных ответов на каждый из этих тестов.
Формальное описание модели
Loading...
Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics
Теория игр (Game Theory)
674 оценки
Из урока
Модель Хотеллинга — Даунса и модель Курно
Дорогие слушатели, приветствуем вас на четвертой неделе курса! Многих из вас наверняка интересует вопрос о том, где применить знания, полученные на курсе по теории игр, в реальной жизни. Материал четвертой недели частично даст на него ответ. Мы поговорим о политической конкуренции кандидатов во время предвыборной кампании и экономической конкуренции фирм на рынках с несколькими производителями. На следующих неделях мы поговорим и о других примерах использования теории игр в жизни.
Познакомьтесь с преподавателями
Dmitry DagaevAssociate Professor, Deputy Vice Rector
Department of Higher Mathematics
Итак, начнем мы с политической конкуренции и с модели Хотеллинга — Даунса.
Как я уже сказал, сначала появилась работа Хотеллинга в 1929 году,
в которой он рассматривал экономические примеры,
в которых несколько агентов экономических, несколько фирм,
конкурировали за потребителей, размещенных на некотором отрезке.
После этого, уже в середине XX века,
в 1957 году, Энтони Даунс в книге «Экономическая теория демократии»,
которая стала классикой, расширил и популяризировал эту модель,
перенес ее на область политической конкуренции.
И фактически поэтому эту модель теперь можно называть моделью Хотеллинга — Даунса.
Давайте представим себе следующую ситуацию.
Пусть у нас есть некоторая страна.
В этой стране действует, для начала, двухпартийная система,
и сейчас должны состояться очередные выборы.
Давайте представим, что у нас зафиксирован какой-то главный вопрос,
который сейчас обсуждается в этой стране,
и от позиции партий по этому вопросу зависит исход выборов.
Давайте представим, что, например, в качестве этого
вопроса фигурирует вопрос о степени вмешательства государства в экономику.
Каждая из партий занимает какую-то определенную позицию по этому вопросу,
и в рамках нашей модели мы будем считать, что избиратели будут делать свой выбор,
за какую из этих партий проголосовать,
на основании своего отношения к позиции партий по этому вопросу.
Игроки в нашей модели — это партии,
которые одновременно делают свой стратегический выбор: какую позицию
по вопросу о степени вмешательства государства в экономику занять.
У нас есть политическое пространство.
Его мы будем представлять в виде отрезка от 0 до 1.
И точка на этом отрезке будет означать ту или иную политическую позицию.
Чем левее эта точка, чем ближе она к нулю,
тем меньшей роли государства в экономике придерживается
человек или партия, которая занимает эту позицию.
Экстремальный пример: точка 0
соответствует позиции: «государство никак не должно вмешиваться в экономику».
А точка 1, наоборот: «государство экономику должно полностью регулировать».
Формально описываем игру.
Я напомню, что для того чтобы описать игру,
нам нужно указать: первое — множество игроков, второе — множество всех
возможных стратегий каждого игрока и третье — указать платежи,
которые получают игроки в каждом возможном профиле стратегий.
В нашей модели есть два игрока, две партии, А и В.
Мы также будем называть их кандидатами.
Вообще говоря, эту же модель можно использовать
для анализа конкуренции индивидуальных кандидатов, не обязательно партий.
Будем говорить, что партия А
может занять любую позицию на отрезке от 0 до 1.
То есть ее стратегия — это множество чисел от 0 до 1.
Она объявляет позицию а (маленькое), и это число от 0 до 1.
Точно также партия В, кандидат В,
объявляет свою позицию по отношению к этому вопросу.
То есть тоже объявляет число от 0 до 1.
Они делают это одновременно.
Мы имеем дело с одновременной игрой.
Мы моделируем ее в виде игры в нормальной форме.
Будем считать, что кандидаты максимизируют вероятность своей победы на выборах.
Их не так волнует доля голосов, которую они получат,
главное — это вероятность их победы.
Например, может оказаться, что кандидат А выберет
позицию 0,2, а кандидат В — позицию 0,8.
Это профиль стратегий.
Помимо кандидатов у нас есть избиратели.
Они в нашем случае не являются стратегическими игроками.
Будем считать, что у нас
избиратели равномерно расположены вдоль этой прямой.
Можно считать, что они живут вдоль этой прямой, то есть занимают позицию,
которая соответствует точкам на прямой.
То есть избирателей, которые занимают левую позицию,
примерно столько же, сколько центристов, примерно столько же,
сколько избирателей, занимающих правую позицию.
Каждый избиратель имеет свою идеальную точку.
И давайте введем еще одно обозначение.
Через m будем обозначать идеальную точку медианного избирателя,
то есть такого избирателя, что слева от него будет располагаться
ровно столько же избирателей, сколько и справа от него.
Итак, если мы предположили,
что избиратели у нас расположены равномерно вдоль отрезка от 0 до 1,
то медианный избиратель, очевидно, будет находиться в точке 0,5.
Его идеальная позиция, то есть позиция по отношению к вопросу
о роли вмешательства государства в экономику, — это 50 %.
Например, какой-то избиратель может занимать позицию 0,3.
Это означает, что он считает,
что государство должно вмешиваться в экономику на 30 %.
Естественно, это очень условная вещь.
Сложно объяснить, что означает,
что государство вмешивается в экономику на 30 %.
Для нас, скорее, здесь важно отношение позиций друг по отношению к другу.
Чем левее позиция того или иного избирателя или чем левее позиция
того или иного кандидата, тем этот избиратель или кандидат считает,
что вмешательство государства в экономику должно быть меньше.
Как устроены платежи избирателей?
Давайте считать, что платеж избирателя, который живет в точке xi,
то есть идеальная точка которого — это xi,
в случае, если на выборах побеждает кандидат, занимающий
позицию x, — это просто минус длина отрезочка от x до xi.
То есть чем дальше позиция победившего кандидата
от моей личной позиции по отношению к главному вопросу на выборах, тем мне хуже.
Ну, достаточно логично.
Значит, каждый избиратель при выборе из нескольких кандидатов — из первого,
второго, третьего — будет предпочитать того кандидата, чья позиция по отношению
к главному вопросу будет наиболее близка к его собственной позиции.
Например, если у нас есть избиратель, который живет в точке 0,3,
и есть два кандидата, которые баллотируются на выборах, — один из них,
кандидат А, занимает позицию 0,2, другой, кандидат В — позицию 0,8, —
то в случае, если победит кандидат А, платеж Лени, нашего избирателя,
составит минус 0,1, а если победит кандидат В — минус 0,5.
Значит, Леня предпочитает кандидата А.
Его позиция ближе к его собственной.
Мы будем считать,
что избиратели голосуют в соответствии вот с этой своей функцией полезности.
Они голосуют честно, то есть они выбирают того кандидата,
чья позиция им наиболее близка.
При этом они не задумываются стратегически о том, что может произойти на выборах.
Что такое стратегическое голосование?
Иногда избиратели могут рассуждать так: я точно знаю,
что мой кандидат, которого я предпочитаю, на выборах не победит.
Тогда уж лучше я проголосую за второго
по предпочтению для меня кандидата, который сможет
благодаря моему голосу с большей вероятностью одержать победу на выборах.
Ну или, если речь идет о партиях, то мой голос принесет второй
по предпочтительности для меня партии дополнительные места в парламенте.
Вот мы будем считать,
что такого стратегического голосования в нашей модели нет.
Тогда анализ этой модели стал бы еще более сложным.
Это отдельное явление, которое нужно изучать и которое изучают коллеги,
работающие в области теории игр.
Мы остановимся на самом простом варианте модели.
Мы будем считать, что каждый избиратель голосует нестратегически,
а именно, он голосует по очень простому правилу: за того кандидата,
чья позиция ближе к его собственной позиции.
Именно поэтому мы говорим,
что избиратели в нашей модели — это не стратегические игроки.
Они и не игроки вовсе — они не делают никакого стратегического выбора.
Они голосуют автоматически по определенному нами только что правилу.
Есть один случай, который нужно оговорить отдельно:
если есть несколько кандидатов, позиции которых одинаково близки избирателю,
то он будет голосовать в соответствии с исходом честной лотереи,
а именно: если у нас n кандидатов заняли одинаково
близкую позицию по отношению к избирателю, то этот избиратель, придя на выборы,
зайдя в урну, подкинет n-стороннюю монетку, и в зависимости от того,
на какую сторону эта монетка упадет, он проголосует за того или иного кандидата.
Давайте рассмотрим еще один пример: пусть у нас есть два избирателя.
Один из них, как и раньше, живет в точке 0,3,
а другой, медианный избиратель, живет в точке 0,5.
И есть два кандидата на выборах.
Как и раньше, один из них, кандидат А,
занимает точку 0,2, а другой, кандидат В — точку 0,8.
За кого проголосуют наши избиратели?
Леня проголосует за кандидата А.
Его позиция ближе по отношению к его собственной, чем у кандидата В.
А вот для медианного избирателя позиции кандидатов
А и В будут одинаково предпочтительны, одинаково далеки от него.
Поэтому медианный избиратель, придя на выборы, подкинет монетку,
то есть с вероятностью 0,5 проголосует
за кандидата А и с вероятностью 0,5 проголосует за кандидата В.
Теперь, кто же выборы выигрывает?
Выборы выигрывает тот кандидат, который получает больше голосов.
Если вдруг несколько кандидатов набрали одинаковое число голосов,
то тогда эти кандидаты тоже играют в честную лотерею,
собираются в Центризбиркоме, подкидывают монетку, и в зависимости от того,
на чью сторону упадет монетка, тот или иной кандидат выигрывает выборы.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
