好的,那我們如剛剛所説,我們要從后往前做分析嘛,所以我們要先分析大家在
給定通路狀態了以後的定價決策,然後我們再回去分析他們通路的選擇 那我們現在先來討論定價這部分。
那如我們所説,剛剛有四種 可能的通路狀態,對吧,有可能有 II DD DI DD
所以我們應該要做四次不同的賽局分析,不過呢,都很像,所以我們挑一種 最複雜的來做就好了。
最復雜的是哪種,當然是 DD 嘛,因爲這裡有四個人要做決策,所以我們就來討論 DD 來爲大家展示一下。
好,所以假設他們都已經選了 間接通路了。
那我們來看看在這種情況下,這四家廠商會做什麽事情 四家廠商的順序又是先製造商,再零售商,所以再
backward induction 一次,我們要先討論
零售商的問題,所以呢就是右邊這兩個傢夥了 我們畫綠色的這個
R1 R2,那麽現在要來討論它們的 零售價,那麽零售商
i 要解的問題在這兒 對吧,他要找 pi
來最大化自己的 這個利潤,而它的利潤函數寫在這裡,就是這樣子。
這個祇不過是把前面 model 的部分抄過來,并且 把 qi 換成這個
Bertrand competition 底下的模式而已,所以應該問題也不大。
那這個時候 wi 是給定的,因爲這是 second stage 嘛,所以
wi 在你這個情況下是個 常數,你早就已經知道製造商公佈的批發價是多少了,你是基於那個資訊在做決策的
好,那兩個人一起就他們的 price
來做 decision 互相影響,function 長那樣,那不就是一個
Bertrand competition 嗎?所以他們的 p1* 和 p2*
如果是一個 Nash equilibrium,那它們要滿足什麽呢?就要滿足
個別來説都要是它們的利潤函數的最大化的結果 對吧,或是反過來講,就是要滿足各自的
first order condition,比如説 p1* 就要滿足 retailer 1
的 first order condition,p2* 就要滿足 retailer 2 的,所以就是你把 profit
function 拿來一次微分,然後把 這個我們自己的值代進去,把
pi 用 pi* 代進去了以後呢,得到了這個式子,也讓它等於 0
好,所以説到底,反之就是一次微分它等於 0 就對了,就是這樣。
那麽如果這樣的話,我們知道這個 pi* 就會是 Nash equilibrium。
>> 老師。
>> 又有問題來了,好,我們 看一下這個飛機上有寫什麽?>> 現在不用檢查利潤函數是不是 concave 嗎?
>> 哦,這個問題問的倒好,本來想偷懶的,不過被發現了,那衹好來解釋一下
要,我們爲什麽可以說 first order condition 一次微分等於
0 的地方就是最佳解呢,是因爲我們相信 利潤函數是 concave 的,對吧,幫大家稍微復習一下。
如果你的利潤函數長類似像這個樣子的話 concave,那你一次微分等於
0 的點,當然就會是最佳解,最大化你的 profit 但是你得要有這個
concave 的事實,你才會確定這件事情嘛,怎麽確認 目標式是不是
concave 呢?把這個一次微分的式子再微分一次
就可以了,我們把它拿來對 pi 再微分一次,你就會得到 -2 okay,那
-2 再微分呢?對不起,-2 本身就已經 比 0 小了,二次微分比
0 小,表示是 concave 的,向下開 那這樣你就可以保證 first order
condition 是最佳解,這樣可以嗎? 好,那我們就繼續
所以你把 retailer 1 retailer
2 的式子個別拿來一次微分,然後個別的有一個 first order condition
了以後呢,兩個變數,兩個 equation,你就解聯立方程式,雖然要花一點功夫,不過
大家代數慢慢運算的話呢,都可以得到像我們最下面 的這個式子。
比如説 p1* 會是 1/(2-θ) 加上分母是 (2+θ)
乘以 (2-θ),分子是 2w1 加 θw2,這是 retailer
1 的 price 1,那 retailer 2 的當然就反過來,把
w1 跟 w2 反過來就可以了,大家可以練習一下 好的。
那麽得到了零售價,得到了這個 equilibrium 的
retail price,我們當然不免想要看一下它如何的受到其他因素的影響嘛 所以比如説
pi* 怎麽受到自己的批發價 wi 的影響呢?wi
在這兒 所以批發價如果是上升,我的零售價就要上升,這很合理吧,畢竟就是成本
成本上升,price 衹好跟著被墊高。
那對方的批發價 對我呢也是有一個上升的效果,爲什麽?仔細想想也可以接受
對方的批發價上升的時候,對方的零售價想必會跟著上升,那麽就給我
一些空間,讓我也可以把價格調高,對吧,畢竟當他的價格上升的時候,他那裡會有一些人跑- 來我這裡 那我的 demand
變大,我就把我的 price 提高一點,也是很合情合理的 好,所以呢這樣子好像都可以解釋。
另外我們還有看到 w1 的係數是 2,w2
的係數是 θ 對零售商 1 來説,自己的批發價的影響大過對方的批發價的影響
這個也很合理嘛,畢竟我的上游給我的批發價的影響是直接的,而我的
競爭對手的批發價對我的影響是間接的,是他的批發價影響他的零售價
影響我的需求,然後才影響我的價格,所以當然是前者 的影響應該要比較大。
所以我們算出來的東西好像也挺合理的,最後就是 要是我把 θ=0
代進去會怎麽樣?大家可以試一下 θ 如果等於 0 的話,那首先第一個
term 剩下二分之一 對吧,第二個 term,θ=0,所以就變成
2 乘 2,這就變 4,然後上面呢就變成 2 wi,你就可以得到基本上就是
1/2+wi 對吧,那你回去看一下上禮拜我們教的
Bertrand competition,看一下會不會真的變成像上禮拜的一樣,一定會
這樣子才表示我們建在的 model,確實是上禮拜的基本
model 的 generalization,okay,我希望大家可以做一下這個功夫
好,所以剛剛的東西看起來還不錯 那現在我們已經有零售價了,如果我們把零售價
代人需求函數的話,經過一些運算就可以得到
均衡狀態下的需求量,就像投影片上長得像這個樣子。
那 合理嗎?稍微看一下,批發價如果上升,我的批發價
wi 如果上升 對我來説,會讓我的需求量下降,爲什麽? 因爲我必須擡高價格嗎?所以我的需求量當然就下降了
反過來説,對方的批發價如果上升,這個時候呢你發現我的需求量上升,可以接受
對方的批發價上升,對方的零售價就上升,那麽呢我的需求量就微微地上升,這個很合理 這是在我已經做了
best response 以後的結果,這樣子 會讓我的需求量上升。
好,那現在 second stage 已經解完了,我們來看製造商
現在我們要討論這個 first stage,這個製造商的問題
那麽製造商們他們在想,他們要決定 w1 跟 w2
同時,因爲他們預知到當他們決定 w1 跟 w2 了以後,他們的下游會怎麽反應
所以他們要求解的就是這個問題,找 wi
來最大化自己的利潤 wi 要乘上 qi*,而
qi* 在前一頁已經解出來了,就是 wi 跟 w3-i
的函數 所以在這個地方他們就是把這兩個東西,把自己的
批發價和銷售量乘起來就是他的利潤,那麽呢這樣子就可以來求解了
一樣,我們在這裡想要找的是 w1* w2*,讓它們是一個 Nash
equilibrium 依樣畫葫蘆嘛,想必對它們兩個的各自的
profit function 來説一次微分要等於 0,對吧,這個是必要的 我們有沒有
concave 的性質呢?顯然也有,大家把一次微分再微分一次
看看係數是不是負的?都是,所以這個情況下你就可以安心地說,一次微分等於 0
就是最佳解,所以 w1* 跟 w2*
是可以解出來的,就用上面的這個 方程式,兩個方程式兩個變數就可以解出來
大家稍微花點功夫,復習一下你國中的時候做的事情,你就會得到 w1*
和 w2* 就可以像這樣子,被寫成是 θ 的函數。
那 overall 呢,你最終會把所有的
内生變數都寫成外生變數,或者外生參數的函數,在我們的這個情境裡面 我們沒有
price,然後需求量是設成 1 減什麽什麽 所以這整個 game
裡面衹有 θ 這個參數 那麽最後也可以看到確實 w1* 跟 w2*
都可以被寫成 θ 的函數,那另外你也發現,它們兩個恰好一樣啊
不是太奇怪,對吧,畢竟它們兩個面對的這個市場環境是一模一樣的
它們面對的成本的環境也是一模一樣的,那它們最終的決策一模一樣也是很自然的 好,所以剛剛的事情 w1* 跟
w2* 如果解出來了,剩下的事情則都把它們代進去,p1*
跟 p2* 剛剛還是 w1 跟 w2 的函數,但是你把均衡狀態下
的批發價代進去了以後呢,你就會發現它們也是 θ 的函數
再來,需求量當然也如法炮製 製造商和,製造商們的
profit 當然也就可以被算出來 就不過就是 w 乘以
q,就這樣子,所以呢 到此爲止就算是解出了
DD 這個情況下 的大家的 pricing decision 和 equilibrium
的 profit,這個東西 長得很醜
但是大家要注意它,爲什麽? 待會兒我們要討論的事情是製造商如何選擇他的通路
對吧,製造商現在已經知道了,如果我選 D 他選
D,如果我們都賣給零售商,讓零售商去賣的話 結果我就會賺這麽多,製造商已經知道這件事情了
所以待會兒再把其他的三個情況解出來的話 製造商最終怎麽選擇他要賣哪種通路呢?
就是考慮 profit 嘛,製造商才不 care 什麽零售商的 profit 或者是我的 price,那些都不重要
他選通路的目標是最大化自己的 profit 所以我們現在框起來的這個
functional form,待會兒一定會用到 請大家留意一下。
那當然你也可以算零售商的均衡利潤 或者是通路的均衡利潤,這些事情是沒有問題的,所以你需要的話可以做更多的討論
不過我們待會兒祇重視製造商 好,所以希望大家可以練習一下,把
ID DI 跟 II 都解出來 那或是如果你有興趣的話呢,這是某一篇
paper 嘛,所以你把 paper 找出來,上面也有 寫答案,你可以對一下答案。
那或是,待會兒的影片其實也有答案啊,所以其實是一樣的意思,但希望大家可以練習 一下。
然後,我們呢就可以 來思考製造商他能賺多少錢 如果這是個間接通路,我們就
care 製造商的利潤 因爲製造商祇擔心他賺多少錢而已,如果這是個直接通路的話,那當然就是整條利潤都是製造商
賺走,那就是製造商利潤就是通路利潤,然後呢待會兒這四種情況下的均衡利潤
就是我們分析通路結構的這個選擇的這個賽局 的基礎。
好,那我們休息一下