好的，那我們如剛剛所説，我們要從后往前做分析嘛，所以我們要先分析大家在
給定通路狀態了以後的定價決策，然後我們再回去分析他們通路的選擇 那我們現在先來討論定價這部分。
那如我們所説，剛剛有四種 可能的通路狀態，對吧，有可能有 II DD DI DD
所以我們應該要做四次不同的賽局分析，不過呢，都很像，所以我們挑一種 最複雜的來做就好了。
最復雜的是哪種，當然是 DD 嘛，因爲這裡有四個人要做決策，所以我們就來討論 DD 來爲大家展示一下。
好，所以假設他們都已經選了 間接通路了。
那我們來看看在這種情況下，這四家廠商會做什麽事情 四家廠商的順序又是先製造商，再零售商，所以再
backward induction 一次，我們要先討論
零售商的問題，所以呢就是右邊這兩個傢夥了 我們畫綠色的這個
R1 R2，那麽現在要來討論它們的 零售價，那麽零售商
i 要解的問題在這兒 對吧，他要找 pi
來最大化自己的 這個利潤，而它的利潤函數寫在這裡，就是這樣子。
這個祇不過是把前面 model 的部分抄過來，并且 把 qi 換成這個
Bertrand competition 底下的模式而已，所以應該問題也不大。
那這個時候 wi 是給定的，因爲這是 second stage 嘛，所以
wi 在你這個情況下是個 常數，你早就已經知道製造商公佈的批發價是多少了，你是基於那個資訊在做決策的
好，那兩個人一起就他們的 price
來做 decision 互相影響，function 長那樣，那不就是一個
Bertrand competition 嗎？所以他們的 p1* 和 p2*
如果是一個 Nash equilibrium，那它們要滿足什麽呢？就要滿足
個別來説都要是它們的利潤函數的最大化的結果 對吧，或是反過來講，就是要滿足各自的
first order condition，比如説 p1* 就要滿足 retailer 1
的 first order condition，p2* 就要滿足 retailer 2 的，所以就是你把 profit
function 拿來一次微分，然後把 這個我們自己的值代進去，把
pi 用 pi* 代進去了以後呢，得到了這個式子，也讓它等於 0
好，所以説到底，反之就是一次微分它等於 0 就對了，就是這樣。
那麽如果這樣的話，我們知道這個 pi* 就會是 Nash equilibrium。
>> 老師。
>> 又有問題來了，好，我們 看一下這個飛機上有寫什麽？>> 現在不用檢查利潤函數是不是 concave 嗎？
>> 哦，這個問題問的倒好，本來想偷懶的，不過被發現了，那衹好來解釋一下
要，我們爲什麽可以說 first order condition 一次微分等於
0 的地方就是最佳解呢，是因爲我們相信 利潤函數是 concave 的，對吧，幫大家稍微復習一下。
如果你的利潤函數長類似像這個樣子的話 concave，那你一次微分等於
0 的點，當然就會是最佳解，最大化你的 profit 但是你得要有這個
concave 的事實，你才會確定這件事情嘛，怎麽確認 目標式是不是
concave 呢？把這個一次微分的式子再微分一次
就可以了，我們把它拿來對 pi 再微分一次，你就會得到 -2 okay，那
-2 再微分呢？對不起，-2 本身就已經 比 0 小了，二次微分比
0 小，表示是 concave 的，向下開 那這樣你就可以保證 first order
condition 是最佳解，這樣可以嗎？ 好，那我們就繼續
所以你把 retailer 1 retailer
2 的式子個別拿來一次微分，然後個別的有一個 first order condition
了以後呢，兩個變數，兩個 equation，你就解聯立方程式，雖然要花一點功夫，不過
大家代數慢慢運算的話呢，都可以得到像我們最下面 的這個式子。
比如説 p1* 會是 1/(2-θ) 加上分母是 (2+θ)
乘以 (2-θ)，分子是 2w1 加 θw2，這是 retailer
1 的 price 1，那 retailer 2 的當然就反過來，把
w1 跟 w2 反過來就可以了，大家可以練習一下 好的。
那麽得到了零售價，得到了這個 equilibrium 的
retail price，我們當然不免想要看一下它如何的受到其他因素的影響嘛 所以比如説
pi* 怎麽受到自己的批發價 wi 的影響呢？wi
在這兒 所以批發價如果是上升，我的零售價就要上升，這很合理吧，畢竟就是成本
成本上升，price 衹好跟著被墊高。
那對方的批發價 對我呢也是有一個上升的效果，爲什麽？仔細想想也可以接受
對方的批發價上升的時候，對方的零售價想必會跟著上升，那麽就給我
一些空間，讓我也可以把價格調高，對吧，畢竟當他的價格上升的時候，他那裡會有一些人跑- 來我這裡 那我的 demand
變大，我就把我的 price 提高一點，也是很合情合理的 好，所以呢這樣子好像都可以解釋。
另外我們還有看到 w1 的係數是 2，w2
的係數是 θ 對零售商 1 來説，自己的批發價的影響大過對方的批發價的影響
這個也很合理嘛，畢竟我的上游給我的批發價的影響是直接的，而我的
競爭對手的批發價對我的影響是間接的，是他的批發價影響他的零售價
影響我的需求，然後才影響我的價格，所以當然是前者 的影響應該要比較大。
所以我們算出來的東西好像也挺合理的，最後就是 要是我把 θ=0
代進去會怎麽樣？大家可以試一下 θ 如果等於 0 的話，那首先第一個
term 剩下二分之一 對吧，第二個 term，θ=0，所以就變成
2 乘 2，這就變 4，然後上面呢就變成 2 wi，你就可以得到基本上就是
1/2+wi 對吧，那你回去看一下上禮拜我們教的
Bertrand competition，看一下會不會真的變成像上禮拜的一樣，一定會
這樣子才表示我們建在的 model，確實是上禮拜的基本
model 的 generalization，okay，我希望大家可以做一下這個功夫
好，所以剛剛的東西看起來還不錯 那現在我們已經有零售價了，如果我們把零售價
代人需求函數的話，經過一些運算就可以得到
均衡狀態下的需求量，就像投影片上長得像這個樣子。
那 合理嗎？稍微看一下，批發價如果上升，我的批發價
wi 如果上升 對我來説，會讓我的需求量下降，爲什麽？ 因爲我必須擡高價格嗎？所以我的需求量當然就下降了
反過來説，對方的批發價如果上升，這個時候呢你發現我的需求量上升，可以接受
對方的批發價上升，對方的零售價就上升，那麽呢我的需求量就微微地上升，這個很合理 這是在我已經做了
best response 以後的結果，這樣子 會讓我的需求量上升。
好，那現在 second stage 已經解完了，我們來看製造商
現在我們要討論這個 first stage，這個製造商的問題
那麽製造商們他們在想，他們要決定 w1 跟 w2
同時，因爲他們預知到當他們決定 w1 跟 w2 了以後，他們的下游會怎麽反應
所以他們要求解的就是這個問題，找 wi
來最大化自己的利潤 wi 要乘上 qi*，而
qi* 在前一頁已經解出來了，就是 wi 跟 w3-i
的函數 所以在這個地方他們就是把這兩個東西，把自己的
批發價和銷售量乘起來就是他的利潤，那麽呢這樣子就可以來求解了
一樣，我們在這裡想要找的是 w1* w2*，讓它們是一個 Nash
equilibrium 依樣畫葫蘆嘛，想必對它們兩個的各自的
profit function 來説一次微分要等於 0，對吧，這個是必要的 我們有沒有
concave 的性質呢？顯然也有，大家把一次微分再微分一次
看看係數是不是負的？都是，所以這個情況下你就可以安心地說，一次微分等於 0
就是最佳解，所以 w1* 跟 w2*
是可以解出來的，就用上面的這個 方程式，兩個方程式兩個變數就可以解出來
大家稍微花點功夫，復習一下你國中的時候做的事情，你就會得到 w1*
和 w2* 就可以像這樣子，被寫成是 θ 的函數。
那 overall 呢，你最終會把所有的
内生變數都寫成外生變數，或者外生參數的函數，在我們的這個情境裡面 我們沒有
price，然後需求量是設成 1 減什麽什麽 所以這整個 game
裡面衹有 θ 這個參數 那麽最後也可以看到確實 w1* 跟 w2*
都可以被寫成 θ 的函數，那另外你也發現，它們兩個恰好一樣啊
不是太奇怪，對吧，畢竟它們兩個面對的這個市場環境是一模一樣的
它們面對的成本的環境也是一模一樣的，那它們最終的決策一模一樣也是很自然的 好，所以剛剛的事情 w1* 跟
w2* 如果解出來了，剩下的事情則都把它們代進去，p1*
跟 p2* 剛剛還是 w1 跟 w2 的函數，但是你把均衡狀態下
的批發價代進去了以後呢，你就會發現它們也是 θ 的函數
再來，需求量當然也如法炮製 製造商和，製造商們的
profit 當然也就可以被算出來 就不過就是 w 乘以
q，就這樣子，所以呢 到此爲止就算是解出了
DD 這個情況下 的大家的 pricing decision 和 equilibrium
的 profit，這個東西 長得很醜
但是大家要注意它，爲什麽？ 待會兒我們要討論的事情是製造商如何選擇他的通路
對吧，製造商現在已經知道了，如果我選 D 他選
D，如果我們都賣給零售商，讓零售商去賣的話 結果我就會賺這麽多，製造商已經知道這件事情了
所以待會兒再把其他的三個情況解出來的話 製造商最終怎麽選擇他要賣哪種通路呢？
就是考慮 profit 嘛，製造商才不 care 什麽零售商的 profit 或者是我的 price，那些都不重要
他選通路的目標是最大化自己的 profit 所以我們現在框起來的這個
functional form，待會兒一定會用到 請大家留意一下。
那當然你也可以算零售商的均衡利潤 或者是通路的均衡利潤，這些事情是沒有問題的，所以你需要的話可以做更多的討論
不過我們待會兒祇重視製造商 好，所以希望大家可以練習一下，把
ID DI 跟 II 都解出來 那或是如果你有興趣的話呢，這是某一篇
paper 嘛，所以你把 paper 找出來，上面也有 寫答案，你可以對一下答案。
那或是，待會兒的影片其實也有答案啊，所以其實是一樣的意思，但希望大家可以練習 一下。
然後，我們呢就可以 來思考製造商他能賺多少錢 如果這是個間接通路，我們就
care 製造商的利潤 因爲製造商祇擔心他賺多少錢而已，如果這是個直接通路的話，那當然就是整條利潤都是製造商
賺走，那就是製造商利潤就是通路利潤，然後呢待會兒這四種情況下的均衡利潤
就是我們分析通路結構的這個選擇的這個賽局 的基礎。
好，那我們休息一下
孔令傑副教授 (Associate Professor)
