在本課程中，我們會向大家介紹如何以（看起來像數學推導的）理論模型進行商管領域的學術研究，並且特別著重介紹在有多決策者的環境中，如何進行模型建構與分析，進而探討「誘因」的經濟與管理意涵。 本課程介紹本領域的核心研究工具「賽局理論」，透過原理的講解與案例的說明，讓大家瞭解賽局理論的基本概念以及在商管研究上的應用方式。我們會介紹許多案例，但案例只是我們用來介紹「研究方法」與原理的媒介，而不是主體。 修習本課程後，學習者將： 1.瞭解賽局理論的基本概念、應用方式與範疇。 2.瞭解理論研究在商管領域的意義。 3.能進行基本的具多決策者的商管領域理論研究。
3-3 分析：定價
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From the course by National Taiwan University
商管研究中的賽局分析：通路選擇、合約制定與共享經濟
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From the lesson
競爭環境中的通路選擇
本週我們將介紹 McGuire 與 Staelin 兩位學者於 1983 發表於 Marketing Science 的研究。我們將探討製造商如何選擇要直營零售店或接受加盟，並理解為何選擇接受加盟可能解決製造商間的囚犯困境。
Meet the Instructors
孔令傑助理教授(Assistant Professor)
資訊管理學系(Department of Information Management)
好的，那我們如剛剛所説，我們要從后往前做分析嘛，所以我們要先分析大家在
給定通路狀態了以後的定價決策，然後我們再回去分析他們通路的選擇 那我們現在先來討論定價這部分。
那如我們所説，剛剛有四種 可能的通路狀態，對吧，有可能有 II DD DI DD
所以我們應該要做四次不同的賽局分析，不過呢，都很像，所以我們挑一種 最複雜的來做就好了。
最復雜的是哪種，當然是 DD 嘛，因爲這裡有四個人要做決策，所以我們就來討論 DD 來爲大家展示一下。
好，所以假設他們都已經選了 間接通路了。
那我們來看看在這種情況下，這四家廠商會做什麽事情 四家廠商的順序又是先製造商，再零售商，所以再
backward induction 一次，我們要先討論
零售商的問題，所以呢就是右邊這兩個傢夥了 我們畫綠色的這個
R1 R2，那麽現在要來討論它們的 零售價，那麽零售商
i 要解的問題在這兒 對吧，他要找 pi
來最大化自己的 這個利潤，而它的利潤函數寫在這裡，就是這樣子。
這個祇不過是把前面 model 的部分抄過來，并且 把 qi 換成這個
Bertrand competition 底下的模式而已，所以應該問題也不大。
那這個時候 wi 是給定的，因爲這是 second stage 嘛，所以
wi 在你這個情況下是個 常數，你早就已經知道製造商公佈的批發價是多少了，你是基於那個資訊在做決策的
好，那兩個人一起就他們的 price
來做 decision 互相影響，function 長那樣，那不就是一個
Bertrand competition 嗎？所以他們的 p1* 和 p2*
如果是一個 Nash equilibrium，那它們要滿足什麽呢？就要滿足
個別來説都要是它們的利潤函數的最大化的結果 對吧，或是反過來講，就是要滿足各自的
first order condition，比如説 p1* 就要滿足 retailer 1
的 first order condition，p2* 就要滿足 retailer 2 的，所以就是你把 profit
function 拿來一次微分，然後把 這個我們自己的值代進去，把
pi 用 pi* 代進去了以後呢，得到了這個式子，也讓它等於 0
好，所以説到底，反之就是一次微分它等於 0 就對了，就是這樣。
那麽如果這樣的話，我們知道這個 pi* 就會是 Nash equilibrium。
>> 老師。
>> 又有問題來了，好，我們 看一下這個飛機上有寫什麽？>> 現在不用檢查利潤函數是不是 concave 嗎？
>> 哦，這個問題問的倒好，本來想偷懶的，不過被發現了，那衹好來解釋一下
要，我們爲什麽可以說 first order condition 一次微分等於
0 的地方就是最佳解呢，是因爲我們相信 利潤函數是 concave 的，對吧，幫大家稍微復習一下。
如果你的利潤函數長類似像這個樣子的話 concave，那你一次微分等於
0 的點，當然就會是最佳解，最大化你的 profit 但是你得要有這個
concave 的事實，你才會確定這件事情嘛，怎麽確認 目標式是不是
concave 呢？把這個一次微分的式子再微分一次
就可以了，我們把它拿來對 pi 再微分一次，你就會得到 -2 okay，那
-2 再微分呢？對不起，-2 本身就已經 比 0 小了，二次微分比
0 小，表示是 concave 的，向下開 那這樣你就可以保證 first order
condition 是最佳解，這樣可以嗎？ 好，那我們就繼續
所以你把 retailer 1 retailer
2 的式子個別拿來一次微分，然後個別的有一個 first order condition
了以後呢，兩個變數，兩個 equation，你就解聯立方程式，雖然要花一點功夫，不過
大家代數慢慢運算的話呢，都可以得到像我們最下面 的這個式子。
比如説 p1* 會是 1/(2-θ) 加上分母是 (2+θ)
乘以 (2-θ)，分子是 2w1 加 θw2，這是 retailer
1 的 price 1，那 retailer 2 的當然就反過來，把
w1 跟 w2 反過來就可以了，大家可以練習一下 好的。
那麽得到了零售價，得到了這個 equilibrium 的
retail price，我們當然不免想要看一下它如何的受到其他因素的影響嘛 所以比如説
pi* 怎麽受到自己的批發價 wi 的影響呢？wi
在這兒 所以批發價如果是上升，我的零售價就要上升，這很合理吧，畢竟就是成本
成本上升，price 衹好跟著被墊高。
那對方的批發價 對我呢也是有一個上升的效果，爲什麽？仔細想想也可以接受
對方的批發價上升的時候，對方的零售價想必會跟著上升，那麽就給我
一些空間，讓我也可以把價格調高，對吧，畢竟當他的價格上升的時候，他那裡會有一些人跑- 來我這裡 那我的 demand
變大，我就把我的 price 提高一點，也是很合情合理的 好，所以呢這樣子好像都可以解釋。
另外我們還有看到 w1 的係數是 2，w2
的係數是 θ 對零售商 1 來説，自己的批發價的影響大過對方的批發價的影響
這個也很合理嘛，畢竟我的上游給我的批發價的影響是直接的，而我的
競爭對手的批發價對我的影響是間接的，是他的批發價影響他的零售價
影響我的需求，然後才影響我的價格，所以當然是前者 的影響應該要比較大。
所以我們算出來的東西好像也挺合理的，最後就是 要是我把 θ=0
代進去會怎麽樣？大家可以試一下 θ 如果等於 0 的話，那首先第一個
term 剩下二分之一 對吧，第二個 term，θ=0，所以就變成
2 乘 2，這就變 4，然後上面呢就變成 2 wi，你就可以得到基本上就是
1/2+wi 對吧，那你回去看一下上禮拜我們教的
Bertrand competition，看一下會不會真的變成像上禮拜的一樣，一定會
這樣子才表示我們建在的 model，確實是上禮拜的基本
model 的 generalization，okay，我希望大家可以做一下這個功夫
好，所以剛剛的東西看起來還不錯 那現在我們已經有零售價了，如果我們把零售價
代人需求函數的話，經過一些運算就可以得到
均衡狀態下的需求量，就像投影片上長得像這個樣子。
那 合理嗎？稍微看一下，批發價如果上升，我的批發價
wi 如果上升 對我來説，會讓我的需求量下降，爲什麽？ 因爲我必須擡高價格嗎？所以我的需求量當然就下降了
反過來説，對方的批發價如果上升，這個時候呢你發現我的需求量上升，可以接受
對方的批發價上升，對方的零售價就上升，那麽呢我的需求量就微微地上升，這個很合理 這是在我已經做了
best response 以後的結果，這樣子 會讓我的需求量上升。
好，那現在 second stage 已經解完了，我們來看製造商
現在我們要討論這個 first stage，這個製造商的問題
那麽製造商們他們在想，他們要決定 w1 跟 w2
同時，因爲他們預知到當他們決定 w1 跟 w2 了以後，他們的下游會怎麽反應
所以他們要求解的就是這個問題，找 wi
來最大化自己的利潤 wi 要乘上 qi*，而
qi* 在前一頁已經解出來了，就是 wi 跟 w3-i
的函數 所以在這個地方他們就是把這兩個東西，把自己的
批發價和銷售量乘起來就是他的利潤，那麽呢這樣子就可以來求解了
一樣，我們在這裡想要找的是 w1* w2*，讓它們是一個 Nash
equilibrium 依樣畫葫蘆嘛，想必對它們兩個的各自的
profit function 來説一次微分要等於 0，對吧，這個是必要的 我們有沒有
concave 的性質呢？顯然也有，大家把一次微分再微分一次
看看係數是不是負的？都是，所以這個情況下你就可以安心地說，一次微分等於 0
就是最佳解，所以 w1* 跟 w2*
是可以解出來的，就用上面的這個 方程式，兩個方程式兩個變數就可以解出來
大家稍微花點功夫，復習一下你國中的時候做的事情，你就會得到 w1*
和 w2* 就可以像這樣子，被寫成是 θ 的函數。
那 overall 呢，你最終會把所有的
内生變數都寫成外生變數，或者外生參數的函數，在我們的這個情境裡面 我們沒有
price，然後需求量是設成 1 減什麽什麽 所以這整個 game
裡面衹有 θ 這個參數 那麽最後也可以看到確實 w1* 跟 w2*
都可以被寫成 θ 的函數，那另外你也發現，它們兩個恰好一樣啊
不是太奇怪，對吧，畢竟它們兩個面對的這個市場環境是一模一樣的
它們面對的成本的環境也是一模一樣的，那它們最終的決策一模一樣也是很自然的 好，所以剛剛的事情 w1* 跟
w2* 如果解出來了，剩下的事情則都把它們代進去，p1*
跟 p2* 剛剛還是 w1 跟 w2 的函數，但是你把均衡狀態下
的批發價代進去了以後呢，你就會發現它們也是 θ 的函數
再來，需求量當然也如法炮製 製造商和，製造商們的
profit 當然也就可以被算出來 就不過就是 w 乘以
q，就這樣子，所以呢 到此爲止就算是解出了
DD 這個情況下 的大家的 pricing decision 和 equilibrium
的 profit，這個東西 長得很醜
但是大家要注意它，爲什麽？ 待會兒我們要討論的事情是製造商如何選擇他的通路
對吧，製造商現在已經知道了，如果我選 D 他選
D，如果我們都賣給零售商，讓零售商去賣的話 結果我就會賺這麽多，製造商已經知道這件事情了
所以待會兒再把其他的三個情況解出來的話 製造商最終怎麽選擇他要賣哪種通路呢？
就是考慮 profit 嘛，製造商才不 care 什麽零售商的 profit 或者是我的 price，那些都不重要
他選通路的目標是最大化自己的 profit 所以我們現在框起來的這個
functional form，待會兒一定會用到 請大家留意一下。
那當然你也可以算零售商的均衡利潤 或者是通路的均衡利潤，這些事情是沒有問題的，所以你需要的話可以做更多的討論
不過我們待會兒祇重視製造商 好，所以希望大家可以練習一下，把
ID DI 跟 II 都解出來 那或是如果你有興趣的話呢，這是某一篇
paper 嘛，所以你把 paper 找出來，上面也有 寫答案，你可以對一下答案。
那或是，待會兒的影片其實也有答案啊，所以其實是一樣的意思，但希望大家可以練習 一下。
然後，我們呢就可以 來思考製造商他能賺多少錢 如果這是個間接通路，我們就
care 製造商的利潤 因爲製造商祇擔心他賺多少錢而已，如果這是個直接通路的話，那當然就是整條利潤都是製造商
賺走，那就是製造商利潤就是通路利潤，然後呢待會兒這四種情況下的均衡利潤
就是我們分析通路結構的這個選擇的這個賽局 的基礎。
好，那我們休息一下
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