Hola. Esta vez hablaremos de las funciones trigonométricas, en particular, de la función seno y coseno. Una función trigonométrica es la que se obtiene al aplicar las razones trigonométricas a todos los ángulos, empleando los conceptos que vimos en el vídeo anterior, por ejemplo, en el caso del seno sabemos que, al colocar un ángulo sobre la circunferencia unitaria, el seno corresponderá al valor de la segunda coordenada, en donde este ángulo corta a la circunferencia unitaria. Si se hace el recorrido a través de la circunferencia en el primer cuadrante y se grafican todas las segundas coordenadas, una a continuación de la otra, se podrá observar que la altura comenzará por valer "0" e irá aumentando paulatinamente hasta llegar al valor máximo de una unidad, como se muestra en la imagen en donde, en la gráfica derecha, hemos puesto en el eje de las ordenadas las alturas o los valores de las segundas coordenadas de los puntos sobre la circunferencia, pues, como recordarás, corresponden al valor del seno. Y, en el eje de las abscisas hemos colocado los correspondientes valores del ángulo en radianes. Para las gráficas subsecuentes también haremos esto. Si repetimos el procedimiento para ángulos en el segundo cuadrante, podremos ver que la segunda coordenada del punto sobre la circunferencia irá de su valor máximo "1" a su valor mínimo de "0", como se muestra a continuación. Recuerda que en la gráfica derecha, en el eje de las abscisas, hemos colocado el valor del ángulo correspondiente en radianes. Por otra parte, como se muestra a continuación, para ángulos situados en el tercer cuadrante, es decir, ángulos entre 180 y 270 grados, observamos que el valor de la segunda coordenada sobre la circunferencia unitaria, es decir, el valor del seno del ángulo, comenzará por valer cero unidades, pero, irá gradualmente aumentando hasta su valor máximo de menos "1". Al graficar esta sucesión de valores se obtendrá un patrón de puntos como el mostrado en la imagen derecha, en donde, en el eje horizontal, hemos puesto el valor correspondiente del ángulo en radianes. Finalmente, para ángulos entre 270 y 360 grados, es decir, ángulos que queden en el cuarto cuadrante, observaremos que el valor de la segunda coordenada, es decir, el seno, tomará primero, como valor, menos la unidad y se irá decrementando paulatinamente hasta valer "0", como se muestra en la siguiente imagen. Haciendo un refinamiento a este procedimiento, de manera que se realice un barrido continuo a lo largo de la circunferencia unitaria, se formará una gráfica continua como la mostrada en la siguiente imagen. No solo esto, podemos considerar dar más de una vuelta al círculo unitario, para formar una gráfica como la que se muestra a continuación, en la cual se han dado dos vueltas al círculo unitario. Como podrás observar, la primera corresponde a la parte en rojo y se realiza desde "0" hasta "2pi" o 360 grados, y la segunda parte, en azul, se realiza de "2pi" a "4pi", o bien, de 360 a 720 grados. Incluso, podemos dar vueltas sobre la circunferencia en el sentido contrario, para completar la serie de valores en la parte negativa del eje de las abscisas y obtener una gráfica como la siguiente. Si continuamos el procedimiento hacia la izquierda o hacia la derecha indefinidamente, obtendremos la gráfica de la función seno. Como podrás observar, los ceros de esta gráfica se corresponden con los valores de los ángulos, para los cuales, la segunda coordenada del punto sobre la circunferencia unitaria que define el ángulo es "0", es decir, para múltiplos de 180 grados. En la imagen, la unidad de medición del eje de las abscisas es radianes, entonces, los ceros se sucederán cada múltiplo de pi, pues recuerda que 180 grados equivalen a pi radianes. Puedes, también, apreciar de esta gráfica que el dominio de la función seno son los números reales. El rango, por su parte, al corresponder a los valores de la segunda coordenada del punto sobre la circunferencia unitaria, serán los valores entre menos "1" y "1". Hasta aquí hemos revisado una manera de generar la gráfica de la función seno y, con base en ella, hemos definido el dominio, el rango y sus ceros. Ahora, vamos a enfocar nuestra atención en el alto de la onda, es decir, la distancia que hay entre el eje y su pico más alto o su pico más bajo, al cual llamaremos "amplitud". Si te fijas, el alto de la gráfica, o sea, la distancia del eje horizontal a la parte más alta, depende del radio de la circunferencia que empleemos para generar la gráfica de la función. Si hacemos este radio más grande, entonces, la amplitud de la onda será más grande, por ejemplo, veamos qué ocurre si el radio es de tres unidades. En este caso, la gráfica de la función ya no corresponde a la gráfica de la función seno, sino, a la gráfica de esta función multiplicada por tres. En general, modificar el radio de la circunferencia con la cual generamos la gráfica de la función seno modifica la amplitud y la amplitud multiplica al valor de la función. Dicho esto, si la amplitud es "a" entonces la función seno se puede escribir como "f(x)" igual a "a" por el seno de "x". Por último, tomaremos en cuenta la gráfica completa de la función seno. Como podrás observar, la gráfica se repite una y otra vez. Las funciones que tienen un comportamiento repetitivo como esta se llaman funciones "periódicas", en este caso, el período es la distancia que hay entre dos puntos máximos o entre dos puntos mínimos o entre dos ceros no consecutivos. El período es la distancia que se necesita para repetir la gráfica. Observa que, para la onda senoidal original, la distancia entre dos nodos no consecutivos es de "2pi", lo cual significa que una onda se completa cada múltiplo de "2pi". Por otra parte, en la imagen siguiente se puede apreciar la gráfica del seno de "2x". Podrás notar que, como en este caso, el período o la distancia entre dos nodos no consecutivos es de pi y que una onda se completa cada pi unidades. Ahora, consideremos la gráfica de seno de "3x". Observa que, en este caso, el período es "2pi" entre "3", lo cual se traduce en que cada múltiplo entero de "2pi" sobre "3" se completará el período, en este caso. Resumamos la información. De esta manera, podemos establecer que si "f(x)" es igual al seno de "b" por "x", entonces, el periodo representado comúnmente por la letra "T" mayúscula será "T" igual a "2pi" sobre "b", así, entonces, la gráfica de una función senoidal se puede escribir como "f(x)" igual a "a" por el seno de "b" por "x", en donde "a" es su amplitud y "2pi" entre "b" es su periodo. Para construir la gráfica del coseno se procede de manera semejante al caso del seno, pero, empleando la primer coordenada del punto sobre la circunferencia unitaria. En este caso, para visualizar la gráfica es más fácil usar el eje vertical e ir graficando las separaciones de cada punto con respecto al eje de las ordenadas, como se muestra en la figura. La unidad de medida del eje vertical sería radianes. Luego, realizamos un giro para que la gráfica esté en sentido horizontal, tomando en cuenta que en el sentido horizontal la dirección positiva es a la derecha y que en el sentido vertical la dirección positiva es hacia arriba, para obtener una gráfica como la siguiente. Haciendo el proceso de manera continua, como se muestra a continuación, obtenemos un período de la gráfica del coseno. Compara los períodos básicos de la función senoidal y cosenoidal y podrás notar que, mientras la función senoidal inicia y termina en "0", la función cosenoidal inicia y termina en "1". Realizando análisis similares al caso de la gráfica del seno, se llegará a que una función cosenoidal se podrá escribir como "f(x)" igual a "a" por el coseno de "b" por "x", donde "a" es su amplitud y "2pi" entre "b" es su período. En este vídeo hemos estudiado cómo generar la gráfica de la función seno y del coseno. También, hemos platicado de algunas de sus características, las cuales profundizaremos en nuestro siguiente video.
