Bueno, ya conocemos mucho de logaritmos y de sus propiedades. Ahora, resolvamos algunas ecuaciones y para esto necesitamos recordar las propiedades de los exponentes. "a" a la cero es igual a uno, "a" la uno es igual a "a", "a" la menos "n" es igual a uno sobre "a" a la "n", "a" la "m" por "a" a la "n" es igual a "a" a la "m + n", "a" a la "m" entre "a" a la "n" es igual a "a" a la "m - n", "a" a la "m" y esto elevado a la "n" es igual a "a" a la "m" por "n". Primera ecuación: logaritmo base dos de "(x + 5) = 2". Podemos escribirlo en su forma exponencial, "x +5" es igual a dos al cuadrado. Desarrollando, tendremos "x +5= 4". Despejando, tenemos "x = 4 - 5". Esto da por resultado "x = -1", que es el valor que satisface la ecuación. Para comprobar, podemos sustituir logaritmo base dos de "(-1 + 5) = 2", logaritmo base dos de "(4) = 2", cierto, porque dos al cuadrado es igual a cuatro. Segunda ecuación: dos por logaritmo base cuatro de "(x - 2) = 2". Utilizando las propiedades, tenemos logaritmo base cuatro de "(x - 2)" al cuadrado y esto es igual a dos. Escribiendo la ecuación en su forma exponencial, "x - 2" al cuadrado es igual a cuatro al cuadrado. Desarrollando, "x -2" al cuadrado es igual a 16, lo que nos da por resultado "x" al cuadrado, menos cuatro "x", más cuatro, igual a 16. Reacomodando los términos, tenemos "x" al cuadrado, menos cuatro "x", más cuatro, menos 16 es igual a cero. Realizando operaciones de términos semejantes, tendremos "x" al cuadrado, menos cuatro "x", menos 12, igual a cero. Resolviendo la ecuación cuadrática, los valores de "x" que satisfacen la ecuación son "x = -2" y "x = 6". Siguiente ecuación. Logaritmo base diez de "x +5", menos logaritmo base diez de "(x - 5) = 2". Aplicando las propiedades, tenemos logaritmo base diez de "x +5" entre "x - 5" igual a dos. Nuevamente, aplicando propiedades, tenemos "x + 5" entre "x - 5" es igual a diez al cuadrado. Esto nos da como resultado "x +5" entre "x - 5" igual a 100. Empezamos a despejar, por lo que tenemos "x + 5 = 100 (x - 5)". Seguimos despejando, "x + 5 = 100x - 500", "5 + 500 = 100x - x", "505 = 99x". Finalmente, tenemos 505 entre 99 es igual a "x", lo que nos da un resultado aproximado de 5.1. Otro ejemplo más: menos logaritmo base diez de "(x - 3) = 0". Aplicando propiedades, tenemos logaritmo base diez de "x - 3" a la menos uno es igual a cero, "x - 3" a la menos uno es igual a diez a la cero. Esto se podría escribir de la siguiente manera, "x - 3" a la menos uno es igual a uno. Aplicando propiedades de los exponentes, tenemos uno entre "x - 3" a la uno es igual a uno. Empezamos a despejar y nos quedará "1 = 1 (x - 3), realizando la multiplicación, nos queda "1 = (x - 3)". Despejando, "1 + 3 = x", por lo tanto, "x = 4". Siguiente ejemplo, calcula el valor de "x". Para eso tenemos logaritmo base dos de dos a la "x +3" es igual al logaritmo base dos de ocho a la "3 x - 2". Aplicando las propiedades, tenemos "x +3" por logaritmo base dos de dos es igual a "3 x - 2" por logaritmo base dos de ocho. Desarrollando, "x +3" por uno es igual a "3 x - 2" multiplicado por tres. Esto lo podemos sintetizar como "x + 3 = 9x - 6". Despejando, tendremos "3 + 6 = 9x - x", por lo tanto, tenemos "9 = 8x". Como solución, tenemos nueve octavos es igual a "x". Otro ejemplo, logaritmo base diez de "x +2" por logaritmo base diez de "(x +3) = 1". Utilizando las propiedades, tenemos logaritmo base diez de "(x + 2) (x + 3)" esto es igual a uno. Desarrollando, tenemos logaritmo base diez de "x" al cuadrado, más cinco "x", más seis es igual a uno. Utilizando la definición de logaritmo, diez a la uno es igual a "x" al cuadrado más "5x + 6", esto es igual a 10 = "x" al cuadrado más "5x + 6". Reacomodando términos, "x" al cuadrado, más cinco "x", más seis, menos diez es igual a cero. Realizando operaciones, "x" al cuadrado, más cinco "x", menos cuatro, igual a cero. Resolviendo, obtenemos que "x = 0.702" y "x = -5.702". Un último problema de la vida cotidiana. Una pizza horneada a 450 grados Fahrenheit se retira del horno a las cinco de la tarde, en un cuarto a temperatura constante a 70 grados Fahrenheit. Después de cinco minutos, la pizza está a 300 grados Fahrenheit. ¿En qué momento podrá comenzar a comer la pizza, si se desea que esté a 135 grados Fahrenheit? Si se utilizara la ecuación "U" igual a "T", más "u subíndice 0", menos "T" por "e" a la "kt"; donde "T" es la temperatura ambiente; "u subíndice 0", la temperatura inicial de la pizza, tenemos como dato "T = 70" y "u subíndice 0" igual a 450, que es la temperatura en grados Fahrenheit de la pizza en el instante "t". Esto es "U = 70", más 450 menos 70, por "e" a la "kt". Realizando la operación del paréntesis, tenemos "U = 70" más 380 por "e" a la "kt". También sabemos que "U = 300" cuando "t = 5". Sustituyendo, obtenemos 300 es igual a 70, más 380 por "e" a la "k" por cinco. Despejamos y obtenemos 230 es igual a 380 por "e" a la cinco "k". "e" a la cinco "k" es igual a 230 entre 380 y esto es igual a 23 sobre 38. Logaritmo natural de "e" a la cinco "k" es igual al logaritmo natural de 23 entre 38. "K" es igual al logaritmo natural de 0.6052 entre cinco, que es aproximadamente menos 0.1004, por lo tanto "u" es igual a 70, más 380 por "e" a la menos 0.1004 "t". Determinamos "t" cuando "u" es igual a 135 grados Fahrenheit, esto es igual a 135, igual a 70, más 380 por "e" a la menos 0.1004 "t". Despejamos y tenemos 65 es igual a 380 por "e" a la menos 0.1004 "t". "e" a la menos 0.1004 "t" es igual a 65 entre 380, que es igual a 13 entre 76. Tenemos logaritmo natural de "e" a la menos 0.1004 "t" es igual a logaritmo natural de 13 entre 76. Esto es menos 0.10004 "t" es igual a logaritmo natural de 13 entre 76. Finalmente, "t" es igual al logaritmo natural de 13 entre 76, y esto, entre menos 0.1004, que es aproximadamente 17.6. Por tanto, la pizza podrá ser comida después del tiempo "t = 17.6" aproximadamente. Como pudiste observar, la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial y ambas nos ayudan en el estudio de situaciones de la vida cotidiana y de la ciencia. Espero que haya despertado tu interés sobre ellas y te invito a que sigas practicando.
