En el tema pasado estudiamos la gráfica de la función "f(x)" igual a dos a la "x". ¿Cómo quedará la gráfica de la función inversa logaritmo? Para eso tenemos la función "f(x)" igual a dos a la "x" y la función inversa "f(x)" igual a logaritmo base dos de "x". Grafícala en un mismo sistema de coordenadas cartesiano. Ahora, anexa la recta "y = x". ¿Puedes observar? Son funciones inversas, sus gráficas son simétricas respecto a la recta "y = x". A partir de esto, estudiemos sus parámetros. Para la función exponencial, cuando "b" era mayor que uno, esta era creciente y su dominio eran todos los números reales. El rango eran todos los números reales positivos. Para la función logarítmica se invierte el dominio y el rango, ya que son funciones inversas una de la otra, por tanto, el dominio de la función logarítmica son todos los números reales positivos y el rango son todos los números reales. También podemos observar que la gráfica de la función logaritmo intercepta al eje "x" en el punto 1,0, no intercepta al eje "y" y es creciente. Ahora, continuamos con el parámetro "b" cuando es mayor que cero y menor que uno. Para esto, grafiquemos dos funciones, "f(x)" igual a 1/3 a la "x" y su función inversa "f(x)" igual al logaritmo base 1/3 de "x". ¿Puedes observar? Son simétricas las dos gráficas respecto a la recta "y = x". Para la función exponencial, cuando "b" era mayor que cero, pero menor que uno, esta era decreciente; su dominio eran todos los números reales, el rango eran todos los números reales positivos. Ahora, con la función logarítmica se invierte el dominio y el rango, por lo tanto, el dominio de la función logarítmica son todos los números reales positivos y el rango son todos los números reales. Podemos observar también que la función logarítmica intercepta al eje de las "x" en el punto 1,0, no intercepta al eje "y" y es decreciente. Regresemos al problema de Valeria. Recuerda, teníamos "f(t)" igual a 1.000 por 1.25 a la "t". Es un caso particular, ya que sabemos cuánto dinero quiere tener Valeria, por lo tanto, tendríamos 200.000 es igual a 1.000 por 1.25 a la "t". Despejando, quedaría como 200.000 entre 1.000 es igual a 1.25 a la "t". Esto es 200 igual a 1.25 a la "t". Esto lo podríamos escribir de acuerdo con su definición como, logaritmo base 1.25 de 200 igual a "t". Resolviendo la ecuación, podemos saber en cuánto tiempo Valeria reunirá 200.000 pesos. Para esto, debemos conocer las propiedades de la función logaritmo con "b" mayor que cero y "b" diferente de uno. La primera es logaritmo base "b" de "m" por "n" es igual al logaritmo base "b" de "m", más logaritmo base "b" de "n". La segunda, logaritmo base "b" de "m" entre "n" es igual al logaritmo base "b" de "m", menos logaritmo base "b" de "n". La tercera, logaritmo base "b" de "m" a la "s" es igual a "s" por logaritmo base "b" de "m". La cuarta, logaritmo base "b" de "b" a la "n" es igual a "n". Algunos ejemplos de lo anterior son logaritmo base cuatro de 16 por "n" es igual a logaritmo base cuatro de 16, más logaritmo base cuatro de "n", esto es igual a dos más logaritmo base cuatro de "n". Logaritmo base cuatro de 16 entre "n" es igual al logaritmo base cuatro de 16, menos logaritmo base cuatro de "n". El siguiente ejercicio es logaritmo base "b" de cuatro al cuadrado es igual a dos por logaritmo base "b" de cuatro. Nuevamente el problema de Valeria. Teníamos 200 igual a 1.25 a la "t", aplicamos logaritmo y tenemos logaritmo base diez de 200 es igual a logaritmo base diez de 1.25 a la "t". Utiliza tu calculadora para obtener el resultado de logaritmo base diez de 200 y aplica las propiedades. Tenemos 2.30 es igual a "t" logaritmo base diez de 1.25. Despejemos "t" y obtenemos 2.30 entre el logaritmo base diez de 1.25, que es igual a "t". Nuevamente, obtén el valor del logaritmo base diez de 1.25 en tu calculadora, obtenemos 2.30 entre 0.097 y esto es igual a "t". "T" es aproximadamente 23.7 años que tardará en obtener 200.000 pesos, a partir de la cantidad inicial a plazo fijo e intereses fijos y sin depositar más dinero. ¿Recuerdas? También trabajamos con otra base en el anterior tema de funciones exponenciales, que fue el número irracional "e". Su función inversa es la función logaritmo natural y se representa de la siguiente manera, "f(x)" es igual al logaritmo natural de "x" y, junto con "f(x)" igual al logaritmo base diez de "x" que se puede escribir logaritmo de "x", son las bases que se utilizan más en matemáticas. Resolvamos el problema, pero ahora con logaritmo natural. Recuerda, partimos de 200 es igual a 1.25 a la "t", aplicamos logaritmo natural y nos queda logaritmo natural de 200 es igual a logaritmo natural de 1.25 a la "t", esto es igual a. 5.3, que es igual a "t" logaritmo natural de 1.25. Despejando a "t", tenemos 5.30 entre logaritmo natural de 1.25, que es igual a "t". Obtén el valor del logaritmo natural de 1.25 en tu calculadora y obtenemos 5.30 entre 0.22, y esto es igual a "t". "T" es aproximadamente 23.7 años para que Valeria pueda obtener sus 200.000 pesos. ¿Te das cuenta? Es la misma solución. Como te mencioné, las funciones logaritmo base diez y logaritmo natural son las más comunes y son las que se encuentran en tu calculadora, pero si tenemos otra base, ¿qué podremos hacer? Para eso existe otra propiedad, que es la que puede convertir una base "a" en otra base "b". Es la siguiente, logaritmo base "a" de "x" es igual a logaritmo base "b" de "x" entre logaritmo base "b" de "a". ¿Recuerdas? Logaritmo base cuatro de 16, esto es igual a dos. Supongamos que no sabemos y haciendo uso de la propiedad de cambio de base y de la calculadora, obtengamos su valor. Para calcular logaritmo base cuatro de 16, tenemos que es igual al logaritmo natural de 16 entre logaritmo natural de cuatro. O, utilizando la base diez, logaritmo base diez de 16 entre el logaritmo base diez de cuatro, esto es igual a 2.77 entre 1.38 y, efectivamente, es igual a dos.
