Ahora, estudiemos funciones logarítmicas que, al igual que las funciones exponenciales, nos permiten el estudio de modelos matemáticos relacionados con el crecimiento y decaimiento. Volvamos con Valeria. ¿Recuerdas? Quería comprarse una patineta y la compró, pero le sobró dinero, el cual, por consejo de sus abuelos, decide invertir en el banco La Esperanza. El gerente del banco le explica que con esa cantidad puede ofrecerle una tasa de interés compuesto del 25 por ciento anual a plazo fijo. Ella pregunta, ¿qué es a plazo fijo? Sus abuelos le explican que no podrá hacer uso de ese dinero hasta que termine el plazo establecido. Y, el interés compuesto, le mencionan que los intereses que se van generando se acumulan al capital inicial. Valeria nuevamente empieza a realizar sus cálculos porque quiere saber cuánto tiempo tardará en ahorrar 200.000 pesos. Vamos a ayudarle. Cantidad inicial que invierte son 1.000 pesos. El interés es del 25 por ciento anual. Estamos trabajando otra vez con tiempo, por lo tanto, la variable independiente es el tiempo. Tendremos que, para el primer año en que estará invirtiendo el dinero, "f(1) = 1.000 + 1.000(0.25)". Factorizando, "f(1) = 1.000(1 + 0.25)". Realizando la suma, "f(1) = 1.000(1.25)". Para el segundo año tenemos "f(2) = 1.000(1.25) + 1.000(1.25)(0.25)". Factorizando, "f(2) = 1.000(1.25)(1 + 0.25)". "f(2) = 1.000(1.25)(1.25)". Finalmente, tenemos "f(2) = 1.000(1.25)" al cuadrado. Para el tercer año, "f(3) = 1.000(1.25)" al cuadrado, más "1.000(1.25)" al cuadrado por 0.25. "f(3) = 1.000(1.25)" al cuadrado por (1 + 0.25)". "f(3) = 1.000(1.25)" al cuadrado por 1.25. "f(3) = 1.000(1.25)" al cubo. Vamos a generalizar las reglas de correspondencia de la función, tenemos "f(t) = 1.000(1.25)" a la "t". Claro, nuevamente estamos trabajando con una función exponencial donde "a" es 1.000; "b", 1.25; y "b" es mayor a uno. Por lo tanto, la función exponencial es creciente. Recuerda, ella quiere tener 200.000 pesos y para que nosotros podamos saber en cuánto tiempo los podrá obtener, lo podríamos hacer graficando, pero también hay otro método. Lo vamos a conocer, pero para eso recuerda esta ecuación: "144 =x" al cuadrado. Y para resolverla, ¿qué hacías? Claro, utilizabas la operación que pudiera cambiar el exponente dos por uno y esa operación es la raíz cuadrada, operación inversa. Tenemos la raíz cuadrada de 144 y esto es igual a la raíz cuadrada de "x" al cuadrado. Como resultado, obtenemos más o menos 12, que es igual a "x". En el problema de Valeria, más o menos, podemos efectuar lo mismo porque debes de recordar que estamos trabajando con funciones. Entonces, lo que vamos a requerir es la función inversa. La función inversa a la función exponencial es la función logaritmo. La función logaritmo se define como "f(x)" igual al logaritmo base "b" de "x" con "b" mayor a cero y "b" diferente de uno. Esto, en otras palabras, lo podemos decir "y" igual al logaritmo base de "x ", si y solo si "x" es igual a "b" a la "y". Trabajemos en el concepto de función inversa. Esta se escribe: "f" a la menos uno de "x" y, gráficamente, se obtiene al realizar la reflexión de la gráfica de la función origen "f(x)" respecto a la recta "y = x". Recuerda, esta recta es una recta de 45 grados. Veamos el siguiente ejemplo de una función inversa. Tenemos la función "f(x) = 5 + x" y su función inversa, "f" a la menos uno de "x", que es igual a "x - 5". Grafiquémoslas juntas en un mismo plano cartesiano, además, de la recta "y = x". Puedes observar que las gráficas de las dos funciones son simétricas respecto a la recta "y = x", esta última es la recta que pasa por el origen 0,0. Con lo anterior, comprobamos gráficamente que efectivamente son funciones inversas. Volvamos al tema principal. Recuerda cómo se define la función logarítmica. Vamos a realizar algunos ejercicios a partir de la definición. A partir de la definición tenemos logaritmo base cuatro de 16 es igual a dos, ya que su operación inversa es cuatro al cuadrado, que es igual a 16. Logaritmo base 25 de cinco es igual a un medio, ya que su operación inversa es 25 a la un medio que es igual a cinco. Estos son otros ejemplos.
