[MÚSICA] [MÚSICA] Revisemos nuevamente la definición. [MÚSICA] ¿Por qué b debe de ser diferente de 1? you que si fuera 1 quedaría 1 a la x. Sea cual sea el valor que tome x, el resultado siempre será 1. Por ejemplo, 1 a la 25, es igual a, 1. ¿Por qué b debe ser mayor a 0? Para que se puedan llevar a cabo todas las operaciones que estén en las reglas de correspondencia. Por ejemplo, si tenemos que a es igual a 25 y si queremos realizar la operación a a la un medio que es igual a la raíz cuadrada de 25, esto es igual a más, menos 5. Pero si fuera menor que 0, a sería igual a menos 25. Tendríamos que a a la un medio es igual a la raíz cuadrada de menos 25. Esto es un número complejo y recuerda que sólo trabajamos con el conjunto de los números reales. ¿Por qué a debe de ser diferente de 0? Recuerda que todo número multiplicado por 0 da como resultado 0. Estudiemos otro problema, Mateo compró una bicicleta, su precio fué de 2.000 pesos pero piensa en un futuro venderla y quiere calcular el precio en el que la vendería. Él sabe perfectamente que por el uso de cada año, se deprecia su valor, él calcula que en un 6 por ciento. Empecemos con la condición inicial, f de 0 es igual a 2000, el primer año tendríamos f de 1 igual a 2000 menos 2000 por 6 sobre 100. Recuerda, la primera parte representa el costo inicial, la segunda, lo que disminuirá el precio respecto al 6 por ciento. f de 1 es igual a 2000 menos 2000 por 0.06. Factoricemos, f de 1 es igual a 2000 por 1 menos 0.06. Realicemos la resta del paréntesis. f de 1 es igual a 2000 por 0.94, esto es igual a 1880 pesos. Si quisiera vender su bicicleta al siguiente año de comprarla, la podría vender en 1880 pesos. Para f de 2 tendremos 2000 por 0.94 menos 2000 por 0.94 por 0.06. Factorizando, f de 2 es igual a 2000 por 0.94 por 1 menos 0.06. Realizamos la resta, f de 2 es igual a 2000 por 0.94 por 0.94, por lo tanto f de 2 es igual a 2000 por 0.94 al cuadrado. Después de 2 años de su uso, la podrá vender en 1.767, 2 pesos. Si transcurrieran 3 años, la podrá vender en f de 3 es igual a 2000 por 0.94 al cuadrado menos 2000 por 0.94 al cuadrado por 0.06. Factorizando, f de 3 es igual a 2000 por 0.94 al cuadrado por 1 menos 0.06. Realizando la resta, f de 3 es igual a 2000 por 0.94 al cuadrado por 0.94. f de 3 es igual a 2000 por 0.94 al cubo, esto es igual a 1661.2 pesos. En el cuarto año la vendería, f de 4 es igual a 2000 por 0.94 a la cuarta, esto es igual a 1561.5 pesos. Generalizando, f de t es igual a 2000 por 0.94 a la t. Como puedes observar, es otra función exponencial. En la gráfica podemos observar que se trata de una función exponencial, pero ahora decreciente. [MÚSICA] Para el problema que estamos analizando, la cantidad inicial a es igual a 2000, la base b es igual a 0.94, la variable independiente x es igual a t. Estamos trabajando tiempo. Recuerda, trabajamos en un problema en un contexto real por lo tanto, debemos basarnos en datos del mismo, el dominio será a partir de 0. Con los dos problemas que hemos analizado hasta el momento, podemos mencionar que en la función exponencial cuando b es mayor que 1, por ejemplo en el primer problema b era igual a 1.78 podemos decir que tenemos una función exponencial creciente. En el segundo problema tenemos que, b es mayor que 0 pero menor que 1, you que el valor de b es 0.94. en este caso tenemos una función exponencial decreciente. Dejemos a un lado los casos particulares y ahora, generalicemos. Vamos a la función f de x igual a 2 a la x. Grafiquemos, b es igual a 2. El dato inicial a es igual a 1, exponente x y variable independiente. Obtengamos el dominio y el rango de acuerdo a la gráfica. Como puedes observar, el dominio son todos los reales, you que x puede tomar cualquier valor de los reales, negativos, positivos y 0. El rango son los reales positivos, you que f de x solo toma, valores mayores a 0. La gráfica intercepta al eje y, en el punto 0,1 y como b es mayor a 1, es una función creciente. Si ahora graficamos la función f de x igual a 10 a la x, tendremos la base b sería igual a 10, el dato inicial a sería igual a 1, la variable independiente x, la gráfica intercepta al eje y, en el punto 0,1. Puedes observar que el rango sigue siendo los reales positivos. [MÚSICA] Ahora realiza la gráfica de la función f de x igual a 4 a la x. [MÚSICA] Ahora grafiquemos las funciones anteriores, juntas en el mismo plano cartesiano. ¿Qué puedes notar? Puedes notar que entre mayor sea b, se acerca cada vez más al eje y. Hay un alargamiento. Mientras que si disminuye su valor, hay un ensanchamiento, se aleja del eje y, para acercarse al eje x. También podemos concluir que todas interceptan al eje y en el punto 0,1. Ahora estudiaremos las funciones con b mayor a 0 pero menor que 1 y a igual a 1. Grafiquemos f de x igual a un tercio a la x, realiza la gráfica de otra función, f de x igual a un octavo elevado a la x. Grafiquemos las funciones anteriores juntas en un mismo plano cartesiano. Como observamos, la función exponencial es decreciente y entre más se acerca b al valor de 1, se aleja del eje y. Se ensancha, y si b se acerca al valor de 0, se alarga y se acerca al eje y. Con esto podemos concluir que, las propiedades de la función exponencial f de x es igual a a por b a la x, con a igual a 1. La función está definida para todos los valores reales de x. El dominio de la función son los números reales. Para todo valor de x, la función siempre asume un valor positivo. Es decir, el rango de la función es el conjunto de los números reales positivos. La función es creciente si b es mayor que 1 y decreciente si b es mayor que 0, pero menor que 1. El valor de la función, intercepta al eje de las yes en el punto 0,1. No hay abscisa al origen, la gráfica no intercepta al eje de las x. Estudiemos ahora los desplazamientos que se presentan en las funciones exponenciales con el siguiente problema, que se presentó. Mi hija Valeria estaba algo triste porque no le alcanzaba para comprar una patineta. Le comenté que la ayudaría para comprarla, de la siguiente manera, el primer día le daría un peso, luego cada día duplicaría el dinero durante 13 días. Ella se inconformó y me dijo que no le alcanzaría, entonces le mencioné que lo pensara, you que ese sería el apoyo que yo le podía ofrecer. Le dije que hiciera sus cálculos y pensara si le convenía. Valeria realizó una tabla relacionando los días, con el dinero que yo le daría. ¿Recuerdas? you habíamos trabajado con un problema así. El primer día tendría un peso, esto se representa como 2 a la 0 que es igual a 1. El segundo día tendría 2 pesos, esto se representa 2 a la 1 que es igual a 2. El tercer día tendría 4 pesos, se representa 2 al cuadrado que es igual a 4. El cuarto día tendría 8 pesos, se representa 2 al cubo que es igual a 8. El quinto día tendría 16 pesos, se representa 2 a la cuarta y esto es igual a 16. El noveno día tendría 256 pesos, que se representa 2 a la 8 y esto es igual a 256. El treceavo día tendría 4096 pesos, se representa 2 a la 12 y esto es igual a 4096. Al relacionar los días con el dinero, podemos generalizar. Tendríamos la función f de x igual a 2 a la x menos 1, you que el exponente se relaciona con el número de días, menos 1. Después de realizar estos cálculos, aceptó mi oferta. ¿Cuál sería el valor de a? Exacto, a es igual a 1. ¿Y de b? Estás en lo correcto, es 2. Dominio es de 1 a 13, el rango es de 1 a 4096. Recuerda que el problema está en un contexto real. [MÚSICA] [MÚSICA]
